《微觀經(jīng)濟(jì)十八講》第四章VNM效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水

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1、Chap4.VNM（馮諾依曼（馮諾依曼-摩根摩根斯坦）效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水斯坦）效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水1 1.不確定性與選擇公理不確定性與選擇公理2 2.馮馮諾依曼諾依曼摩根斯坦效用函數(shù)摩根斯坦效用函數(shù) 3 3.風(fēng)險(xiǎn)度量、確定性等值與風(fēng)險(xiǎn)升水風(fēng)險(xiǎn)度量、確定性等值與風(fēng)險(xiǎn)升水本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)1.1.不確定性與選擇公理不確定性與選擇公理一、不確定性一、不確定性經(jīng)濟(jì)活動中始終存在著決策的不確定性。經(jīng)濟(jì)活動中始終存在著決策的不確定性。不確定性和風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)不同的概念，奈特在不確定性和風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)不同的概念，奈特在風(fēng)險(xiǎn)、不確定和利潤（風(fēng)險(xiǎn)、不確定和利潤（19161916）第一次區(qū)分）第一次區(qū)分了經(jīng)濟(jì)活動中不確定性與

2、風(fēng)險(xiǎn)，不確定性是客了經(jīng)濟(jì)活動中不確定性與風(fēng)險(xiǎn)，不確定性是客觀的，指行動的結(jié)果總是被置于某種概率之下，觀的，指行動的結(jié)果總是被置于某種概率之下，而風(fēng)險(xiǎn)主要是指主觀上的認(rèn)識能力。而風(fēng)險(xiǎn)主要是指主觀上的認(rèn)識能力。不確定性可以用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。主要用數(shù)不確定性可以用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。主要用數(shù)學(xué)期望函數(shù)和方差。學(xué)期望函數(shù)和方差。l彩票的選擇具有一般商品消費(fèi)選擇的特征，具彩票的選擇具有一般商品消費(fèi)選擇的特征，具有收益的不確定性。可以用式子有收益的不確定性。可以用式子 表示。表示。如它會產(chǎn)生兩種結(jié)果。如它會產(chǎn)生兩種結(jié)果。(pA；，C)1122(;,)(;,)LpA CLpA C二、單賭和復(fù)賭二、單賭和復(fù)賭

3、l單賭：單賭：設(shè)有設(shè)有n n種可能的事件結(jié)果，種可能的事件結(jié)果，則單賭集合可寫成：則單賭集合可寫成：12(,)nAa aa，1 1221,|0,1nsnniiiGp a p ap app，也可以簡寫為：也可以簡寫為：1211(,0,0,(1)(,(1)snnnGp aaap ap ap a，l復(fù)賭：復(fù)賭：凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。高產(chǎn)高產(chǎn)20%20%正常正常40%40%低產(chǎn)低產(chǎn)40%40%雨量大雨量大20%20%0.040.080.080.20雨量中雨量中50%50%0.100.200.200.50雨量小雨量小30%30%0.060.120.120.3

4、0獎品是產(chǎn)量的分布，它們又具有不確定性，而成為獎品是產(chǎn)量的分布，它們又具有不確定性，而成為賭局本身。賭局本身?！就陚湫耘c傳遞性公理完備性與傳遞性公理】對兩種不同的結(jié)果，】對兩種不同的結(jié)果，消費(fèi)者的偏好為：消費(fèi)者的偏好為：三、不確定條件下的選擇公理三、不確定條件下的選擇公理,AB BA AB,AB BCAC【連續(xù)性公理】差異很大的兩個(gè)不確定結(jié)果的【連續(xù)性公理】差異很大的兩個(gè)不確定結(jié)果的某種加權(quán)結(jié)果會等同于某個(gè)確定的中間結(jié)果。某種加權(quán)結(jié)果會等同于某個(gè)確定的中間結(jié)果。,(01):AB BCPP則存在概率使得()(1)P AP CB【獨(dú)立性公理】【獨(dú)立性公理】假定消費(fèi)者A與B之間無差異，設(shè)C為任一個(gè)另

5、外的結(jié)果。如果一張彩票L1會以概率P與(1-P)帶來結(jié)果A與C，另一張彩票L2以概率P與(1-P)帶來結(jié)果B與C，那么，消費(fèi)者會認(rèn)為這兩張彩票L1與L2無差異。,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C則,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C則l例：例：l設(shè)設(shè)A=A=獲獲10001000元元,B=,B=獲獲1010元元,C=,C=死亡。對大多數(shù)死亡。對大多數(shù)人，人，10001000元元1010元元 死亡。死亡。l設(shè)設(shè)1010元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率0P10P1，使得：，使得：1000(1)10PP元死亡元【不相等公理】【不相等公理

6、】1111,(,)(1)AB LP A BPAP B2222(,)(1)LP A BP AP B當(dāng)且僅當(dāng)：當(dāng)且僅當(dāng)：21PP消費(fèi)者嚴(yán)格偏好于消費(fèi)者嚴(yán)格偏好于L2。21LL2.2.馮諾依曼馮諾依曼摩根斯坦效用函數(shù)摩根斯坦效用函數(shù)一、一、VNM效用函數(shù)定義效用函數(shù)定義1.期望期望結(jié)果結(jié)果1 1結(jié)果結(jié)果2 2概率概率收入收入概率概率收入收入傭金制傭金制0.5020000.501000固定薪水制固定薪水制0.9915100.01510推銷員的收入推銷員的收入0.5 20000.5 10001500工作1的期望收入元元=元0.99 15100.01 5101500工作2的期望收入元元=元2.期望期望效用

7、效用(,)(1)gp A BpAP B單賭則對應(yīng)的期望效用函數(shù)為：則對應(yīng)的期望效用函數(shù)為：()()(1)()u gpu AP u B11122234(,),(,)gp A AgpA A單賭則消費(fèi)者更偏好于則消費(fèi)者更偏好于g1，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)111122324()()(1)()()(1)()u gp u AP u Ap u AP u A期望效用函數(shù)的作用：當(dāng)消費(fèi)者面臨不確定性期望效用函數(shù)的作用：當(dāng)消費(fèi)者面臨不確定性時(shí)，可用期望效用最大化分析消費(fèi)者的行為。時(shí)，可用期望效用最大化分析消費(fèi)者的行為。1 122(,)snngp a p ap a單賭1()()nsiiiu gpu a期望效用函數(shù)或期望

8、效用函數(shù)或VNM效用函數(shù)效用函數(shù)二、二、期望期望效用函數(shù)效用函數(shù)12(,)()?niAa aau a構(gòu)造期望效用函數(shù)的關(guān)鍵是121,(,(1)niiiinaaaaaP aP a 若可看作不外是最好結(jié)果與最差結(jié)果的某種組合一樣好.()iiu aP 即用消費(fèi)者心里那個(gè)即用消費(fèi)者心里那個(gè)ai使與某個(gè)單賭等價(jià)的最使與某個(gè)單賭等價(jià)的最好事件發(fā)生的概率來定義好事件發(fā)生的概率來定義u(ai)。l例：例：l設(shè)設(shè)A=(aA=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3)=(10)=(10元元,4,4元元,-2,-2元元)C=)C=死亡。死亡。l當(dāng)當(dāng)a a1 1發(fā)生的概率發(fā)生的概率P P為多少時(shí)，消費(fèi)者認(rèn)為為多少時(shí)，消

9、費(fèi)者認(rèn)為a a1 1(i=1,2,3)(i=1,2,3)與與(P,a(P,a1 1,a,a3 3)無差異無差異?如果該消費(fèi)者回答：如果該消費(fèi)者回答：10(1(10),0(2)(0.6(10),0.4(2)(0(10),1(2)元元元4元元元-2元元元因此，可定義：因此，可定義：123(10)()1(4)()0.6(2)()0uu auu auu a比較單賭格局：比較單賭格局：12(0.24,0.8 10)(0.07(2),0.03 4,0.9 10)gg 1()0.2(4)0.8(10)0.2 0.60.8 10.92u guu2()0.07(2)0.03(4)0.9(10)0.0700.03

10、 0.60.9 10.918u guuu12()()u gu g消費(fèi)者偏好于消費(fèi)者偏好于1()u g單賭的期望效用：單賭的期望效用：()(1,2)iu gi 單賭的期望收入：單賭的期望收入：1()0.240.8 108.8E g元2()0.07(2)0.03 40.9 108.98E g 元12112()(),()().E gE ggu gu g但消費(fèi)者選擇了因?yàn)?.3.風(fēng)險(xiǎn)度量、確定性等值和風(fēng)險(xiǎn)升水風(fēng)險(xiǎn)度量、確定性等值和風(fēng)險(xiǎn)升水一、一、風(fēng)險(xiǎn)度量風(fēng)險(xiǎn)度量事件事件A的風(fēng)險(xiǎn)度量：的風(fēng)險(xiǎn)度量：12,inaAa aa1122|()|()|()|nnaE APaE APaE AP結(jié)果結(jié)果1 離差離差結(jié)果

11、結(jié)果2 離差離差工作工作1 12000 5001000 500工作工作2 21510 10510 990實(shí)際收入與期望收入的離差實(shí)際收入與期望收入的離差工作工作1的平均離差：的平均離差：0.5 5000.5 500500元元=元工作工作2的平均離差：的平均離差：0.99 100.01 99019.8元元=元平均離差平均離差=P1結(jié)果結(jié)果1的離差的離差+P2結(jié)果結(jié)果2的離差的離差通常風(fēng)險(xiǎn)以方差或標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）來度量：通常風(fēng)險(xiǎn)以方差或標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）來度量：221()niiiip xE x二、對二、對風(fēng)險(xiǎn)的主觀態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)的主觀態(tài)度l效用函數(shù)的凹性與經(jīng)濟(jì)含義效用函數(shù)的凹性與經(jīng)濟(jì)含義 效用

12、函數(shù)的凹性：效用函數(shù)的凹性：()0,()0u xu x含義：表示通常情況下人們是含義：表示通常情況下人們是“風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避”的。的。1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W2x1x()E W()u x()u E W()u W風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者Wu15()u x1310 xu161020()千元EACD11(10)(20)1322uu11102015221111(1020)(10)(20)2222uuu1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W風(fēng)險(xiǎn)偏好者風(fēng)險(xiǎn)偏好者15()u xux2010EDCAO(千元)()()u E

13、Wu W()()u E Wu W()u x風(fēng)險(xiǎn)中立者風(fēng)險(xiǎn)中立者x201510OAE()D Cul定義定義 ().uVNM為效用函數(shù) 對于單賭1 122(,)nngPa P aP a()()u E gu g()()u E gu g()()u E gu g111()(),(),()nnniiiiiiiiiu gPu aE gPa u E guPa1,().niiiPa顯然是一個(gè)確定的結(jié)果在在g中風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避中風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避在在g中風(fēng)險(xiǎn)偏好中風(fēng)險(xiǎn)偏好在在g中風(fēng)險(xiǎn)中立中風(fēng)險(xiǎn)中立 絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)：由決策者的效用函數(shù)的曲絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)：由決策者的效用函數(shù)的曲率表示的。由于它是對一個(gè)財(cái)富水平下的風(fēng)險(xiǎn)率表示的。由于

14、它是對一個(gè)財(cái)富水平下的風(fēng)險(xiǎn)的度量，所以又被稱為是局部絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避度的度量，所以又被稱為是局部絕對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避度量。這在于說明在財(cái)富收益水平絕對量上的增量。這在于說明在財(cái)富收益水平絕對量上的增加或損失。加或損失。()()()uwRwuw l風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度 三、確定性等值、風(fēng)險(xiǎn)升水及其應(yīng)三、確定性等值、風(fēng)險(xiǎn)升水及其應(yīng)用用12(),()u wR u wS112212()()()u gPu wPu wPRP S121,()2PPu gT若為期望效用水平1211()()22wwE gu E gCT為收入無風(fēng)險(xiǎn)確定性等值確定性等值是完全確定的收入量，此收入水平是完全確定的收入量，此收入水平對應(yīng)的效用

15、水平等于不確定條件下期望的效用對應(yīng)的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平，即水平，即CE滿足：滿足：()()u CEu g風(fēng)險(xiǎn)升水：風(fēng)險(xiǎn)升水：是收入是收入P，當(dāng)一個(gè)完全確定收入減去，當(dāng)一個(gè)完全確定收入減去P產(chǎn)生的效用仍等于產(chǎn)生的效用仍等于不確定條件下期望的效用水不確定條件下期望的效用水平，即：平，即：。或單賭?；騿钨€g含的風(fēng)險(xiǎn)相含的風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)于使一個(gè)確定的收入當(dāng)于使一個(gè)確定的收入E(g)減少了減少了P。()()u E gPu g()PE gCE或者說，風(fēng)險(xiǎn)升水指一個(gè)完全確定的收入或者說，風(fēng)險(xiǎn)升水指一個(gè)完全確定的收入E(g)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不確定的收入轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不確定的收入w1和和w2時(shí)，消費(fèi)者由時(shí)，

16、消費(fèi)者由于面臨風(fēng)險(xiǎn)付出的代價(jià)。于面臨風(fēng)險(xiǎn)付出的代價(jià)。w()E g1w2wCEO()u w2()u w1()u w()u E g1122()()u wu wT()u wSCTRpl例：例：假定假定 。令單賭中贏。令單賭中贏h和虧和虧h各有各有50%50%的概率，設(shè)消費(fèi)者原來的資產(chǎn)水平為的概率，設(shè)消費(fèi)者原來的資產(chǎn)水平為w。求。求CE與風(fēng)險(xiǎn)水平與風(fēng)險(xiǎn)水平P。()ln()u ww0().:wE g設(shè)原來資產(chǎn)若參賭00;whwh贏得輸?shù)?0(0.5(),0.5()gwhwh0012001222011ln()ln()ln()ln()22ln()()ln()CEgwhwhwhwhwh122200()()CE

17、whwE g122200()()0PE gCEwwhl例例6 6：一種彩票贏得一種彩票贏得900900元的概率為元的概率為0.20.2；若輸，；若輸，只獲得只獲得100100元，概率為元，概率為0.80.8。若消費(fèi)者的效用函。若消費(fèi)者的效用函數(shù)形式為數(shù)形式為 ，問該消費(fèi)者愿意出多少錢，問該消費(fèi)者愿意出多少錢購買這張彩票？風(fēng)險(xiǎn)升水是多少？購買這張彩票？風(fēng)險(xiǎn)升水是多少？uw消費(fèi)者的出價(jià)應(yīng)按消費(fèi)者的出價(jià)應(yīng)按CE給出，即給出，即()0.2(900)0.8(100),0.2 9000.8 100u CEuuCE即196,CE 他對彩票的最高出價(jià)為196元.()()0.2 9000.8 100260260

18、 19664PE gCEE gP元例例7：某消費(fèi)者的效用函數(shù)為：某消費(fèi)者的效用函數(shù)為：。w0=9000，h=8000（火災(zāi)后損失大部分財(cái)產(chǎn)）（火災(zāi)后損失大部分財(cái)產(chǎn)）,發(fā)生火災(zāi)的概率發(fā)生火災(zāi)的概率=0.05。求消費(fèi)者愿意支付的。求消費(fèi)者愿意支付的保險(xiǎn)價(jià)格保險(xiǎn)價(jià)格R與保險(xiǎn)公司在消費(fèi)者支付與保險(xiǎn)公司在消費(fèi)者支付R時(shí)的利時(shí)的利潤。潤。0.5uw1/21/200.51/21/2()0.95 90000.05 10000(90000)0.95 90000.05 10000u wRR5900,0.05 800004000Rh但保險(xiǎn)公司付賠額度為保險(xiǎn)公司付賠額度為4000元，保險(xiǎn)費(fèi)為元，保險(xiǎn)費(fèi)為5900元，元

19、，保險(xiǎn)公司的利潤為保險(xiǎn)公司的利潤為1900元。元。例例8：設(shè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的個(gè)人初始財(cái)產(chǎn)為：設(shè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的個(gè)人初始財(cái)產(chǎn)為w0，其效用，其效用函數(shù)具有函數(shù)具有VNM性質(zhì)。如購買汽車保險(xiǎn)，假定遇性質(zhì)。如購買汽車保險(xiǎn)，假定遇上車禍，財(cái)產(chǎn)損失為上車禍，財(cái)產(chǎn)損失為L；若遇上車禍；若遇上車禍的概率為的概率為 ，他會購買多少保險(xiǎn)？，他會購買多少保險(xiǎn)？(0,1)購買保險(xiǎn)的數(shù)額取決于對每一元保險(xiǎn)值收取多購買保險(xiǎn)的數(shù)額取決于對每一元保險(xiǎn)值收取多少價(jià)格。保險(xiǎn)的公平價(jià)格指使保險(xiǎn)公司期望利少價(jià)格。保險(xiǎn)的公平價(jià)格指使保險(xiǎn)公司期望利潤為零的價(jià)格潤為零的價(jià)格。(1)(1)0 保險(xiǎn)的公平價(jià)格（保險(xiǎn)的公平價(jià)格（1元價(jià)值的保險(xiǎn)的收費(fèi)）等于

20、元價(jià)值的保險(xiǎn)的收費(fèi)）等于車禍發(fā)生的概率車禍發(fā)生的概率。投保人的目標(biāo)是使期望利潤最大化投保人的目標(biāo)是使期望利潤最大化。設(shè)。設(shè)x為購買為購買的保險(xiǎn)額。的保險(xiǎn)額。000000()(1)()(1)()(1)()0()()u wxLxu wxu wxLxu wxu wxLxu wx 效用函數(shù)嚴(yán)格為凹，效用函數(shù)嚴(yán)格為凹，單調(diào)，于是邊際單調(diào)，于是邊際效用相等意味著等式兩邊的財(cái)產(chǎn)量相等效用相等意味著等式兩邊的財(cái)產(chǎn)量相等。0,()uuxL在公平保險(xiǎn)價(jià)格下，投保人為風(fēng)險(xiǎn)全部投保在公平保險(xiǎn)價(jià)格下，投保人為風(fēng)險(xiǎn)全部投保。在公平保險(xiǎn)價(jià)格下，財(cái)產(chǎn)狀況為在公平保險(xiǎn)價(jià)格下，財(cái)產(chǎn)狀況為：0wL00wLLLwL沒遇上車禍沒遇上車禍遇上車禍遇上車禍不買保險(xiǎn)下，財(cái)產(chǎn)不買保險(xiǎn)下，財(cái)產(chǎn)為一期望值：為一期望值：0wL000()()(1)()u wLu wLu w謝謝觀看/歡迎下載BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH