2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 第2課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3.ppt

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1、第2課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,第一章 1.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別. 2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系,解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用.使用時(shí)要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點(diǎn)： (1)合理分類，準(zhǔn)確分步：處理計(jì)數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個(gè)原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)需要滿足兩 個(gè)條件：類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；總數(shù)

2、要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性.,知識(shí)點(diǎn)二 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想.,題型探究,例1 用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字， (1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？,解 三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有55553125(種).,類型一 組數(shù)問題,解答,(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？,解 三位數(shù)的首

3、位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(種).,(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解 被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4， 因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4312(種)排法； 一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3種排法，十位有3種排法，因此有23318(種)排法. 因而有121830(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).,解答,引申探究 由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？,解 完成“組成無重復(fù)

4、數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法； 第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個(gè)剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有233236(個(gè)).,解答,反思與感悟 對(duì)于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則： (1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解. (2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最

5、高位.,跟蹤訓(xùn)練1 從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 A.24 B.18 C.12 D.6,解析 由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇. 如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種； 如果是第二種情況偶奇奇：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12618(種)情況.故選B.,答案,解析,例2 高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則

6、不同的分配方案有 A.16種 B.18種 C.37種 D.48種,類型二 選(抽)取與分配問題,答案,解析,解析 方法一 (直接法) 以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案共有339(種)；第三類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠，其分配方案共有33327(種). 綜上所述，不同的分配方案有192737(種). 方法二 (間接法) 先計(jì)算3個(gè)班級(jí)自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即44433337(種)方案.,反思與感悟 解決抽取(分配)問題的

7、方法 (1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法. (2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.,跟蹤訓(xùn)練2 3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種方法？,解 (以小球?yàn)檠芯繉?duì)象)分三步來完成： 第一步：放第一個(gè)小球有5種選擇； 第二步：放第二個(gè)小球有4種選擇； 第三步：放第三個(gè)小球有3種選擇， 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，總方法數(shù)N54360

8、.,解答,例3 (1)將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有_種.,類型三 涂色與種植問題,42,答案,解析,解析 分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有兩種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c. (1)若第三塊田放c：,第四、五塊田分別有2種方法，共有224(種)方法. (2)若第三塊田放a：,第四塊有b或c兩種方法， 若第四塊放c：,第五塊有2種方法； 若第四塊放b：,第五塊只能種作物c，共1種方法. 綜上，共有32(2221)42(種)方法.,(2

9、)將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？,解 第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法. 當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4312(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5123180(種)不同的涂法. 當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有18080260(種)不同的涂法.,

10、解答,引申探究 本例(2)中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？,解答,解 依題意，可分兩類情況：不同色；同色. 第一類：不同色，則所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成. 第一步涂，從5種顏色中任選一種，有5種涂法； 第二步涂，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法； 第三步涂與第四步涂時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法. 于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法為5432120(種).,第二類：同色，則不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成. 第一步涂，有5種涂法；第二步涂，有4種涂法；第三步涂，有3種涂法. 于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有54360(種)

11、. 綜上可知，所求的涂色方法共有12060180(種).,反思與感悟 解決涂色(種植)問題的一般思路 涂色問題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，有幾種常用方法： (1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析. (2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析. (3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題. 種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).,跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法

12、的總數(shù)為_.,答案,解析,420,解析 按照SABCD的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類： 第一類，A，C同色，則有54313180(種)不同的染色方法. 第二類，A，C不同色，則有54322240(種)不同的染色方法. 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有180240420(種)不同的染色方法.,達(dá)標(biāo)檢測,1.有A，B兩種類型的車床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會(huì)操作兩種車床，丙只會(huì)操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有 A.6種 B.5種 C.4種 D.3種,解析 不同的選派情況可分為3類： 若選甲、乙，有2種方法； 若選甲、丙，有1種方法；

13、若選乙、丙，有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法有2114(種).,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.用0,1，9這10個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 A.243 B.252 C.261 D.648,解析 0,1,2，9共能組成91010900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有998648(個(gè))，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè)).,1,2,3,4,5,答案,解析,3.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有 A.24種 B.48種 C.64種 D.81種

14、,解析 由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有43224(種)不同的參賽方法.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.火車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有 A.510種 B.105種 C.50種 D.500種,1,2,3,4,5,解析 分10步. 第1步：考慮第1名乘客下車的所有可能有5種； 第2步：考慮第2名乘客下車的所有可能有5種； ； 第10步：考慮第10名乘客下車的所有可能有5種. 故共有乘客下車的可能方式 510(種).,1,2,3,4,5,答案,解析,5.如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，

15、要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有_種.,解析 A有4種涂法，B有3種涂法，C有3種涂法，D有3種涂法，共有4333108(種)涂法.,1,2,3,4,5,108,1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學(xué)習(xí)的排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ). 2.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨(dú)立完成；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨(dú)立的步驟. 3.一般是先分類再分步，分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺漏. 4.若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時(shí)，則使用間接法會(huì)簡單一些.,規(guī)律與方法,