高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

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1、(理)第7節(jié)立體幾何中的向量方法,.理解直線的方向向量與平面的法向量.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用.能用向量法解決空間的距離問題,整合主干知識,1用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量:直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量_(或共線)的向量,顯然一條直線的方向向量有_個(gè) (2)若直線l,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面的法向量,顯然一個(gè)平面的法向量也有_個(gè),它們是_

2、向量,平行,無數(shù),無數(shù),共線,質(zhì)疑探究:在求平面法向量時(shí),所列方程組中有三個(gè)變量,但只有兩個(gè)方程,如何處理? 提示:給其中某一變量恰當(dāng)賦值,求出該方程組的一組非零解,即可以作為平面法向量的坐標(biāo),(3)用向量證明空間中的平行關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2(或l1與l2重合)v1v2. 設(shè)直線l的方向向量為v,與平面共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y使vxv1yv2. 設(shè)直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則l或lvu. 設(shè)平面和的法向量分別為u1,u2,則u1u2.,(4)用向量證明空間中的垂直關(guān)系 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和

3、v2,則l1l2v1v2v1v20. 設(shè)直線l的方向向量為v,平面的法向量為u,則lvu. 設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2,則u1u2u1u20.,2用向量計(jì)算空間角和距離 空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角滿足cos |cosm1,m2|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m,n,則直線l與平面所成角滿足sin |cosm1,m2|.,如圖,n1,n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面,的法向量,則二面角的大小滿足cos cosn1,n2或cosn1,n2,1(2015西安模擬)若直線l的方向向量為a(1,1,2),平面的

4、法向量為u(2,2,4),則() AlBl Cl Dl與斜交 解析:因?yàn)橹本€l的方向向量a(1,1,2)與平面的法向量u(2,2,4)共線,則說明了直線與平面垂直,故選B. 答案:B,2設(shè)平面的法向量為(1,2,2),平面的法向量為(2,4,k),若,則k等于() A2 B4 C4 D2 答案:C,3如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線NO、AM的位置關(guān)系是() A平行 B相交 C異面垂直 D異面不垂直,答案:C,4長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE

5、所成角的余弦值為_,答案:,聚集熱點(diǎn)題型,典例賞析1 (2015湖北省八校聯(lián)考)如圖,直三棱柱ABCABC的側(cè)棱長為3,ABBC,且ABBC3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AEBF. (1)求證:無論E在何處,總有BCCE;,用向量證明垂直或求異面直線所成的角,(2)當(dāng)三棱錐BEBF的體積取得最大值時(shí),求異面直線AF與AC所成角的余弦值 思路索引(1)借助于線面關(guān)系證明BC面ABC,從而可證BCCE.當(dāng)VBEBF為最大值確定E(F)的位置,解三角形求角的余弦值 (2)以B為原點(diǎn)建系,用向量求解,解析(法一)(1)證明:由題意知,四邊形BBCC是正方形,連接AC,BC,則BCBC. 又

6、ABBC,BBAB, AB平面BBCC. BCAB,BC平面ABC. 又CE平面ABC,BCCE.,變式訓(xùn)練 1(2014鄭州第一次質(zhì)檢)如圖,正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直,已知BC2AD4,ABC60,BFAC. (1)求證:AC平面ABF; (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值,典例賞析2,用向量證明平行或求二面角,(1)證明:PQ平面BCD; (2)若二面角CBMD的大小為60,求BDC的大小,思路索引立體幾何題目一般有兩種思路:傳統(tǒng)法和向量法傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義、定理,通過邏輯推理證明來完成(1)要證明線面平行,根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實(shí)現(xiàn);(2)求二

7、面角要先找到或作出二面角的平面角,再通過解三角形求解向量法則是通過建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)的坐標(biāo),利用向量的計(jì)算完成證明或求解直線一般求其方向向量,平面一般求其法向量(1)只要說明直線的方向向量與對應(yīng)平面的法向量垂直即可;(2)二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角,圖(1),(2)解:如圖(1),作CGBD于點(diǎn)G,作GHBM于點(diǎn)H,連接CH. 因?yàn)锳D平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG. 又CGBD,ADBDD,故CG平面ABD. 又BM平面ABD,所以CGBM. 又GHBM,CGGHG,故BM平面CGH, 所以GHBM,CHBM. 所以CHG為二面角CBMD的平面角,,圖

8、(2),拓展提高本題方法一采用了傳統(tǒng)法,在第二問中要作出CBMD的平面角,這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法,作、證、算于一體二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn),不如建系用向量方法求簡單,如方法二,變式訓(xùn)練 2(2014四川高考)三棱錐ABCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示設(shè)M,N分別為線段AD,AB的中點(diǎn),P為線段BC上的點(diǎn),且MNNP.,(1)證明:P是線段BC的中點(diǎn); (2)求二面角ANPM的余弦值 (1)證明:如圖所示,取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知,ABD,BCD為正三角形, 所以AOBD,OCBD. 因?yàn)锳O,OC平面AOC,且AOOCO, 所以BD平面AOC.,又因?yàn)锳

9、C平面AOC,所以BDAC. 取BO的中點(diǎn)H,連接NH,PH. 又M,N,H分別為線段AD,AB,BO的中點(diǎn),所以MNBD,NHAO, 因?yàn)锳OBD,所以NHBD. 因?yàn)镸NNP,所以NPBD. 因?yàn)镹H,NP平面NHP,且NHNPN,所以BD平面NHP.,又因?yàn)镠P平面NHP,所以BDHP. 又OCBD,HP平面BCD,OC平面BCD,所以HPOC. 因?yàn)镠為BO的中點(diǎn),所以P為BC的中點(diǎn) (2)解:方法一:如圖所示,作NQAC于Q,連接MQ.,典例賞析3 (2014福建高考)在平面四邊形ABCD中,ABBDCD1,ABBD,CDBD.將ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如圖所示,

10、用向量求線面角,(1)求證:ABCD; (2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值,思路索引(1)轉(zhuǎn)化為證明AB平面BCD;(2)利用坐標(biāo)法 解析(1)證明:平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,AB平面ABD,ABBD,AB平面BCD. 又CD平面BCD,ABCD.,(2)解:過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD. 由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD, ABBE,ABBD.,變式訓(xùn)練 3(2015東北三校模擬)如圖,四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,PDDC2AD,ADDC,BCD45. (1)設(shè)PD中點(diǎn)為M,求證:AM平面PBC; (2)求PA

11、與平面PBC所成角的正弦值,典例賞析4,用向量求空間距離,思路索引借助面SAC面ABC,建立坐標(biāo)系,求面MNC的法向量,再求距離 解析取AC的中點(diǎn)O,連接OS、OB SASC,ABBC,ACSO,ACBO. 平面SAC平面ABC, 平面SAC平面ABCAC,SO平面ABC, 又BO平面ABC,SOBO.,變式訓(xùn)練 4(2015天津南開調(diào)研)在直三棱柱中,AA1ABBC3,AC2,D是AC的中點(diǎn) (1)求證:B1C平面A1BD; (2)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離,備課札記 _,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)向量法求空間角,如圖,已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA11,直線BD與平面AA

12、1B1B所成的角為30,AE垂直BD于點(diǎn)E,F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn) (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值; (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.,審題視角(1)研究的幾何體為長方體,AB2,AA11. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角 (3)可考慮用空間向量法求解,規(guī)范解答(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),答題模板利用向量求空間角的步驟: 第一步:建立空間直角坐標(biāo)系 第二步:確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步:求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo) 第四步:計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值) 第五步:將向量夾角轉(zhuǎn)

13、化為所求的空間角 第六步:反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范,溫馨提醒(1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn),幾乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用,(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸,導(dǎo)致建系不規(guī)范 (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí),要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,否則易錯(cuò),1一種思想 用向量法解決立體幾何問題,是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用,體現(xiàn)了向量的工具性,這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算,降低了空間想象演繹推理的難度,體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想,2一點(diǎn)注意 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ),這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn),

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