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1、考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算,考點(diǎn)清單,考向基礎(chǔ) 1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,2.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式 (1)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1. (2)當(dāng)q1時(shí),Sn=. 3.等比中項(xiàng) 如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng),即G=(a,b同號(hào)).,(1)a,G,b成等比數(shù)列G2=ab(ab0). (2)同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng).,考向突破,考向一求等比數(shù)列的an與Sn,例1已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足-6=an+1an,若a1=2,則數(shù)列an的前n項(xiàng) 和Sn=.,解析-6=an+1an, 即-an+1an-6=0, (an+1-3an)(an+1+2an)
2、=0, an0,an+1=3an,即=3,又a1=2, an是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列, Sn=3n-1.,答案3n-1,考向二等比中項(xiàng)的運(yùn)用,例2成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于6,并且這三個(gè)數(shù)分別加上3,6,13后成為等比數(shù)列bn中的b3,b4,b5,則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為() A.bn=2n-1B.bn=3n-1 C.bn=2n-2D.bn=3n-2,解析設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為2-d,2,2+d, 則bn中的b3,b4,b5分別為5-d,8,15+d, 64=(5-d)(15+d),即d2+10d-11=0, 解得d=1或d=-11(舍),則b3=4,b4=8,b5=16, q=2
3、,b1=1,bn=2n-1.故選A.,答案A,考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,考向基礎(chǔ) 1.等比數(shù)列an滿足或時(shí),an是遞增數(shù)列;滿足 或時(shí),an是遞減數(shù)列. 2.有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等.特別地,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),還等于中間項(xiàng)的平方. 3.等比數(shù)列的一些結(jié)論: (1)在等比數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列. (2)當(dāng)q-1或q=-1且k為奇數(shù)時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比數(shù)列;當(dāng)q=-1且k為偶數(shù)時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比數(shù)列.,(3)若an是等比數(shù)列,則an,|an|皆為等比數(shù)列,公比分別為
4、q和|q|(為非零常數(shù)). (4)一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)的k次冪仍組成一個(gè)等比數(shù)列,新公比是原公比的k次冪. (5)an為等比數(shù)列,若a1a2an=Tn,則Tn,成等比數(shù)列. (6)若數(shù)列an與bn均為等比數(shù)列,則manbn與仍為等比數(shù)列, 其中m是不為零的常數(shù). (7)若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n,S偶與S奇分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和,則=q; 若項(xiàng)數(shù)為2n+1,則=q.,4.當(dāng)q0,q1時(shí),Sn=k-kqn(k0)是an為等比數(shù)列的充要條件,這時(shí)k=. 5.對(duì)于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列an中,am,an,ap,aq的關(guān)系為aman=apaq.,考向突破,考向等比數(shù)列中的常用性
5、質(zhì),例已知遞增的等比數(shù)列an的公比為q,其前n項(xiàng)和Sn1 C.a10,00,q1,解析Snan,且|an|an+1|, 則-an-an+10,則q=(0,1), a10,0q1.故選A.,答案A 方法總結(jié)an是等比數(shù)列,公比為q(q1),熟記下列結(jié)論能快速解題: 當(dāng)q1,a10或01,a10時(shí),數(shù)列an為遞減數(shù)列.,方法1等比數(shù)列的基本運(yùn)算技巧 1.方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q,問(wèn)題可迎刃而解. 2.分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q1
6、時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=.,方法技巧,例1已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則= () A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1,解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 由可得=2,q=,代入解得a1=2, an=2=,Sn=4, =2n-1,故選D.,答案D,方法2等比數(shù)列的判定 1.定義法:若=q(q為非零常數(shù),nN*)或=q(q為非零常數(shù)且n2,n N*),則數(shù)列an是等比數(shù)列. 2.等比中項(xiàng)法:若數(shù)列an中,an0且=anan+2(nN*),則數(shù)列an是等 比數(shù)列. 3.通項(xiàng)公式法:若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*),
7、則數(shù)列an是等比數(shù)列. 4.前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=k-kqn(k為常數(shù)且k0,q0,1),則數(shù)列an是等比數(shù)列. 其中前兩種方法常用于證明等比數(shù)列,后兩種方法常用于選擇題和填空題中.,若證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,只要證明存在相鄰三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.,例2已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an. (1)求證:an+1-2an是等比數(shù)列; (2)求an的通項(xiàng)公式.,解析(1)證明:由an+2=4an+1-4an得an+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1)=2n(a2-2a1)0, =2,an+1-2an是等比數(shù)列. (2)由(1)可得an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n,-=,是首項(xiàng)為,公差 為的等差數(shù)列,=,則an=n2n-1.,
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