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1、第五節(jié) 兩個重要極限,一,于是得到第一個重要極限：,顯然,例1:求下列極限,解:,二第二個重要極限,都稱為第二個重要極限,第二個重要極限可以推廣為以下形式:,為了計算的方便，上述推廣的結(jié)果還可以進一步推廣為：,例2 ： 求下列極限,解:,（1）這里,這里,這里,課堂練習(xí),求下列極限,等價無窮小代換法則：若 為 型未定式極限,三利用等價無窮小代換計算 未定式的極限,兩個無窮小量 ， 之比的極限 稱為 型未定式極限,例如,需要記住的等價無窮小量有：,例3 ： 求下列極限,課堂練習(xí),利用等價無窮小代換求下列極限,第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性,許多變量的變化都是連續(xù)的。如氣溫隨著時間的變化，一般地，氣溫不會在
2、極其短暫的時間內(nèi)由2C突變到20C。由2C變到20C必然要經(jīng)過一個時間過程，并且不是一個很短的過程。,自然界中連續(xù)的現(xiàn)象還有很多，抽象到數(shù)學(xué)上來可以描述為：對函數(shù) ，當(dāng)自變量 的改變量非常微小時，相應(yīng)函數(shù)值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于零，函數(shù)值的改變量也趨于零。,從幾何上講，函數(shù) 在點 連續(xù)，就是曲線 在點 不間斷，即當(dāng)橫坐標(biāo) 從 的左右兩側(cè)無限趨于 時，縱坐標(biāo) 無限趨于 處的縱坐標(biāo) ，如下圖所示,一函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù) 在點 連續(xù)必須同時成立以下三個條件：,1在點 有定義，即 存在；,2 存在，即在 有極限；,3極限值等于函數(shù)值，即 ,如果函數(shù) 在點 不能同時滿足以上三個條件
3、，則稱函數(shù)在點 間斷，或稱函數(shù)在 不連續(xù)。,例1：討論函數(shù) 在 的連續(xù)性,解：,因為函數(shù) 在 沒有定義,所以函數(shù) 在 不連續(xù)。,例2: 討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性,解：,故該函數(shù)在 處不連續(xù),有定義,例3: 討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性,解：,有定義,故該函數(shù)在 處連續(xù),有時還需要用到函數(shù)在某一點單側(cè)連續(xù)的概念,例4:,解,例5:證明,證,二間斷點及其分類,函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點。,如函數(shù) 在 不連續(xù)，所以間斷點為,一般地，函數(shù)沒有定義的點是間斷點，極限不存在的點 也是間斷點，極限值不等于函數(shù)值的點仍是間斷點。,三初等函數(shù)的連續(xù)性,定理：,例如,即由連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的（分
4、母為零的點除外）。,定理,即由兩個連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的。,例如,定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,因為初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算以及復(fù)合運算得到的并且由一個式子表達的函數(shù)。,根據(jù)這一結(jié)論，求初等函數(shù) 在某點 的極限時，如果 在 的定義區(qū)間內(nèi)，則函數(shù) 在該點的極限值等于 在該點的函數(shù)值 ,即 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,對初等函數(shù)求其間斷點或連續(xù)區(qū)間時，只要求出其無定義的點即為間斷點，在定義域內(nèi)去除間斷點便得到連續(xù)區(qū)間。,例8：求函數(shù) 的間斷點和連續(xù)區(qū)間,解：,間斷點為：,連續(xù)區(qū)間：,作業(yè)布置,
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