第7章《 剛體力學》習題解答

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1、第7章 剛體力學習題解答第7章 剛體力學習題解答7.1.1 設地球繞日作圓周運動.求地球自轉和公轉的角速度為多少rad/s?估算地球赤道上一點因地球自轉具有的線速度和向心加速度.估算地心因公轉而具有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.【解】（1）地球自轉（2）地球公轉7.1.2 汽車發(fā)動機的轉速在12s內由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假設轉動是勻加速轉動，求角加速度.(2)在此時間內，發(fā)動機轉了多少轉？【解】（1）（2）所以 轉數(shù)=7.1.3 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內的角位移為 球t時刻的角速度和角加速度.【解】7.1.4 半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內

2、轉動，在圓盤平面內建立坐標系，原點在軸上.x和y軸沿水平和鉛直向上的方向.邊緣上一點A當t=0時恰好在x軸上，該點的角坐標滿足求（1）t=0時，（2）自t=0開始轉時，（3）轉過時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影.【解】（1） （2）時，由（3）當時，由7.1.5 鋼制爐門由兩個各長1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆時針轉動，求臂與鉛直時門中心G的速度和加速度.【解】因爐門在鉛直面內作平動，門中心G的速度、加速度與B或D點相同。所以：7.1.6 收割機拔禾輪上面通常裝4到6個壓板.拔禾輪一邊旋轉，一邊隨收割機前進.壓板轉到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，另一方面把切割下

3、來的作物鋪放在收割臺上，因此要求壓板運動到下方時相對于作物的速度與收割機前進方向相反. 已知收割機前進速率為1.2m/s，拔禾輪直徑1.5m，轉速22rev/min,求壓板運動到最低點擠壓作物的速度.【解】取地面為基本參考系，收割機為運動參考系。取收割機前進的方向為坐標系正方向 7.1.7 飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動機轉速2000rev/min.（1）槳尖相對于飛機的線速率等于多少？（2）若飛機以250km/h的速率飛行，計算槳尖相對于地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡.【解】取地球為基本參考系，飛機為運動參考系。（1）研究槳頭相對于運動參考系的運動： （2）研

4、究槳頭相對于基本參考系的運動：由于槳頭同時參與兩個運動：勻速直線運動和勻速圓周運動。故槳頭軌跡應是一個圓柱螺旋線。7.1.8 桑塔納汽車時速為166km/h.車輪滾動半徑為0.26m.自發(fā)動機至驅動輪的轉速比為0.909.問發(fā)動機轉速為每分多少轉.【解】設發(fā)動機轉速為，驅動輪的轉速為。由題意： （1）汽車的速率為 （2）（2）代入（1）7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質量和質心位置.（1）圓錐體為均質；（2）密度為h的函數(shù):為正常數(shù).【解】建立如圖坐標O-x,由對稱軸分析知質心在x軸上。由 得：（1）質量 （2）質量7.2.3 長度為的均質桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，

5、由于桿不可能絕對沿鉛直方向，故隨即到下.求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求出軌跡的方程式）.【解】建立坐標系，水平方向為軸，豎直方向為軸.桿上端坐標為（x,y）,桿受重力、地面對桿豎直向上的支承力，無水平方向力。由 （質心運動定理）質心在桿的中點，沿水平方向質心加速度為零。開始靜止，桿質心無水平方向移動。由桿在下落每一瞬時的幾何關系可得： 即桿上端運動軌跡方程為： 7.2.4 （1）用積分法證明：質量為m長為的均質細桿對通過中心且與桿垂直的軸線的轉動慣量等于.（2）用積分法證明：質量為m、半徑為R的均質薄圓盤對通過中心且在盤面內的轉動軸的轉動慣量為.【解】（1）均質細桿不：建立水平方向

6、ox坐標軸 （2）均質薄圓盤 令 或利用公式7.3.2 圖示實驗用的擺，近似認為圓形部分為均質圓盤，長桿部分為均質細桿.求對過懸點且與擺面垂直的軸線的轉動慣量.【解】 將擺分為兩部分：均勻細桿（），均勻圓柱（） 則 = = （用平行軸定理） I=0.14+2.51=2.657.3.3 在質量為M半徑為R的均質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量.【解】設未挖兩個圓孔時大圓盤轉動慣量為I。如圖半徑為r的小圓盤轉動慣量為和。則有 （） 7.3.5 一轉動系統(tǒng)的轉動慣量為，轉速為，兩制動閘瓦對輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩

7、擦系數(shù)為，輪半徑為，從開始制動到靜止需要用多少時間？【解】 7.3.6 均質桿可繞支點O轉動，當與桿垂直的沖力作用某點A時，支點O對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點稱為打擊中心.設桿長為L，求打擊中心與支點的距離.【解】桿不受作用時，支點O對桿的作用力，方向豎直向上，大小為桿的重量。依題意，當桿受力時，不變。建立如圖坐標系，軸垂直紙面向外。由質心運動定理得：（方向投影）（質心在桿中點） （1）由轉動定理得： （2）有角量與線量的關系 （3）（1）（2）（3）聯(lián)立求解7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉動慣量.用輕線且盡可能潤滑輪軸.兩端懸掛重物質量各為，且.滑輪半徑為.自靜止始，

8、釋放重物后并測得內下降.滑輪轉動慣量是多少？【解】分析受力。建立坐標系，豎直向下為軸正方向，水平向左為軸正方向。軸垂直紙面向里。根據(jù)牛頓第二定律，轉動定理，角量與線量關系可列標量方程組：已知求解上列方程組：7.3.8 斜面傾角為，位于斜面頂端的卷揚機鼓輪半徑為R，轉動慣量為I，受到驅動力矩M，通過繩索牽引斜面上質量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度.繩與斜面平行，不計繩質量.【解】分析受力及坐標如圖。軸垂直紙面向外。列標量方程組： （1） （2） （3） （4）解得：7.3.9 利用圖中所示裝置測一輪盤的轉動慣量，懸線和軸的距離為r.為減小因不計軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，

9、先懸掛質量較小的重物，從距地面高度處由靜止開始下落，落地時間為，然后懸掛質量較大的重物，同樣由高度下落，所需時間為，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉動慣量.近似認為兩種情況下摩擦力矩相同.【解】 分析受力及坐標如圖。軸垂直紙面向里。列方程：解得 即 7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線O轉動，其轉動慣量I為.裝置的一端有槽，槽內有彈簧，槽的中心軸線與轉軸的垂直距離為r.在槽內裝有一小球，質量為m，開始時用細線固定，只彈簧處于壓縮狀態(tài).現(xiàn)用燃火柴燒斷細線，小球以速度彈出.求轉動裝置的反沖角速度.在彈射過程中，由小球和轉動裝置構成的系統(tǒng)動能守恒否？總機械能守恒否？為什么？（彈簧質量不計）【解】取小

10、球和轉動裝置為物體系，建立順時針為轉動正方向。在彈射過程中，物體系相對于轉動軸未受外力矩，故可知物體受對轉軸的角動量守恒。有動能不守恒，原因是彈性力對系統(tǒng)作正功，物體系動能增加?？倷C械能守恒。原因是此過程中無耗散力做功。應有守恒關系式：7.4.2 質量為2.97kg，長為1.0m的均質等截面細桿可繞水平光滑的軸線O轉動，最初桿靜止于鉛直方向.一彈片質量為10kg，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角.【解】取子彈和桿為物體系。分兩個過程。過程1：子彈嵌入前一瞬時開始到完全嵌入時為止。此過程時間極短，可視為在原地完成。此時受力為，為轉軸對桿的支承力，對于軸，外力

11、矩為零。有角動量守恒。規(guī)定逆時針為轉軸正方向。得:解得：過程2：由過程1末為始到物體系擺至最高點為止。此過程中一切耗散力做功為零。故物體系機械能守恒。取桿的最低點為重力勢能零點。有解得 7.4.3 一質量為，速度為的子彈沿水平面擊中并嵌入一質量為，長度為的棒的端點，速度與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上.子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速度等于多少？【解】取與為物體系。此物體系在水平面內不變外力矩。故角動量守恒，規(guī)定逆時針為轉動正方向。設嵌入后物體系共同質心為，到棒右端距離為，棒自身質心為。由有物體系對點的角動量守恒可得：解得 7.4.4 某典型脈沖星，半徑為幾千米，質量

12、與太陽的質量大致相等，轉動角速率很大.試估算周期為50ms的脈沖星的轉動動能.（自己查找太陽質量的數(shù)據(jù)）【解】7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來，求其上端到達地面時的線速度.設倒塌時底部未移動.可近似認為煙囪為細均質桿.【解】7.5.2 用四根質量各為m長度各為的均質細桿制成正方形框架，可繞其一邊的中點在豎直平面內轉動，支點O是光滑的.最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當AB邊達到水平時，框架質心的線速度以及框架作用于支點的壓力N.【解】框架對O點的轉動慣量：在框架擺動過程中，僅受重力和支點的支撐力，重力為保守力，支撐力不做功，故此過程中框架的機械能守恒。取過框

13、架中心的水平線為重力勢能零點：有解得：框架轉到AB水平位置時，故支點O對框架的作用力，僅有法向分量。由質心運動定理得：框架作用支點的力N與是作用力與反作用力。7.5.3 由長為，質量各為m的均質細桿制成正方形框架，其中一角連于光滑水平轉軸O，轉軸與框架所在平面垂直.最初，對角線OP處于水平，然后從靜止開始向下擺動.求對角線OP與水平成時P點的速度，并求此時框架對支點的作用力.【解】 框架對O點轉動慣量 由機械能守恒： 先求支點O對框架作用力， 由轉動定理 ， 由質心運動定理： 投影得：解得：設N與方向夾角為，則7.5.4 質量為m長為的均質桿，其B端放在桌面上，A端用手支住，使桿成水平.突然釋

14、放A端，在此瞬時，求：（1）桿質心的加速度，（2）桿B端所受的力.【解】取桿為隔離體，受力分析及建立坐標如圖。規(guī)定順時針為轉動正方向。依據(jù)質心運動定理有： （1）依據(jù)轉動定理： （2）依據(jù)角量與線量關系： （3）此外， （4） 由聯(lián)立上述四個方程求得：7.5.5 下面是均質圓柱體在水平地面上作無滑滾動的幾種情況，求地面對圓柱體的靜摩擦力f.（1）沿圓柱體上緣作用以水平拉力F，柱體作加速滾動.（2）水平拉力F通過圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動.（3）不受任何主動力的拉動或推動，柱體作勻速滾動.（4）在主動力偶矩的驅動下作加速滾動.設柱體半徑為R.【解】取均勻圓柱體為隔離體，建立坐標系，水平向右為

15、軸正方向，軸垂直紙面向里。假設方向水平向右。mgfNF(1)F(2)C（1）得 （符號表示實際方向與假設方向相反）（2）得 （符號表示實際方向與假設方向相同）（3）得 （符號表示實際方向與假設方向相反）7.5.6 板的質量為M，受水平力F的作用，沿水平面運動.板與水平面間的摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質量為的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動.求板的加速度.解 答設所求板對地的加速度為a，（方向與相同）。以板為參照系(非慣性系)。取圓柱體為隔離體，分析受力如圖，軸垂直紙面向里。依質心運動定律有： （1）依據(jù)轉動定理有： （2）依據(jù)角量與線量關系有： （3）此外： （4） （5） 取板為隔離體，受力

16、如圖，并建立如圖坐標系。列標量方程有： (6) (7) (8) (9) (10) (11) 將上述十一個方程聯(lián)立求解得：7.5.7 在水平桌面上放置一質量為m的線軸，內徑為b，外徑為R，其繞中心軸轉動慣量為.線軸與地面間的靜摩擦系數(shù)為.線軸受一水平拉力F，如圖所示.（1）使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值是多少？（2）若F與水平方向成角，試證，時，線軸向前滾動；時，線軸線后滾動.【解】取線軸為隔離體。建立坐標系，水平向右為正方向，軸垂直紙面向里。（1）依據(jù)質心運動定理有： （1）依據(jù)對質心軸的轉動定理有： （2）由角量與線量的關系得： （3）上述三式聯(lián)立求解得：欲保持無滑滾動得： 即 （2）

17、列標量方程 解得：討論：當 即 時（向前滾動）同理時（向后滾動）7.6.1 汽車在水平路面上勻速行駛，后面牽引旅行拖車，假設拖車僅對汽車施以水平向后的拉力。汽車重，其重心于后軸垂直距離為，前后軸距離為。表示力與地面的距離。問汽車前后輪所受地面支持力與無拖車時有無區(qū)別？是計算之。【解】取汽車為隔離體，設車受前后輪的支持力分別為，方向水平向上。前后輪受地面摩擦力分別為，方向分別先后和向前。建立坐標系，水平向右為軸正方向，軸垂直紙面向外。汽車勻速運動，受力平衡：當有時：（以后軸為軸）解得： 當無時：解得：比較 可知7.6.2 將一塊木板的兩端至于兩個測力計上，即可測出板的重心。這樣測人的重心就比較困

18、難。因很難將頭和腳置于測力計上而身體挺直。若令人躺在板上，能否測出？若能，給出求重心之法?！窘狻吭O為質心與間的垂直距離，為質心與間的垂直距離可求。7.6.3 電梯高2.2m，其質心在中央。懸線亦過中央。另有負載，其重心離電梯中垂線相距0.5m。問（1）當電梯勻速上升時，光滑導軌對電梯的作用力，不計摩擦（電梯僅在四角處受導軌作用力）；（2）當電梯以加速度0.05m/s2上升時，力如何？【解】（1）由平衡：在水平方向， 以O為軸線得：， （2）水平方向， 無轉動效應得（以O為軸線）：7.7.1 環(huán)形框架質量為0.20kg，上面裝有質量為1.20kg的回轉儀，框架下端置于光滑的球形槽內，回轉儀既自傳又旋進，框架僅隨回轉儀的轉動而繞鉛直軸轉動，回轉儀自身重心以及它連同框架的重心均在C點，C點與轉動軸線的垂直距離為r=0.02m，回轉儀繞自轉軸的轉動慣量為4.810-4kgm2,自轉角速度為120rad/s. 求旋進角速度；求支架球形槽對支架的總支承力。xzrNC(m1+m2)g【解】根據(jù)旋進與自旋的關系式：把回轉儀與支架當作一個系統(tǒng)，設球形槽對支架的支承力為N，整個裝置的質心C相對豎直軸做勻速圓周運動，由質心運動定理：與豎直軸夾角7-21