2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題12 排列、組合、二項(xiàng)式定理難點(diǎn) 1 利用空間向量解立幾中的探索性問題1如圖11-23,PD面ABCD,ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點(diǎn),且異面直線DP與AE所成的角的余弦為。1,m),cos= 得m=1.P(0,0,2),E(1,1,1)2如圖11-25,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面ABCD是一個(gè)直角梯形,AB、CD為梯形的兩腰,且AB=AD=AA1=a。 ()如果截面ACD1的面種為S,求點(diǎn)D到平面ACD1的距離;()當(dāng)為何值時(shí),平面AB1C平面AB1D1。證明你的結(jié)論。難點(diǎn) 2 利用空間向量求角和距離1 已知長方體ABC

2、D-A1B1C1D1中,AB=1,BC=a,AA1=1。(1)棱BC上是否存在點(diǎn)P,使A1PPD,說明理由;(2)若BC上有且僅有一點(diǎn)P,使A1PPD,試求此時(shí)的二面角P-A1D-A的大小。易錯(cuò)點(diǎn) 1 求異面直線所成的角1如圖11-1,四棱錐PABCD的底面為直角梯形,ABDC,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點(diǎn)。(1)證明:面PAD面PCD;(2)求AC與PB所成的角;(3)求面AMC與面BMC所成二面角A-CM-B的大小。2如圖11-2,在直四棱術(shù)ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=,ADDC,ACBD,垂足為E。(1)

3、求證BDA1C;(2)求二面角A1-BD-C1的大?。唬?)求異面直線AD與BC1所成角的大小。0,0)、D(-,0,0)、A(0,-1,0),其中A1、D、A的坐標(biāo)容易求錯(cuò)?!咎貏e提醒】利用空間向量求異面直線所成的角,公式為cos關(guān)鍵是正確地建立坐標(biāo)系進(jìn)而寫出各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),建立坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩不垂直的直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤,還會(huì)出現(xiàn)用三條兩兩互相垂直但不過同一點(diǎn)的三條直線作x軸、y軸、z軸的錯(cuò)誤。寫點(diǎn)的坐標(biāo)也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,學(xué)習(xí)時(shí)要掌握一些特殊點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn),如x軸上的點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0,0),xoz面上的點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0,b)等,其次還應(yīng)學(xué)會(huì)把某個(gè)平面單獨(dú)分化出來,利用平面幾何的知識(shí)

4、求解,如本節(jié)的例2,求B的坐標(biāo)?!咀兪接?xùn)練】1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2a,高為b,求異面直線AC1和A1B所成的角。易錯(cuò)點(diǎn) 2 求直線與平面所成的角1如圖在三棱錐PABC中,ABBC,AB=BC=KPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP底面ABC。(1)當(dāng)k=時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的大?。唬?)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心?2如圖11-7,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD底面ABCD,AD=PD,E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)?!咎貏e提醒】求直線與平面所成角的公式為:sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個(gè)向量,n為平面的

5、一個(gè)法向量,這個(gè)公式很容易記錯(cuò),關(guān)鍵是理解,有些學(xué)生從數(shù)形結(jié)合來看,認(rèn)為n應(yīng)過直線上某個(gè)點(diǎn),如例4中n應(yīng)過C點(diǎn),這是錯(cuò)誤的,這里n是平面的任意一個(gè)法向量,再說一個(gè)向量過某一個(gè)具體的點(diǎn)這種說法也是錯(cuò)誤的?!咀兪接?xùn)練】1 如圖11-9,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90AC=2,BC=6,D為A1B1的中點(diǎn),異面直線CD與A1B垂直。(1)求直三棱術(shù)ABC-A1B1C1的高;=(-2,2,-4),由=0知A1CBE,BD=0知A1CBD,A1C平面BED(2)求A1B與平面BDE所成的角是正弦值。答案:由(1)知=(-2,2,-4)為平面BED的一個(gè)法向量,=(0,2,-4),sin=(

6、3)求二面角P-MN-Q的余弦值。答案:由(),MN平面PAD,知MQMN,MPMN,PMQ即為二面角PMNQ的平面角而PM=,MQ=,MD=,(1)證明:PC平面PAB;(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;(3)若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12的球面上,求ABC的邊長。PO=P(0,0,a),C(0,0),A(0),C(0,0),B(0)。【特別提醒】利用空間向量求二面角,先求兩平面的法向量,利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角,二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補(bǔ),具體是哪一種,一般有兩種判斷方法:(1)根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角;(2)根據(jù)兩法向量的方向判斷。實(shí)際上很

7、多求二面角的題目,還是傳統(tǒng)方法(如三垂線定理作出二面角的平面角)簡單,或傳統(tǒng)方法與空間向量相結(jié)合來解?!咀兪接?xùn)練】1.如圖,在三棱錐P-OAC中,OP、OA、OC兩兩互相垂直,且OP=OA=1,OC=2,B為OC的中點(diǎn)。3 如圖所示,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為4,AA1=6,Q為BB1的中點(diǎn),PDD1,MA1B1,NC1D1,AM=1,D1N=3?!咎貏e提醒】立體幾何中的距離以點(diǎn)到面的距離最為重要利用空間和量求點(diǎn)到面的距離關(guān)鍵是對公式d=的理解和記憶,其中a為過該點(diǎn)且與平面相交的線段確定的向量,n為平面的任意一個(gè)法向量,這個(gè)任意給解題帶來了很大的方便。當(dāng)然有些題目用空間

8、向量來解可能沒有傳統(tǒng)方法簡單?!咀兪接?xùn)練】1 已知ABCD是邊長為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),PC垂直于ABCD所在的平面,且PC=2。 求點(diǎn)B到平面PEF的距離。2 如圖:正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長是,側(cè)棱長是3,點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上,且AEA1B,AFA2C。3 在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=a,點(diǎn)P到平面ABC的距離為a(2)求點(diǎn)B到平面PAC的距離。3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中點(diǎn),M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn),則直線OMA是AC和MN的公垂線B垂直于AC,但不垂直于M

9、NC垂直于MN,但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直4 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點(diǎn),AB1BC1,則平面DBC1積與平面CBC1所成的角為 ( )A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的延長線上C點(diǎn)P在線段BA的延長線上D點(diǎn)P不一定在直線AB上解析:0t1,P點(diǎn)在線段AB上答案:A8已知a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5,),若a,b,c三向量共面,則實(shí)數(shù)等于()A. B.C. D.解析:a、b、c三向量共面,所以存在實(shí)數(shù)m、n,使得cmanb.即.答案:D9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且,N為B1B的中點(diǎn),則|為()10已知空間三點(diǎn)A

10、(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)則以,為邊的平行四邊形的面積為_則50.A、B、C、D共面13設(shè)向量a(3,5,4),b(2,1,8),計(jì)算2a3b,3a2b,ab以及a與b所成角的余弦值,并確定,應(yīng)滿足的條件,使ab與z軸垂直解:2a3b2(3,5,4)3(2,1,8)(6,10,8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5,4)2(2,1,8)(9,15,12)(4,2,16)(5,13,28)ab(3,5,4)(2,1,8)653221.|a|,|b|,cosa,b.ab與z軸垂直,(32,5,48)(0,0,1)480,即2.當(dāng),滿足2時(shí),可使ab與z軸

11、垂直14.直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D、E分別為AB、BB的中點(diǎn) (2) ac,設(shè)二面角C-AB-D為,則由tan=因此16、四棱錐P=ABCD中,ABCD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn)。(1)求證BM平面PAD;(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。18、四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一個(gè)平行四邊形,(1)求證:PA底面ABCD;答案: APPB,APAD, AP底面ABCD(2)求四棱錐P-ABCD的體積; (1)證明:EMBF;(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值20如圖所示,在四棱錐PABC

12、D中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD2,AB1,BMPD于點(diǎn)M. (1)求證:AMPD;(2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值解:(1)證明:PA平面ABCD,AB平面ABCD,PAAB.21在如圖的多面體中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC2AD4,EF3,AEBE2,G是BC的中點(diǎn) (1)求證:AB平面DEG;(2)求證:BDEG;(3)求二面角CDFE的余弦值令z1,得n(1,2,1)設(shè)二面角CDFE的大小為,(1,0),(0,1),(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x,y,z),則即因此可取n(,1,)23如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE3AF,BE與平面ABCD所成角為60. (1)求證:AC平面BDE;(2)求二面角FBED的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定M的位置,使得AM平面BEF,并證明你的結(jié)論

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