ch 3中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、高等數(shù)學(xué)教案 3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、 會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、 了解泰勒公式。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛

2、必達法則。教學(xué)難點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達法則的靈活運用。3. 1 微分中值定理 一、羅爾定理 費馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點x , 使得f (x)=0. 簡要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f (x)0, 定

3、理的結(jié)論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點, 不妨設(shè)有一最大值點x(a, b). 于是, , 所以f (x)=0. 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f (x)=, 定理的證明: 引進輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在閉區(qū)間a,

4、 b 上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且j (x)=f (x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個公式對于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 試與微分d y=f (x)Dx 比較: d y =f

5、 (x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達式, 而f (x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達式. 作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點x1, x2(x1x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0時, . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0xx,

6、 有 . 三、柯西中值定理 設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程 (axb)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點x=x , 使曲線上該點的切線平行于連結(jié)曲線端點的弦AB, 曲線C上點x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F (x)在(a, b)內(nèi)的每一點處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成:

7、f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了.3.2 洛必塔法則 如果當(dāng)（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那末極限可能存在、也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為或.在第一章第六節(jié)中討論過的極限就是未定式的一個例子對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這法則下面我們將根據(jù)柯西中值定理來推出求這類極限的一種簡便且重要的方法 我們著重討論時的未定式的情形，關(guān)于這情形有以下定理：定理1 設(shè) (1)當(dāng)時，函數(shù)及都趨于零；(2)在點的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么 .這就是說，當(dāng)存在時,也存在且等

8、于；當(dāng)為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必塔（LHospital）法則證明 因為求當(dāng)時的極限與及無關(guān)，所以可以假定，于是由條件(1)、(2)知道，及在點的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的設(shè)是這鄰域內(nèi)的一點，那么在以及為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有 （在與之間）令，并對上式兩端求極限，注意到時，再根據(jù)條件(3)便得要證明的結(jié)論. 如果當(dāng)時仍屬型，且這時，能滿足定理中， 所要滿足的條件，那末可以繼續(xù)施用洛必達法則先確定，從而確定，即 .且可以依次類推例1 求 （）.解 .例2 求.解 .注 上式中的已不是未定式，不能對它應(yīng)用洛必達法則

9、，否則要導(dǎo)致錯誤結(jié)果以后使用洛必達法則時應(yīng)當(dāng)經(jīng)常注意這一點，如果不是未定式，就不能應(yīng)用洛必達法則例3 求 .解 =.我們指出對于時的未定式，以及對于或時的未定式，也有相應(yīng)的洛必達法則例如，對于時的未定式有以下定理.定理2 設(shè) (1)當(dāng)時，函數(shù)及都趨于零；(2)當(dāng)時與都存在，且；（3）存在（或為無窮大），那么 例4 求解 例5 求 （）.解 例6 求 (n為正整數(shù)，)解 相繼應(yīng)用洛必達法則n次，得 注 1.如果例6中的不是正整數(shù)而是任何正數(shù)，那么極限仍為零.2.對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時的無窮大，但從例5、6可以看出，這三個函數(shù)增大的“速度”的很不一樣的，冪函數(shù)增大的“速度”比對數(shù)函數(shù)快

10、得多，而指數(shù)函數(shù)增大的“速度”又比冪函數(shù)快得多.其它尚有一些、型的未定式，也可通過或型的未定式來計其，下面用例子說明例7 求 （）.解 這是未定式因為 ，當(dāng)時，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達法則，得注 型未定式轉(zhuǎn)化為或型未定式時，對數(shù)與反三角函數(shù)一般不“下放”.例8 求解 這是未定式.因為，當(dāng)時，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達法則，得 注 型未定式采用通分、根式有理化、變量替換等方法轉(zhuǎn)化.例如：，等.例9 求解 這是未定式.設(shè)，取對數(shù)得 ，當(dāng)時，上式右端是未定式應(yīng)用例7的結(jié)果得 因為 ，而 (當(dāng))，所以 注 型未定式還常利用對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化為型未定式，再轉(zhuǎn)化為 或型未定式.例如：，等. 洛必達法則是

11、求未定式的一種有效方法但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用這樣可以使運算簡捷.例10 求解 如果直接用洛必達法則那么分母的導(dǎo)數(shù)(尤其是高階導(dǎo)數(shù))較繁如果作個等價無窮小替代，那末運算就方便得多.其運算如下： 最后我們指出，本節(jié)定理給出的是求未定式的種方法當(dāng)定理條件滿足時，所求的極限當(dāng)然存在(或為)，但當(dāng)定理條件不滿足時所求極限卻不定不存在，這就是說，當(dāng)不存在時（等于無窮大的情況除外），仍可能存在(見本節(jié)習(xí)題第2題) 小結(jié)與提問： 小結(jié)：1.使用羅必塔法則之前應(yīng)該驗明其是否滿足羅必塔法則條件。2.羅必塔法則是求未定型極限的有效

12、方法，但不是萬能的。 提問：求極限時能否使用羅必塔法則？ 3. 3 泰勒公式 對于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達. 由于用多項式表示的函數(shù), 只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù). 在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當(dāng)|x|很小時, 有如下的近似等式: e x 1+x, ln(1+x) x. 這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子. 但是這種近似表達式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無窮小; 其次是用它來作近似計算時, 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對于精

13、確度要求較高且需要估計誤差時候, 就必須用高次多項式來近似表達函數(shù), 同時給出誤差公式. 設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個關(guān)于(x-x0 )的n次多項式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n來近似表達f(x), 要求p n(x)與f(x)之差是比(x-x0 ) n高階的無窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0

14、 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 , p n (x0 )= 2! a 2 , p n (x)= 3!a 3 , ,

15、p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到(n

16、+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x 在(a, b)內(nèi)時, f(x)可以表示為(x-x0 )的一個n次多項式與一個余項R n(x)之和: 其中(x 介于x0與x之間).這里 多項式 . 稱為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 次近似多項式, 公式 + , 稱為f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達式其中(x介于x與x0之間). 稱為拉格朗日型余項. 當(dāng)n=0時, 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f (x)(x-x0 ) (x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對于某個固定的n, 當(dāng)x在區(qū)間(a, b)內(nèi)

17、變動時, |f (n+1)(x)|總不超過一個常數(shù)M, 則有估計式: ,及 . 可見, 當(dāng)x x0時, 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無窮小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余項的精確表達式時, n 階泰勒公式也可寫成 + . 當(dāng)x0 =0時的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 誤差估計式變?yōu)? . 例1寫出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式. 解: 因為 f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1 , 于是 (0q1),

18、 并有 . 這時所產(chǎn)性的誤差為 |R n(x)|=|x n+1| x | n+1. 當(dāng)x=1時, 可得e的近似式: . 其誤差為 |R n |0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點x1 , x2 (x1 x2 ), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2-x1) (x1 x0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f (x)保持正號, 即f (x)0, 那么也有f (x)0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -

19、x1 )0, 即 f(x1 )0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域為(-, +). 因為在(-, 0)內(nèi)y0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域為(-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時, 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因為x0時, y0時, y0, 所以函數(shù)在0, +)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點

20、外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f (x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f (x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號, 因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個函數(shù)的定義域為:(-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點有兩個: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 11, 22, +)f (x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, 1和2, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的

21、單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域為: (-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y=3x2 . 除當(dāng)x=0時, y=0外, 在其余各點處均有y0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-, 0及0, +)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個定義域: (-, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零, 在其余各點處均為正（或負）時, 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x1時, . 證明: 令, 則 . 因為當(dāng)x1時, f (x)0, 因此f(x)在1, +)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x1時, f(x)f(1). 由于f(1)

22、=0, 故f(x)f(1)=0, 即 , 也就是(x1). 二、曲線的凹凸與拐點 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對I上任意兩點x 1, x 2, 恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定

23、理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f (x)0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f (x)0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2a, b, 且x1x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點: 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二

24、階導(dǎo)數(shù)f (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點; 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因為在函數(shù)y=ln x的定義域(0, +)內(nèi), y0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因為當(dāng)x0時, y0時, y0, 所以曲線在0, +)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因為當(dāng)時, y

25、0, 所以點(, )是曲線的拐點. 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域為(-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判斷: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在區(qū)間(-, 0和2/3, +)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點. 例5 問曲線y=x 4是否有拐點？ 解 y=4x 3, y=12x 2. 當(dāng)x 0時, y0, 在區(qū)間(-, +

26、)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點. 例6. 求曲線的拐點. 解 (1)函數(shù)的定義域為(-, +); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點, 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x0; 當(dāng)x0時, y0. 因此, 點(0, 0)曲線的拐點. 3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0), 則稱f(

27、x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值, 那只是就x0 附近的一個局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個最大值; 如果就f(x)的整個定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f (

28、x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個去心鄰域內(nèi), 對于任何點x , f(x) f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x x0 時, 因此 ; 從而得到 f (x0) = 0 . 簡要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個去心鄰域內(nèi)有f(x)0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f (x)不改變符號, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理

29、 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f (x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)0, 在(x0, x

30、0+d)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f (x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡單地這樣說: 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時, 如果f (x)的符號由負變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f (x)的符號由正變負, 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f (x)的符號并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點和極值的步驟: (1)求

31、出導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求出f(x)的全部駐點和不可導(dǎo)點; (3)列表判斷(考察f (x)的符號在每個駐點和不可導(dǎo)點的左右鄰近的情況, 以便確定該點是否是極值點, 如果是極值點, 還要按定理2確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f (x)=0, 得駐點x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點; (3)列表判斷 x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)f (x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充

32、分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0, f (x0)0, 那么 (1)當(dāng)f (x0)0時, 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f (x0)0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當(dāng)x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時, . 但f (x0)=0, 所以上式即. 從而知道, 對于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f (x)與x-x0符號相反. 因此, 當(dāng)x-x00即x0; 當(dāng)x-x00即xx0時, f (x)0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡要證明: 在情形(1), 由于f (x0)0, f (

33、x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 .根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 在x0的某一去心鄰域內(nèi)有 . 從而在該鄰域內(nèi), 當(dāng)x0; 當(dāng)xx0時, f (x)0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導(dǎo)數(shù)f (x0) 0, 那么該點x0一定是極值點, 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f (x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f (x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點x=0是否有極值？ 提示: f (x)=4x 3, f (0)=0; f (x)=12x2, f (0)=0. 但當(dāng)x0時f (x)

34、0時f (x)0, 所以f(0) 為極小值. g (x)=3x2, g (0)=0; g (x)=6x, g (0)=0. 但g(0)不是極值 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f (x)=6x(x2-1)2. (2)令f (x)=0, 求得駐點x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f (x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f (0)=60, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f (-1)=f (1)=0, 用定理3無法判別. 因為在-1的左右鄰域內(nèi)f (x)0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1

35、處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中, 常常會遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函

36、數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(它們是可能的極值點)為x1, x2, , xn, 則比較 f(a), f(x 1), , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點為; 不可導(dǎo)點為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=

37、0, f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運輸需要, 要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省, 問D點應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點到C點需要的總運費為y, 那么 y=5kCD+3kDB (k是某個正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0x100). 現(xiàn)

38、在, 問題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時目標函數(shù)y的值最小. 先求y對x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時, 總運費為最省. 例2 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運費最省, 問D點應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), B與C間的運費為y, 則 y=5kCD+3kDB (0x100), 其中k是某一正數(shù)

39、. 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時, 總運費為最省. 注意: f(x)在一個區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點x0 , 并且這個駐點x0 是函數(shù)f(x)的極值點, 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當(dāng)指出, 實際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以

40、斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d hb 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0bd). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d). 現(xiàn)在, 問題化為: b等于多少時目標函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對b 的導(dǎo)數(shù): . 解方程W =0得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定

41、存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個駐點, 所以當(dāng)時, W 的值最大. 這時, , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0b0, 相反時s0, =. 于是ds=dx. 因為當(dāng)Dx0時, Ds, Dx又Ds與同號, 所以 .因此 ,這就是弧微分公式. 二、曲率及其計算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點M 0作為度量弧s 的基點. 設(shè)曲線上點M 對應(yīng)于弧s, 在點M處切線的傾角為a , 曲線上另外一點N對應(yīng)于弧s+Ds , 在點N處切線的傾角為a+Da . 我們用比值, 即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均

42、彎曲程度. 記, 稱為弧段MN的平均曲率. 記, 稱K為曲線C在點M處的曲率. 在=存在的條件下, . 曲率的計算公式: 設(shè)曲線的直角坐標方程是y=f(x), 且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時f (x)連續(xù), 從而曲線是光滑的）. 因為tan a=y , 所以 sec 2a da=ydx, .又知ds=dx, 從而得曲率的計算公式 . 例1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 例2. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 討論: 1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 提示: 設(shè)直線方程為y=ax+b, 則y=a, y= 0. 于是K=0. 2. 若曲線的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(

43、t)給, 那么曲率如何計算？ 提示: . 3. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 提示: 圓的參數(shù)方程為x=R cos t, y=R sin t . 例1. 計算等雙曲線x y =1在點(1, 1)處的曲率. 解: 由, 得 , . 因此 y|x=1=-1, y|x=1=2. 曲線xy =1在點(1, 1)處的曲率為 . 例4 拋物線y=a x 2+b x+c 上哪一點處的曲率最大？ 解: 由y=a x 2+b x+c, 得 y=2a x +b , y=2a , 代入曲率公式, 得 . 顯然, 當(dāng)2ax+b=0時曲率最大. 曲率最大時, x=-, 對應(yīng)的點為拋物線的頂點. 因此, 拋物線在頂點處的曲率最大, 最大曲率為K=|2a| . 三、曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點M