ch 3中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)教案 §3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、 會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、 了解泰勒公式。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學(xué)難點： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達法則的靈活運用。§3. 1 微分中值定理 一、羅爾定理 費馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對任意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0), 那么f ¢(x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點x , 使得f ¢(x)=0. 簡要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f ¢(x)º0, 定理的結(jié)論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點, 不妨設(shè)有一最大值點xÎ(a, b). 于是, , 所以f ¢(x)=0. 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點x(a<x<b), 使得等式f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f ¢(x)=, 定理的證明: 引進輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且j ¢(x)=f ¢(x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點x, 使j ¢(x)=0, 即f ¢(x)-=0. 由此得 = f ¢(x) , 即 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個公式對于b<a也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式: 設(shè)x 為區(qū)間a, b內(nèi)一點, x+Dx 為這區(qū)間內(nèi)的另一點(Dx>0或Dx<0), 則在x, x+Dx (Dx>0)或x+Dx, x (Dx<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 試與微分d y=f ¢(x)Dx 比較: d y =f ¢(x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達式, 而f ¢(x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達式. 作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點x1, x2(x1<x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f ¢(x)(x2 - x1) (x1<x< x2). 由假定, f ¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即f(x2)=f(x1). 因為x1, x2是I上任意兩點, 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的, 這就是說, f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù). 例2. 證明當x>0時, . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0<x<x, 有 . 三、柯西中值定理 設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程 (a£x£b)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點x=x , 使曲線上該點的切線平行于連結(jié)曲線端點的弦AB, 曲線C上點x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F ¢(x)在(a, b)內(nèi)的每一點處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成: f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了.§3.2 洛必塔法則 如果當（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那末極限可能存在、也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為或.在第一章第六節(jié)中討論過的極限就是未定式的一個例子對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這法則下面我們將根據(jù)柯西中值定理來推出求這類極限的一種簡便且重要的方法 我們著重討論時的未定式的情形，關(guān)于這情形有以下定理：定理1 設(shè) (1)當時，函數(shù)及都趨于零；(2)在點的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或為無窮大），那么 .這就是說，當存在時,也存在且等于；當為無窮大時，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必塔（LHospital）法則證明 因為求當時的極限與及無關(guān)，所以可以假定，于是由條件(1)、(2)知道，及在點的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的設(shè)是這鄰域內(nèi)的一點，那么在以及為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有 （在與之間）令，并對上式兩端求極限，注意到時，再根據(jù)條件(3)便得要證明的結(jié)論. 如果當時仍屬型，且這時，能滿足定理中， 所要滿足的條件，那末可以繼續(xù)施用洛必達法則先確定，從而確定，即 .且可以依次類推例1 求 （）.解 .例2 求.解 .注 上式中的已不是未定式，不能對它應(yīng)用洛必達法則，否則要導(dǎo)致錯誤結(jié)果以后使用洛必達法則時應(yīng)當經(jīng)常注意這一點，如果不是未定式，就不能應(yīng)用洛必達法則例3 求 .解 =.我們指出對于時的未定式，以及對于或時的未定式，也有相應(yīng)的洛必達法則例如，對于時的未定式有以下定理.定理2 設(shè) (1)當時，函數(shù)及都趨于零；(2)當時與都存在，且；（3）存在（或為無窮大），那么 例4 求解 例5 求 （）.解 例6 求 (n為正整數(shù)，)解 相繼應(yīng)用洛必達法則n次，得 注 1.如果例6中的不是正整數(shù)而是任何正數(shù)，那么極限仍為零.2.對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當時的無窮大，但從例5、6可以看出，這三個函數(shù)增大的“速度”的很不一樣的，冪函數(shù)增大的“速度”比對數(shù)函數(shù)快得多，而指數(shù)函數(shù)增大的“速度”又比冪函數(shù)快得多.其它尚有一些、型的未定式，也可通過或型的未定式來計其，下面用例子說明例7 求 （）.解 這是未定式因為 ，當時，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達法則，得注 型未定式轉(zhuǎn)化為或型未定式時，對數(shù)與反三角函數(shù)一般不“下放”.例8 求解 這是未定式.因為，當時，上式右端是未定式，應(yīng)用洛必達法則，得 注 型未定式采用通分、根式有理化、變量替換等方法轉(zhuǎn)化.例如：，等.例9 求解 這是未定式.設(shè)，取對數(shù)得 ，當時，上式右端是未定式應(yīng)用例7的結(jié)果得 因為 ，而 (當)，所以 注 型未定式還常利用對數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化為型未定式，再轉(zhuǎn)化為 或型未定式.例如：，等. 洛必達法則是求未定式的一種有效方法但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用這樣可以使運算簡捷.例10 求解 如果直接用洛必達法則那么分母的導(dǎo)數(shù)(尤其是高階導(dǎo)數(shù))較繁如果作個等價無窮小替代，那末運算就方便得多.其運算如下： 最后我們指出，本節(jié)定理給出的是求未定式的種方法當定理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為)，但當定理條件不滿足時所求極限卻不定不存在，這就是說，當不存在時（等于無窮大的情況除外），仍可能存在(見本節(jié)習題第2題) 小結(jié)與提問： 小結(jié)：1.使用羅必塔法則之前應(yīng)該驗明其是否滿足羅必塔法則條件。2.羅必塔法則是求未定型極限的有效方法，但不是萬能的。 提問：求極限時能否使用羅必塔法則？ §3. 3 泰勒公式 對于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達. 由于用多項式表示的函數(shù), 只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù). 在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當|x|很小時, 有如下的近似等式: e x »1+x, ln(1+x) »x. 這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子. 但是這種近似表達式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無窮小; 其次是用它來作近似計算時, 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對于精確度要求較高且需要估計誤差時候, 就必須用高次多項式來近似表達函數(shù), 同時給出誤差公式. 設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個關(guān)于(x-x0 )的n次多項式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ × × × + a n (x-x0 ) n來近似表達f(x), 要求p n(x)與f(x)之差是比(x-x0 ) n高階的無窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+× × × + a n (x-x0 ) n , p n¢(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) +× × × +na n (x-x0 ) n-1 , p n¢¢(x)= 2 a 2 + 3×2a 3(x-x0 ) +× × × + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n¢¢¢(x)= 3!a 3 +4×3×2a 4(x-x0 ) +× × × + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , × × × × × × , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n ¢(x0 )= a 1 , p n ¢¢(x0 )= 2! a 2 , p n ¢¢¢(x)= 3!a 3 , × × × , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f ¢(x0)= p n ¢(x0)= a 1 , f ¢¢(x0)= p n ¢¢(x0)= 2! a 2 , f ¢¢¢(x0)= p n ¢¢¢(x0)= 3!a 3 , × × × × × × f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f ¢(x0 ), , × × × , , . (k=0, 1, 2, × × ×, n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f ¢(x0) (x-x0)(x-x0) 2 +× × × (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當x 在(a, b)內(nèi)時, f(x)可以表示為(x-x0 )的一個n次多項式與一個余項R n(x)之和: 其中(x 介于x0與x之間).這里 多項式 . 稱為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 次近似多項式, 公式 +× × ×, 稱為f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達式其中(x介于x與x0之間). 稱為拉格朗日型余項. 當n=0時, 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f ¢(x)(x-x0 ) (x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對于某個固定的n, 當x在區(qū)間(a, b)內(nèi)變動時, |f (n+1)(x)|總不超過一個常數(shù)M, 則有估計式: ,及 . 可見, 當x ®x0時, 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無窮小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余項的精確表達式時, n 階泰勒公式也可寫成 +× × ×. 當x0 =0時的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 誤差估計式變?yōu)? . 例1寫出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式. 解: 因為 f(x)=f ¢(x)=f ¢¢(x)= × × × =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f ¢(0)=f ¢¢(0)= × × × =f ( n)(0)=1 , 于是 (0<q<1), 并有 . 這時所產(chǎn)性的誤差為 |R n(x)|=|x n+1|<| x | n+1. 當x=1時, 可得e的近似式: . 其誤差為 |R n |<. 例2求f(x)=sin x的n階麥克勞林公式. 解: 因為 f ¢(x)=cos x , f ¢¢(x)=-sinx , f ¢¢¢(x)= -cos x , , × × × , f (0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0 , f ¢¢¢(0)=-1, f ( 4)(0)=0, × × ×, 于是 . 當m=1，2，3時, 有近似公式 sin x»x, , . §3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在a , b上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）, 即y¢=f ¢(x)³0(y¢=f ¢(x)£0). 由此可見, 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系. 反過來, 能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？ 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點x1 , x2 (x1 <x2 ), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2-x1) (x1 <x<x2 ). 由于在上式中, x2-x1>0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f ¢(x)保持正號, 即f ¢(x)>0, 那么也有f ¢(x)>0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ), 這函數(shù)y=f(x) 在a, b上單調(diào)增加. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在0, 2p上的單調(diào)性. 解 因為在(0, 2p)內(nèi)，y¢=1-cos x >0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y¢=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域為(-¥, +¥). 因為在(-¥, 0)內(nèi)y¢<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因為在(0, +¥)內(nèi)y¢>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +¥)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域為(-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x¹0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當x=0時, 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因為x<0時, y¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因為x>0時, y¢>0, 所以函數(shù)在0, +¥)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f ¢(x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f ¢(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號, 因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個函數(shù)的定義域為:(-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點有兩個: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, 1和2, +¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域為: (-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y¢=3x2 . 除當x=0時, y¢=0外, 在其余各點處均有y¢>0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-¥, 0及0, +¥)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個定義域: (-¥, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f ¢(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零, 在其余各點處均為正（或負）時, 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當x>1時, . 證明: 令, 則 . 因為當x>1時, f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調(diào)增加, 從而當x>1時, f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對I上任意兩點x 1, x 2, 恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)>0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)<0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2Îa, b, 且x1<x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點: 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f¢¢ (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點; 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因為在函數(shù)y=ln x的定義域(0, +¥)內(nèi), y¢¢<0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y¢=3x 2, y¢¢=6x . 由y¢¢=0, 得x=0. 因為當x<0時, y¢¢<0, 所以曲線在(-¥, 0內(nèi)為凸的; 因為當x>0時, y¢¢>0, 所以曲線在0, +¥)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y¢¢=0, 得. 因為當時, y¢¢<0; 當時, y¢¢>0, 所以點(, )是曲線的拐點. 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域為(-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=0, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間(-¥, 0和2/3, +¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點. 例5 問曲線y=x 4是否有拐點？ 解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 當x ¹0時, y¢¢>0, 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點. 例6. 求曲線的拐點. 解 (1)函數(shù)的定義域為(-¥, +¥); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點, 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點為x=0; (4)判斷: 當x<0當, y¢¢>0; 當x>0時, y¢¢<0. 因此, 點(0, 0)曲線的拐點. §3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0Î(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值; 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值, 那只是就x0 附近的一個局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個最大值; 如果就f(x)的整個定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f ¢(x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個去心鄰域內(nèi), 對于任何點x , f(x) < f(x0)均成立. 于是 當x < x0 時, 因此 f ¢(x0); 當x > x0 時, 因此 ; 從而得到 f ¢(x0) = 0 . 簡要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0). 于是 , 同時 ,從而得到f ¢(x0) = 0 . 駐點: 使導(dǎo)數(shù)為零的點(即方程f ¢(x) = 0的實根)叫函數(shù)f(x)的駐點. 定理就是說: 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點. 但的過來, 函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點. 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域內(nèi)連續(xù), 在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f ¢(x)>0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f ¢(x)不改變符號, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理¢ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f ¢(x)>0, 在(x0, b)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f ¢(x)<0, 在(x0, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f ¢(x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2¢¢(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)È(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)>0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)<0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f ¢(x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡單地這樣說: 當x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時, 如果f ¢(x)的符號由負變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f ¢(x)的符號由正變負, 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f ¢(x)的符號并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f ¢(x); (2)求出f(x)的全部駐點和不可導(dǎo)點; (3)列表判斷(考察f ¢(x)的符號在每個駐點和不可導(dǎo)點的左右鄰近的情況, 以便確定該點是否是極值點, 如果是極值點, 還要按定理2確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得駐點x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點; (3)列表判斷 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1)當f ¢¢(x0)<0時, 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (1)當f ¢¢(x0)>0時, 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f ¢¢(x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時, . 但f ¢(x0)=0, 所以上式即. 從而知道, 對于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f ¢(x)與x-x0符號相反. 因此, 當x-x0<0即x<x0時, f ¢(x)>0; 當x-x0>0即x>x0時, f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡要證明: 在情形(1), 由于f ¢¢(x0)<0, f ¢(x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 .根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 在x0的某一去心鄰域內(nèi)有 . 從而在該鄰域內(nèi), 當x<x0時, f ¢(x)>0; 當x>x0時, f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導(dǎo)數(shù)f ¢¢(x0) ¹0, 那么該點x0一定是極值點, 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f ¢¢(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f ¢¢(x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點x=0是否有極值？ 提示: f ¢(x)=4x 3, f ¢(0)=0; f ¢¢(x)=12x2, f ¢¢(0)=0. 但當x<0時f ¢(x)<0, 當x>0時f ¢(x)>0, 所以f(0) 為極小值. g ¢(x)=3x2, g ¢(0)=0; g ¢¢(x)=6x, g ¢¢(0)=0. 但g(0)不是極值 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f ¢(x)=6x(x2-1)2. (2)令f ¢(x)=0, 求得駐點x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f ¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f ¢¢(0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f ¢¢(-1)=f ¢¢(1)=0, 用定理3無法判別. 因為在-1的左右鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中, 常常會遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(它們是可能的極值點)為x1, x2, × × × , xn, 則比較 f(a), f(x 1), × × × , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點為; 不可導(dǎo)點為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運輸需要, 要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省, 問D點應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點到C點需要的總運費為y, 那么 y=5k×CD+3k×DB (k是某個正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0£x£100). 現(xiàn)在, 問題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時目標函數(shù)y的值最小. 先求y對x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y¢=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當AD=x=15km時, 總運費為最省. 例2¢ 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運費最省, 問D點應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), B與C間的運費為y, 則 y=5k×CD+3k×DB (0£x£100), 其中k是某一正數(shù). 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當AD=x=15km時, 總運費為最省. 注意: f(x)在一個區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點x0 , 并且這個駐點x0 是函數(shù)f(x)的極值點, 那么, 當f(x0)是極大值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當f(x0)是極小值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當指出, 實際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d hb 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0<b<d). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d). 現(xiàn)在, 問題化為: b等于多少時目標函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對b 的導(dǎo)數(shù): . 解方程W ¢=0得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個駐點, 所以當時, W 的值最大. 這時, , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0<b<d). 由, 得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在函數(shù)W在(0, d)內(nèi)只有一個駐點, 所以當時, 抗彎截面模量W最大, 這時. §3. 8 函數(shù)圖形的描繪 描繪函數(shù)圖形的一般步驟: (1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù); (2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點, 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點; (3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性; (4)確定曲線的漸近性; (5)確定并描出曲線上極值對應(yīng)的點、拐點、與坐標軸的交點、其它點; (6)聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù)的圖形. 例1. 畫出函數(shù)y=x 3-x 2-x+1的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域為(-¥, +¥), (2) f ¢(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f ¢¢(x)=6x-2=2(3x-1). f ¢(x)=0的根為x= -1/3, 1; f ¢¢(x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析: x(-¥, -1/3)-1/3(-1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+0-0+f ¢¢(x)-0+f(x)Ç極大Ç拐點È極小È (4)當x ®+¥時, y ®+¥ 當x ®-¥時, y ®-¥. (5)計算特殊點: f(-1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描點聯(lián)線畫出圖形: 例2. 作函數(shù)的圖形. 解: (1) 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域為(-¥, +¥), 圖形關(guān)于y軸對稱. (2), . 令f ¢(x)=0, 得x=0; 令f ¢¢(x)=0, 得x=-1和x=1. (3)列表: x(-¥, -1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +¥)f ¢(x)0f ¢¢(x)00y=f(x)È拐點Ç極大值Ç拐點È (4)曲線有水平漸近線y=0. (5)先作出區(qū)間(0, +¥)內(nèi)的圖形, 然后利用對稱性作出區(qū)間(-¥, 0)內(nèi)的圖形. §3. 9 曲 率 一、弧微分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 在曲線y=f(x)上取固定點M 0(x 0, y 0)作為度量弧長的基點, 并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向. 對曲線上任一點M(x, y), 規(guī)定有向弧段的值s（簡稱為弧s）如下: s的絕對值等于這弧段的長度, 當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0, 相反時s<0. 顯然, 弧s=是x的函數(shù): s=s(x), 而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù). 下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分. 設(shè)x , Dx 為(a, b)內(nèi)兩個鄰近的點, 它們在曲線y=f(x)上的對應(yīng)點為M, N, 并設(shè)對應(yīng)于x的增量Dx , 弧s的增量為Ds, 于是 , , 因為=1, 又=y¢, 因此 =±. 由于s=s(x)是單調(diào)增加函數(shù), 從而>0, =. 于是ds=dx. 因為當Dx®0時, Ds, Dx又Ds與同號, 所以 .因此 ,這就是弧微分公式. 二、曲率及其計算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點M 0作為度量弧s 的基點. 設(shè)曲線上點M 對應(yīng)于弧s, 在點M處切線的傾角為a , 曲線上另外一點N對應(yīng)于弧s+Ds , 在點N處切線的傾角為a+Da . 我們用比值, 即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度. 記, 稱為弧段MN的平均曲率. 記, 稱K為曲線C在點M處的曲率. 在=存在的條件下, . 曲率的計算公式: 設(shè)曲線的直角坐標方程是y=f(x), 且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時f ¢(x)連續(xù), 從而曲線是光滑的）. 因為tan a=y¢ , 所以 sec 2a da=y¢¢dx, .又知ds=dx, 從而得曲率的計算公式 . 例1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 例2. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 討論: 1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 提示: 設(shè)直線方程為y=ax+b, 則y¢=a, y¢¢= 0. 于是K=0. 2. 若曲線的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(t)給, 那么曲率如何計算？ 提示: . 3. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 提示: 圓的參數(shù)方程為x=R cos t, y=R sin t . 例1. 計算等雙曲線x y =1在點(1, 1)處的曲率. 解: 由, 得 , . 因此 y¢|x=1=-1, y¢¢|x=1=2. 曲線xy =1在點(1, 1)處的曲率為 . 例4 拋物線y=a x 2+b x+c 上哪一點處的曲率最大？ 解: 由y=a x 2+b x+c, 得 y¢=2a x +b , y¢¢=2a , 代入曲率公式, 得 . 顯然, 當2ax+b=0時曲率最大. 曲率最大時, x=-, 對應(yīng)的點為拋物線的頂點. 因此, 拋物線在頂點處的曲率最大, 最大曲率為K=|2a| . 三、曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點M