第7章《 剛體力學(xué)》習(xí)題解答

第7章 剛體力學(xué)習(xí)題解答第7章 剛體力學(xué)習(xí)題解答7.1.1 設(shè)地球繞日作圓周運(yùn)動(dòng).求地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度為多少rad/s?估算地球赤道上一點(diǎn)因地球自轉(zhuǎn)具有的線速度和向心加速度.估算地心因公轉(zhuǎn)而具有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.【解】（1）地球自轉(zhuǎn)（2）地球公轉(zhuǎn)7.1.2 汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，求角加速度.(2)在此時(shí)間內(nèi)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？【解】（1）（2）所以 轉(zhuǎn)數(shù)=7.1.3 某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪在時(shí)間間隔t內(nèi)的角位移為 球t時(shí)刻的角速度和角加速度.【解】7.1.4 半徑為0.1m的圓盤(pán)在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)在軸上.x和y軸沿水平和鉛直向上的方向.邊緣上一點(diǎn)A當(dāng)t=0時(shí)恰好在x軸上，該點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足求（1）t=0時(shí)，（2）自t=0開(kāi)始轉(zhuǎn)時(shí)，（3）轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，A點(diǎn)的速度和加速度在x和y軸上的投影.【解】（1） （2）時(shí)，由（3）當(dāng)時(shí)，由7.1.5 鋼制爐門(mén)由兩個(gè)各長(zhǎng)1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求臂與鉛直時(shí)門(mén)中心G的速度和加速度.【解】因爐門(mén)在鉛直面內(nèi)作平動(dòng)，門(mén)中心G的速度、加速度與B或D點(diǎn)相同。所以：7.1.6 收割機(jī)拔禾輪上面通常裝4到6個(gè)壓板.拔禾輪一邊旋轉(zhuǎn)，一邊隨收割機(jī)前進(jìn).壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，另一方面把切割下來(lái)的作物鋪放在收割臺(tái)上，因此要求壓板運(yùn)動(dòng)到下方時(shí)相對(duì)于作物的速度與收割機(jī)前進(jìn)方向相反. 已知收割機(jī)前進(jìn)速率為1.2m/s，拔禾輪直徑1.5m，轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)擠壓作物的速度.【解】取地面為基本參考系，收割機(jī)為運(yùn)動(dòng)參考系。取收割機(jī)前進(jìn)的方向?yàn)樽鴺?biāo)系正方向 7.1.7 飛機(jī)沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速2000rev/min.（1）槳尖相對(duì)于飛機(jī)的線速率等于多少？（2）若飛機(jī)以250km/h的速率飛行，計(jì)算槳尖相對(duì)于地面速度的大小，并定性說(shuō)明槳尖的軌跡.【解】取地球?yàn)榛緟⒖枷?，飛機(jī)為運(yùn)動(dòng)參考系。（1）研究槳頭相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)： （2）研究槳頭相對(duì)于基本參考系的運(yùn)動(dòng)：由于槳頭同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)。故槳頭軌跡應(yīng)是一個(gè)圓柱螺旋線。7.1.8 桑塔納汽車(chē)時(shí)速為166km/h.車(chē)輪滾動(dòng)半徑為0.26m.自發(fā)動(dòng)機(jī)至驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速比為0.909.問(wèn)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn).【解】設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為，驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為。由題意： （1）汽車(chē)的速率為 （2）（2）代入（1）7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置.（1）圓錐體為均質(zhì)；（2）密度為h的函數(shù):為正常數(shù).【解】建立如圖坐標(biāo)O-x,由對(duì)稱(chēng)軸分析知質(zhì)心在x軸上。由 得：（1）質(zhì)量 （2）質(zhì)量7.2.3 長(zhǎng)度為的均質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開(kāi)手，由于桿不可能絕對(duì)沿鉛直方向，故隨即到下.求桿子的上端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（選定坐標(biāo)系，并求出軌跡的方程式）.【解】建立坐標(biāo)系，水平方向?yàn)檩S，豎直方向?yàn)檩S.桿上端坐標(biāo)為（x,y）,桿受重力、地面對(duì)桿豎直向上的支承力，無(wú)水平方向力。由 （質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，沿水平方向質(zhì)心加速度為零。開(kāi)始靜止，桿質(zhì)心無(wú)水平方向移動(dòng)。由桿在下落每一瞬時(shí)的幾何關(guān)系可得： 即桿上端運(yùn)動(dòng)軌跡方程為： 7.2.4 （1）用積分法證明：質(zhì)量為m長(zhǎng)為的均質(zhì)細(xì)桿對(duì)通過(guò)中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于.（2）用積分法證明：質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心且在盤(pán)面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.【解】（1）均質(zhì)細(xì)桿不：建立水平方向ox坐標(biāo)軸 （2）均質(zhì)薄圓盤(pán) 令 或利用公式7.3.2 圖示實(shí)驗(yàn)用的擺，近似認(rèn)為圓形部分為均質(zhì)圓盤(pán)，長(zhǎng)桿部分為均質(zhì)細(xì)桿.求對(duì)過(guò)懸點(diǎn)且與擺面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.【解】 將擺分為兩部分：均勻細(xì)桿（），均勻圓柱（） 則 = = （用平行軸定理） I=0.14+2.51=2.657.3.3 在質(zhì)量為M半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過(guò)大圓盤(pán)中心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.【解】設(shè)未挖兩個(gè)圓孔時(shí)大圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。如圖半徑為r的小圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為和。則有 （） 7.3.5 一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)速為，兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為，輪半徑為，從開(kāi)始制動(dòng)到靜止需要用多少時(shí)間？【解】 7.3.6 均質(zhì)桿可繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點(diǎn)A時(shí)，支點(diǎn)O對(duì)桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點(diǎn)稱(chēng)為打擊中心.設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，求打擊中心與支點(diǎn)的距離.【解】桿不受作用時(shí)，支點(diǎn)O對(duì)桿的作用力，方向豎直向上，大小為桿的重量。依題意，當(dāng)桿受力時(shí)，不變。建立如圖坐標(biāo)系，軸垂直紙面向外。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：（方向投影）（質(zhì)心在桿中點(diǎn)） （1）由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得： （2）有角量與線量的關(guān)系 （3）（1）（2）（3）聯(lián)立求解7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.用輕線且盡可能潤(rùn)滑輪軸.兩端懸掛重物質(zhì)量各為，且.滑輪半徑為.自靜止始，釋放重物后并測(cè)得內(nèi)下降.滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？【解】分析受力。建立坐標(biāo)系，豎直向下為軸正方向，水平向左為軸正方向。軸垂直紙面向里。根據(jù)牛頓第二定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定理，角量與線量關(guān)系可列標(biāo)量方程組：已知求解上列方程組：7.3.8 斜面傾角為，位于斜面頂端的卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，受到驅(qū)動(dòng)力矩M，通過(guò)繩索牽引斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度.繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量.【解】分析受力及坐標(biāo)如圖。軸垂直紙面向外。列標(biāo)量方程組： （1） （2） （3） （4）解得：7.3.9 利用圖中所示裝置測(cè)一輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，懸線和軸的距離為r.為減小因不計(jì)軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物，從距地面高度處由靜止開(kāi)始下落，落地時(shí)間為，然后懸掛質(zhì)量較大的重物，同樣由高度下落，所需時(shí)間為，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相同.【解】 分析受力及坐標(biāo)如圖。軸垂直紙面向里。列方程：解得 即 7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線O轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為.裝置的一端有槽，槽內(nèi)有彈簧，槽的中心軸線與轉(zhuǎn)軸的垂直距離為r.在槽內(nèi)裝有一小球，質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)用細(xì)線固定，只彈簧處于壓縮狀態(tài).現(xiàn)用燃火柴燒斷細(xì)線，小球以速度彈出.求轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的反沖角速度.在彈射過(guò)程中，由小球和轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)能守恒否？總機(jī)械能守恒否？為什么？（彈簧質(zhì)量不計(jì)）【解】取小球和轉(zhuǎn)動(dòng)裝置為物體系，建立順時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)正方向。在彈射過(guò)程中，物體系相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸未受外力矩，故可知物體受對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。有動(dòng)能不守恒，原因是彈性力對(duì)系統(tǒng)作正功，物體系動(dòng)能增加?？倷C(jī)械能守恒。原因是此過(guò)程中無(wú)耗散力做功。應(yīng)有守恒關(guān)系式：7.4.2 質(zhì)量為2.97kg，長(zhǎng)為1.0m的均質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線O轉(zhuǎn)動(dòng)，最初桿靜止于鉛直方向.一彈片質(zhì)量為10kg，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運(yùn)動(dòng)，求桿的最大擺角.【解】取子彈和桿為物體系。分兩個(gè)過(guò)程。過(guò)程1：子彈嵌入前一瞬時(shí)開(kāi)始到完全嵌入時(shí)為止。此過(guò)程時(shí)間極短，可視為在原地完成。此時(shí)受力為，為轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的支承力，對(duì)于軸，外力矩為零。有角動(dòng)量守恒。規(guī)定逆時(shí)針為轉(zhuǎn)軸正方向。得:解得：過(guò)程2：由過(guò)程1末為始到物體系擺至最高點(diǎn)為止。此過(guò)程中一切耗散力做功為零。故物體系機(jī)械能守恒。取桿的最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。有解得 7.4.3 一質(zhì)量為，速度為的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為，長(zhǎng)度為的棒的端點(diǎn)，速度與棒垂直，棒原來(lái)靜止于光滑的水平面上.子彈擊中棒后共同運(yùn)動(dòng)，求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速度等于多少？【解】取與為物體系。此物體系在水平面內(nèi)不變外力矩。故角動(dòng)量守恒，規(guī)定逆時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)正方向。設(shè)嵌入后物體系共同質(zhì)心為，到棒右端距離為，棒自身質(zhì)心為。由有物體系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒可得：解得 7.4.4 某典型脈沖星，半徑為幾千米，質(zhì)量與太陽(yáng)的質(zhì)量大致相等，轉(zhuǎn)動(dòng)角速率很大.試估算周期為50ms的脈沖星的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.（自己查找太陽(yáng)質(zhì)量的數(shù)據(jù)）【解】7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來(lái)，求其上端到達(dá)地面時(shí)的線速度.設(shè)倒塌時(shí)底部未移動(dòng).可近似認(rèn)為煙囪為細(xì)均質(zhì)桿.【解】7.5.2 用四根質(zhì)量各為m長(zhǎng)度各為的均質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其一邊的中點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，支點(diǎn)O是光滑的.最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動(dòng)，求當(dāng)AB邊達(dá)到水平時(shí)，框架質(zhì)心的線速度以及框架作用于支點(diǎn)的壓力N.【解】框架對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：在框架擺動(dòng)過(guò)程中，僅受重力和支點(diǎn)的支撐力，重力為保守力，支撐力不做功，故此過(guò)程中框架的機(jī)械能守恒。取過(guò)框架中心的水平線為重力勢(shì)能零點(diǎn)：有解得：框架轉(zhuǎn)到AB水平位置時(shí)，故支點(diǎn)O對(duì)框架的作用力，僅有法向分量。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：框架作用支點(diǎn)的力N與是作用力與反作用力。7.5.3 由長(zhǎng)為，質(zhì)量各為m的均質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，其中一角連于光滑水平轉(zhuǎn)軸O，轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直.最初，對(duì)角線OP處于水平，然后從靜止開(kāi)始向下擺動(dòng).求對(duì)角線OP與水平成時(shí)P點(diǎn)的速度，并求此時(shí)框架對(duì)支點(diǎn)的作用力.【解】 框架對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由機(jī)械能守恒： 先求支點(diǎn)O對(duì)框架作用力， 由轉(zhuǎn)動(dòng)定理 ， 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： 投影得：解得：設(shè)N與方向夾角為，則7.5.4 質(zhì)量為m長(zhǎng)為的均質(zhì)桿，其B端放在桌面上，A端用手支住，使桿成水平.突然釋放A端，在此瞬時(shí)，求：（1）桿質(zhì)心的加速度，（2）桿B端所受的力.【解】取桿為隔離體，受力分析及建立坐標(biāo)如圖。規(guī)定順時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)正方向。依據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： （1）依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理： （2）依據(jù)角量與線量關(guān)系： （3）此外， （4） 由聯(lián)立上述四個(gè)方程求得：7.5.5 下面是均質(zhì)圓柱體在水平地面上作無(wú)滑滾動(dòng)的幾種情況，求地面對(duì)圓柱體的靜摩擦力f.（1）沿圓柱體上緣作用以水平拉力F，柱體作加速滾動(dòng).（2）水平拉力F通過(guò)圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動(dòng).（3）不受任何主動(dòng)力的拉動(dòng)或推動(dòng)，柱體作勻速滾動(dòng).（4）在主動(dòng)力偶矩的驅(qū)動(dòng)下作加速滾動(dòng).設(shè)柱體半徑為R.【解】取均勻圓柱體為隔離體，建立坐標(biāo)系，水平向右為軸正方向，軸垂直紙面向里。假設(shè)方向水平向右。mgfNF(1)F(2)C（1）得 （符號(hào)表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相反）（2）得 （符號(hào)表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相同）（3）得 （符號(hào)表示實(shí)際方向與假設(shè)方向相反）7.5.6 板的質(zhì)量為M，受水平力F的作用，沿水平面運(yùn)動(dòng).板與水平面間的摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質(zhì)量為的實(shí)心圓柱，此圓柱只滾動(dòng)不滑動(dòng).求板的加速度.解 答設(shè)所求板對(duì)地的加速度為a，（方向與相同）。以板為參照系(非慣性系)。取圓柱體為隔離體，分析受力如圖，軸垂直紙面向里。依質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律有： （1）依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有： （2）依據(jù)角量與線量關(guān)系有： （3）此外： （4） （5） 取板為隔離體，受力如圖，并建立如圖坐標(biāo)系。列標(biāo)量方程有： (6) (7) (8) (9) (10) (11) 將上述十一個(gè)方程聯(lián)立求解得：7.5.7 在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為b，外徑為R，其繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.線軸與地面間的靜摩擦系數(shù)為.線軸受一水平拉力F，如圖所示.（1）使線軸在桌面上保持無(wú)滑滾動(dòng)之F最大值是多少？（2）若F與水平方向成角，試證，時(shí)，線軸向前滾動(dòng)；時(shí)，線軸線后滾動(dòng).【解】取線軸為隔離體。建立坐標(biāo)系，水平向右為正方向，軸垂直紙面向里。（1）依據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： （1）依據(jù)對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有： （2）由角量與線量的關(guān)系得： （3）上述三式聯(lián)立求解得：欲保持無(wú)滑滾動(dòng)得： 即 （2）列標(biāo)量方程 解得：討論：當(dāng) 即 時(shí)（向前滾動(dòng)）同理時(shí)（向后滾動(dòng)）7.6.1 汽車(chē)在水平路面上勻速行駛，后面牽引旅行拖車(chē)，假設(shè)拖車(chē)僅對(duì)汽車(chē)施以水平向后的拉力。汽車(chē)重，其重心于后軸垂直距離為，前后軸距離為。表示力與地面的距離。問(wèn)汽車(chē)前后輪所受地面支持力與無(wú)拖車(chē)時(shí)有無(wú)區(qū)別？是計(jì)算之。【解】取汽車(chē)為隔離體，設(shè)車(chē)受前后輪的支持力分別為，方向水平向上。前后輪受地面摩擦力分別為，方向分別先后和向前。建立坐標(biāo)系，水平向右為軸正方向，軸垂直紙面向外。汽車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡：當(dāng)有時(shí)：（以后軸為軸）解得： 當(dāng)無(wú)時(shí)：解得：比較 可知7.6.2 將一塊木板的兩端至于兩個(gè)測(cè)力計(jì)上，即可測(cè)出板的重心。這樣測(cè)人的重心就比較困難。因很難將頭和腳置于測(cè)力計(jì)上而身體挺直。若令人躺在板上，能否測(cè)出？若能，給出求重心之法。【解】設(shè)為質(zhì)心與間的垂直距離，為質(zhì)心與間的垂直距離可求。7.6.3 電梯高2.2m，其質(zhì)心在中央。懸線亦過(guò)中央。另有負(fù)載，其重心離電梯中垂線相距0.5m。問(wèn)（1）當(dāng)電梯勻速上升時(shí)，光滑導(dǎo)軌對(duì)電梯的作用力，不計(jì)摩擦（電梯僅在四角處受導(dǎo)軌作用力）；（2）當(dāng)電梯以加速度0.05m/s2上升時(shí)，力如何？【解】（1）由平衡：在水平方向， 以O(shè)為軸線得：， （2）水平方向， 無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)得（以O(shè)為軸線）：7.7.1 環(huán)形框架質(zhì)量為0.20kg，上面裝有質(zhì)量為1.20kg的回轉(zhuǎn)儀，框架下端置于光滑的球形槽內(nèi)，回轉(zhuǎn)儀既自傳又旋進(jìn)，框架僅隨回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)動(dòng)而繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，回轉(zhuǎn)儀自身重心以及它連同框架的重心均在C點(diǎn)，C點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的垂直距離為r=0.02m，回轉(zhuǎn)儀繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4.8×10-4kgm2,自轉(zhuǎn)角速度為120rad/s. 求旋進(jìn)角速度；求支架球形槽對(duì)支架的總支承力。xzrNC(m1+m2)g【解】根據(jù)旋進(jìn)與自旋的關(guān)系式：把回轉(zhuǎn)儀與支架當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)球形槽對(duì)支架的支承力為N，整個(gè)裝置的質(zhì)心C相對(duì)豎直軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：與豎直軸夾角7-21