2022年六年級(jí)奧數(shù),牛吃草問題,教師講義

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1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載牛吃草問題講義牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是：（1）草的生長(zhǎng)速度（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）原有草量牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)原有草量（牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度）；（4）牛頭數(shù)原有草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為1，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。牛吃草問題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比較淺顯的牛吃草問題，給大家開拓一下思維，首先，先介紹一下這

2、類問題的背景，大家看知識(shí)要點(diǎn)特點(diǎn)：在“牛吃草”問題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。典例評(píng)析例1、有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃 25天，或可供 24頭牛吃 10天，那么它可供幾頭牛吃20天？例2、由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少，如果某塊草地上的草可供25頭年吃4天，或可供 16頭牛吃 6天，那么可供10頭牛吃多少天？精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載例3、一片勻速生長(zhǎng)的草地，可以供18投牛吃 40天，或者供 12頭牛與 36只羊吃 25天，如果 1頭牛每天的

3、吃草兩相當(dāng)于 3只羊每天的吃草量。請(qǐng)問：這片草地讓17頭牛與多少只羊一起吃，剛好16天吃完？牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃 6天或 23頭牛吃 9天。問可供 21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變啊？草是以勻速生長(zhǎng)的，也就是說每天長(zhǎng)的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我

4、們解題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體 1份是多少我們不知道，也不用管它，【思考 1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃 6天，或 20頭牛吃 10天，那么可供 18頭牛吃幾天？設(shè)1頭牛 1天吃的草為 1份。則每天新生的草量是（2010-24 6）(10-6)=14 份，原來的草量是（24-14）6=60份?？晒?18頭牛吃 60（18-14）=15天例2 因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃 5天，可供 24頭牛吃 6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多

5、少頭牛吃10天?【分析】與例1不同的是，不但沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量【思考 2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供 16頭牛吃 6天。那么，可供11頭牛吃幾天？8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天減少的草量：（205-16 6）（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）5=120 份，可供 11頭牛吃 120(11+4)=8 天?？偨Y(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草

6、量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長(zhǎng)出的草，問題就會(huì)迎刃而解。知識(shí)衍變精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載牛吃草基本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應(yīng)用牛吃草問題解決方法例3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“?！弊兂闪恕八俣取?所以也可以看成是“牛吃草”

7、問題來解答。【思考 3】?jī)芍晃伵Ｍ瑫r(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？15米。蝸牛每夜下降：（205-156）（6-5）=10分米所以井深：（20+10）5=150分米=15米例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要 10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需

8、要多少人？【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵【思考 4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī) 20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：（2010-15 10）(20-10)=5 份，池內(nèi)原有的水是：（10-5）20=100份.所以,用25部抽水機(jī)需要:100(25-5)=5 小時(shí)思維拓展例5 有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃 30天，可供 19頭牛吃 24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃

9、了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？【分析】“牛吃草”問題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少?！舅伎?5】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃 6天，或供 23頭牛吃 9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉 2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（239-276）（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內(nèi)吃草量 72+158+24=200份。所以這群牛原來有2008=25頭例6

10、有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和 8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長(zhǎng)的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃 10天，第二塊草地可供12頭牛吃 14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來。例1一個(gè)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng)，已知牛27頭，6天把草吃盡，同樣一片牧場(chǎng)，牛23頭，9天精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？摘錄條件：27頭 6天原有草+6天生長(zhǎng)草23頭 9天原有草+9天生長(zhǎng)草21頭？天原有草+？天生長(zhǎng)草小學(xué)解

11、答：解答這類問題關(guān)鍵是要抓住牧場(chǎng)青草總量的變化。設(shè)1頭牛 1天吃的草為 1，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為 239-276=45。為什么會(huì)多出這45呢？這是第二次比第一次多的那（9-6）3天生長(zhǎng)出來的，所以每天生長(zhǎng)的青草為453=15現(xiàn)從另一個(gè)角度去理解，這個(gè)牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的青草正好可以滿足15頭牛吃。由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的 15頭牛來吃當(dāng)天長(zhǎng)出的青草，另一組來吃是原來牧場(chǎng)上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場(chǎng)上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量 276=162第二次吃草量 239=207每天生長(zhǎng)草量 453=15原有草量（27-15）6

12、=72或 162-156=7221頭牛分兩組，15頭去吃生長(zhǎng)的草，其余6頭去吃原有的草那么 726=12（天）初中解答：假設(shè)原來有的草為x 份，每天長(zhǎng)出來的草為y 份，每頭牛每天吃草1份。那么可以列方程：x+6y=276x+9y=239解得 x=72,y=15 若放 21頭牛，設(shè)n 天可以吃完，則：72+15n=21n n=12 例 2一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù) 20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要 6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？摘錄條件：5臺(tái) 20天原有水+20天入庫(kù)量6臺(tái) 15天原有水+15天入庫(kù)量？臺(tái) 6天原有水+6天入庫(kù)量小學(xué)解答：設(shè) 1臺(tái)1天抽

13、水量為 1，第一次總量為 520=100，第二次總量為 615=90精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁(yè)，共 6 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載每天入庫(kù)量(100-90)(20-15)=2 20天入庫(kù) 220=40，原有水100-40=60 60+26=72726=12（臺(tái)）初中解答：假設(shè)原來有的水為x 份，每天流進(jìn)來的水為y 份，每臺(tái)機(jī)器抽出的水是1個(gè)單位。那么可以列方程：x+20y=205x+15y=615解得 x=60,y=2 若要 6天抽完，設(shè)n 臺(tái)機(jī)器可以抽完，則：60+62=6 nn=12 鞏固練習(xí)1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供10 頭牛吃40 天，供 15 頭牛吃

14、20 天?？晒?5 頭牛吃天。（）A.10 B.5 C.20 A 假設(shè) 1 頭牛 1 天吃草的量為1 份。每天新生的草量為：(1040-15 20)（40-20）=5（份）。那么愿草量為：1040-40 5=200（份），安排 5 頭牛專門吃每天新長(zhǎng)出來的草，這塊牧場(chǎng)可供25 頭牛吃：200（25-5）=10（天）。2.一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20 只羊 5 天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只 羊 則 要10天 吃 光。那 么 想 用4 天 的 時(shí) 間，把 這 塊 草 地 的 草 吃 光，需 要 只 羊。（）A.22 B.23 C.24 B假設(shè) 1 只羊 1 天吃草的

15、量為1 份。每天新生草量是：（1410-20 5）（10-5）=8（份）原草量是：205-8 560（份）安排8 只羊?qū)ｉT吃每天新長(zhǎng)出來的草，4 天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：604+823（只）3畫展 9 時(shí)開門，但早有人來排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3 個(gè)入場(chǎng)口，9 點(diǎn)9 分就不再有人排隊(duì)了，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8 點(diǎn)分。（）A.10 B.12 C.15 C假設(shè)每個(gè)人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1 份。每分鐘來的觀眾人數(shù)為（39-5 5）（9-5）=0.5（份）到 9 時(shí)止，已來的觀眾人數(shù)為：3 9-0.5 922.5（份）第一個(gè)觀眾來到時(shí)比9 時(shí)提前了

16、：22.5 0.5 45（分）所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是9 時(shí)-45 分=8 時(shí) 15 分。4.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100 億人生活 100 年，或可供 80 億人生活 300 年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（）億人。70 設(shè) 1 億人 1 年所消耗的資源為1 份那么地球上每年新生成的資源量為：（80300-100 100）（300-100）=70（份）只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：701=70（億人）5.快、中、慢三車同時(shí)從A地出發(fā)，

17、追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時(shí)24 千米、精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè)學(xué)習(xí)必備歡迎下載20 千米、19 千米?？燔囎飞献孕熊囉昧? 小時(shí)，中車追上自行車用了10 小時(shí)，慢車追上自行車用（）小時(shí)。12 自行車的速度是：（2010-24 6）（10-6）=14（千米/小時(shí)）三車出發(fā)時(shí)自行車距A地：（24-14）6=60（千米）慢車追上自行車所用的時(shí)間為：60（19-14）=12（小時(shí)）6.一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24 根抽水管抽水，6 小時(shí)可以把池中的水抽干，那么用16 根抽水管，（）小時(shí)可將可將水池中的水抽干

18、。18 設(shè) 1 根抽水管每小時(shí)抽水量為1 份。（1）進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：（218-24 6）（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：218-12 8 72（份）（3）16 根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72（16-12）=18（小時(shí)）7.某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如用 9 輛汽車，12 小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用 8 輛汽車，16 小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開始只用3 輛汽車，10 小時(shí)后增加若干輛，再過4 小時(shí)也能運(yùn)完，那么后來增加的汽車是（）輛。19 設(shè)每?jī)善嚸啃r(shí)運(yùn)的貨物為1 份。（1）進(jìn)水管每小時(shí)的進(jìn)水量為：（816-9 12）（16-12）=

19、5（份）（2）碼頭原有貨物量是：9 12-12 548（份）（3）3 輛汽車運(yùn)10 小時(shí)后還有貨物量是：48+（5-3）10=68（份）（4）后來增加的汽車輛數(shù)是：（68+45）4-3=19（輛）8有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16 頭牛吃 20 天，可供80 只羊吃 12 天。如果一頭牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 頭牛與 60 只羊一起吃可以吃多少天？8 天（1）按牛的吃草量來計(jì)算，80 只羊相當(dāng)于804=20（頭）牛。（2）設(shè) 1 頭牛 1 天的吃草量為1 份。（3）先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：（1620-20 12）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原

20、有的草量：1620-10 20120（份）（5）最后求出10 頭牛與 60 只羊一起吃的天數(shù)：120（10+604-10）=8（天）9.某水庫(kù)建有10 個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開一個(gè)泄洪閘，30 小時(shí)水位降到安全線，若打開兩個(gè)泄洪閘，10 小時(shí)水位降到安全線?，F(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5 小時(shí)內(nèi)使水位降到安全線，問：至少要同時(shí)打開幾個(gè)閘門？4 個(gè) 設(shè) 1 個(gè)泄洪閘 1 小時(shí)的泄水量為1 份。（1）水庫(kù)中每小時(shí)增加的上游河水量：（130-2 10）（30-10）=0.5（份）（2）水

21、庫(kù)中原有的超過安全線的水量為：130-0.5 30 15（份）（3）在 5.5 小時(shí)內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5 5.5 17.75（份）（4）至少要開的閘門個(gè)數(shù)為：17.75 5.5 4（個(gè)）（采用“進(jìn)1”法取值）10.現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2 倍去追乙車，5 小時(shí)后能追上，如果甲車以現(xiàn)在的速度去追乙車，3 小時(shí)后能追上。那么甲車以現(xiàn)在的速度去追，幾小時(shí)后能追上乙車？15 小時(shí)設(shè)甲車現(xiàn)在的速度為每小時(shí)行單位“1”，那么乙車的速度為：（2 5-33）（5-3）=0.5 乙車原來與甲車的距離為：25-0.5 57.5 所以甲車以現(xiàn)在的速度去追，追及的時(shí)間為：7.5（1-0.5）=15（小時(shí)）精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁(yè)，共 6 頁(yè)