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1、習(xí) 題 一1.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，用A，B，C的運(yùn)算式表示下列事件：（1） A發(fā)生而B(niǎo)與C都不發(fā)生；（2） A，B，C至少有一個(gè)事件發(fā)生；（3） A，B，C至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（4） A，B，C恰好有兩個(gè)事件發(fā)生；（5） A，B至少有一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生；（6） A，B，C都不發(fā)生.解：（1）A或A-B-C或A-（BC）.（2）ABC.（3）（AB）（AC）（BC）.（4）（AB）（AC）（BC）.（5）（AB）.（6）或.2.對(duì)于任意事件A，B，C，證明下列關(guān)系式：（1）(A+B) (A+)(+ B)(+)= ；（2）AB+B +A+= AB；（3）A-(B+C)= (A-B)-C.證明：
2、略.3.設(shè)A，B為兩事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1） A發(fā)生但B不發(fā)生的概率；（2） A，B都不發(fā)生的概率；（3） 至少有一個(gè)事件不發(fā)生的概率.解（1） P（A）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P()=P()=1-P(AB)=1-0.7=0.3；(3) P(）=P(）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.調(diào)查某單位得知。購(gòu)買(mǎi)空調(diào)的占15，購(gòu)買(mǎi)電腦占12，購(gòu)買(mǎi)DVD的占20%；其中購(gòu)買(mǎi)空調(diào)與電腦占6%，購(gòu)買(mǎi)空調(diào)與DVD占10%，購(gòu)買(mǎi)電腦和DVD占5，三種電器都購(gòu)買(mǎi)占2。求下列事件的概率。（1）至少購(gòu)買(mǎi)一種電器的；
3、（2）至多購(gòu)買(mǎi)一種電器的；（3）三種電器都沒(méi)購(gòu)買(mǎi)的.解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.725.10把鑰匙中有3把能打開(kāi)門(mén)，今任意取兩把，求能打開(kāi)門(mén)的概率。解：8/156.任意將10本書(shū)放在書(shū)架上。其中有兩套書(shū)，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。（1）3本一套放在一起； （2）兩套各自放在一起；（3）兩套中至少有一套放在一起.解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/217. 12名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去，試求：（1） 每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；（2） 3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率.解 12名新生平均分配到三個(gè)班的可能分法
4、總數(shù)為（1） 設(shè)A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”3名優(yōu)秀生每一個(gè)班分配一名共有3！種分法，而其他9名學(xué)生平均分配到3個(gè)班共有種分法，由乘法原理，A包含基本事件數(shù)為3！=故有P（A）=/=16/55（2） 設(shè)B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”，故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學(xué)生分法總數(shù)為，故由乘法原理，B包含樣本總數(shù)為3.故有 P（B）=/=3/558.箱中裝有a只白球，b只黑球，現(xiàn)作不放回抽取，每次一只.（1） 任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（ma,nb）;(2) 第k次才取到白球的概率（kb+1）;（3） 第k次恰取到白球的概率.解 （1）可看作一次取出m+n只球，與次
5、序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.從a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有種，每一種取法為一基本事件且由于對(duì)稱(chēng)性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.從a只白球中取m只，共有種不同的取法，從b只黑球中取n只，共有種不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有種，于是所求概率為p1=.(2) 抽取與次序有關(guān).每次取一只，取后不放回，一共取k次，每種取法即是從a+b個(gè)不同元素中任取k個(gè)不同元素的一個(gè)排列，每種取法是一個(gè)基本事件，共有個(gè)基本事件，且由于對(duì)稱(chēng)性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，從b只黑球中任取k-1只的排法種數(shù)，有種，第k次抽取的白球可為a只白球中任一只，有種不同的
6、取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有種，于是所求概率為p2=.(3) 基本事件總數(shù)仍為.第k次必取到白球，可為a只白球中任一只，有種不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有種不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有種，故所求概率為p3=.9.在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于1/4的概率.解 設(shè)在（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)為x,y，則0 x1,0y1圖1-7即樣本空間是由點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的邊長(zhǎng)為1的正方形，其面積為1.令A(yù)表示“兩個(gè)數(shù)乘積小于1/4”，則A=（x,y）0 xy1/4,0 x1,0y1事件A所圍
7、成的區(qū)域見(jiàn)圖1-7，則所求概率P(A) =.10.兩人相約在某天下午500600在預(yù)定地方見(jiàn)面，先到者要等候20分鐘，過(guò)時(shí)則離去.如果每人在這指定的一小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求約會(huì)的兩人能會(huì)到面的概率.解 設(shè)x,y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么，兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果落在邊長(zhǎng)為60的正方形內(nèi)，這個(gè)正方形就是樣本空間,而兩人能會(huì)面的充要條件是x-y20，即x-y20且y-x20.令事件A表示“兩人能會(huì)到面”，這區(qū)域如圖1-8中的A.則P(A) =11.一盒中裝有5只產(chǎn)品，其中有3只正品，2只次品，從中取產(chǎn)品兩次，每次取一只，作不放回抽樣，求在第一次取到正品條件下，第二次取到的也是正品的
8、概率.解 設(shè)A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由條件得P（A）=(34)/(54)= 3/5，P(AB)= (32)/(54)= 3/10，故有 P（BA）=P（AB）/P（A）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此題也可按產(chǎn)品編號(hào)來(lái)做，設(shè)1，2，3號(hào)為正品，4，5號(hào)為次品，則樣本空間為=1，2，3，4，5，若A已發(fā)生，即在1，2，3中抽走一個(gè)，于是第二次抽取所有可能結(jié)果的集合中共有4只產(chǎn)品，其中有2只正品，故得P（BA）=2/4=1/2.12.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA).解 13.設(shè)盒中有m只紅球，n只白球，每次從盒中任
9、取一只球，看后放回，再放入k只與所取顏色相同的球.若在盒中連取四次，試求第一次，第二次取到紅球，第三次，第四次取到白球的概率.解 設(shè)Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到紅球的事件， (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.則有14.倉(cāng)庫(kù)中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次為甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲廠，乙廠、丙廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的次品率依次為1/10,1/15,1/20.從這十箱產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。解：0.9215.有兩箱同類(lèi)零件，第一箱有50個(gè)，其中10個(gè)一等品，第二箱有30個(gè)，其中18個(gè)一等品?，F(xiàn)任取一箱，從中任取零件兩次，每次取一個(gè)，取后不放回
10、。求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的條件下，第二次取到一等品的條件概率；（3）兩次取到的都不是一等品的概率。解：設(shè) 表示取到第一箱零件，：表示第次取到一等品，由全概率公式知：16.設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中有只白球、只紅球；乙袋中有只白球、只紅球.今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?問(wèn)從乙袋中取到白球的概率是多少？解：記 ：甲袋中取得白球；：甲袋中取得紅球；：從乙袋中取得白球；由全概率公式17.一箱產(chǎn)品，A，B兩廠生產(chǎn)分別個(gè)占60，40，其次品率分別為1，2。現(xiàn)在從中任取一件為次品，問(wèn)此時(shí)該產(chǎn)品是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？解：取出產(chǎn)品是B廠生產(chǎn)的可能性大
11、。18.由以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下效果：被診斷者有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性的概率為0.95；被診斷者沒(méi)有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陰性的概率為0.95現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人群中患有癌癥的概率為0.005，求：已知試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，該被診斷者確有癌癥的概率.解 設(shè)A表示“患有癌癥”，表示“沒(méi)有癌癥”，B表示“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，則由條件得P（A）=0.005,P()=0.995，P(BA)=0.95,P(）=0.95由此 P（B）=1-0.95=0.05由貝葉斯公式得P（AB）=0.087.19.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問(wèn)至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0
12、.9?解 設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為 故 n11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.20.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為1/5， 1/3， 1/4，求將此密碼破譯出的概率.解 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 21.設(shè)在N件產(chǎn)品中有M件次品，現(xiàn)進(jìn)行n次有放回的檢查抽樣，試求抽得k件次品的概率. 解 由條件，這是有放回抽樣，可知每次試驗(yàn)是在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，故本題符合n重貝努里試驗(yàn)的條件，令A(yù)表示“抽到一件次品”的事件.則P（A）=p=M/N,以Pn(k)表示n次有放回抽樣中，有k次出現(xiàn)次品的概率，由貝努里概型計(jì)算公式，可知Pn(k)=, k=0,1,2,，n. 22.將一
13、枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解 擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=正面次數(shù)少于反面次數(shù)，C=正面次數(shù)等于反面次數(shù)，A，B，C兩兩互斥.可用對(duì)稱(chēng)性來(lái)解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 習(xí) 題 二1.從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所求抽取次數(shù)的分布律：（1）放回；（2）不放回.解 （1）123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)
14、（2） 2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.解 由分布律的性質(zhì)知故 3.某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽.校隊(duì)的實(shí)力較系隊(duì)為強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員與一個(gè)系隊(duì)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員獲勝的概率為0.6.現(xiàn)在校、系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提了三種方案：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人.三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問(wèn)：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪一種方案有利？解 設(shè)系隊(duì)得勝人數(shù)為X，則在上述三種方案中，系隊(duì)勝利的概率為（1） PX2=0.352；(2) PX3=0.317；(3) PX4=0.290.因此第一種方案對(duì)系
15、隊(duì)最為有利.這在直覺(jué)上是容易理解的，因?yàn)閰①惾藬?shù)越少，系隊(duì)僥幸獲勝的可能性也就越大.4.一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命準(zhǔn)率為45%，以表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫(xiě)出的分布律，并計(jì)算取偶數(shù)的概率.解：隨機(jī)變量所有可能的取值為:， 分布律為：, ：一列互不相容的事件的和， 所以.5.某十字路口有大量汽車(chē)通過(guò)，假設(shè)每輛汽車(chē)在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001，如果每天有5000輛汽車(chē)通過(guò)這個(gè)十字路口，求發(fā)生交通事故的汽車(chē)數(shù)不少于2的概率.解 設(shè)X表示發(fā)生交通事故的汽車(chē)數(shù)，則Xb(n,p),此處n=5000，p=0.001，令=np=5，PX2=1-PX2=1-=1-(0.999)5000-5(0.99
16、9)4999.查表可得PX2=1-0.00674-0.03369=0.95957.6.設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)成功概率為0.5，問(wèn)需要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。解 7.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得（2） (3) 8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0 x1時(shí) 當(dāng)1x0;(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí)當(dāng)x0時(shí) 故其分布
17、函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0 x1時(shí) 當(dāng)1x0時(shí)， 故 (2) 當(dāng)y0時(shí)當(dāng)y0時(shí) 故4.設(shè)隨機(jī)變量XU（0,1），試求：Z= -2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】 由P（0X0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05（1） 求V=max（X，Y）的分布律；（2） 求U=min
18、（X，Y）的分布律；【解】（1） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(2) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.176.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布密度.解 X，Y相互獨(dú)立，所以由卷積公式知fZ（z）=.由題設(shè)可知fX（x）fY（y）只有當(dāng)0 x1，y0，即當(dāng)0 x1且z-x0時(shí)才不等于零.現(xiàn)在所求的積分變量為x，z當(dāng)作參數(shù)，當(dāng)積分變量滿足x的不等式組0 x1xz時(shí)，被積函數(shù)fX（x）fY（z-x）0.下面針對(duì)參數(shù)z的不同取值范圍來(lái)計(jì)算積
19、分.當(dāng)z0時(shí)，上述不等式組無(wú)解，故fX（x）fY（z-x）=0.當(dāng)0z1時(shí)，不等式組的解為0 xz.當(dāng)z1時(shí)，不等式組的解為0 x1.所以fZ（z）=，7.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求：（1）隨機(jī)變量的密度函數(shù)；（2）隨機(jī)變量的密度函數(shù)；（3）隨機(jī)變量的密度函數(shù).解：由題意的概率密度函數(shù)分別為由兩個(gè)隨機(jī)變量和的密度函數(shù)公式，要使被積函數(shù)非，必須滿足故的密度函數(shù)應(yīng)為8.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為的泊松(Poisson)分布，證明仍服從泊松分布，參數(shù)為.證明：記，則所有可能的取值為：， 由離散卷積公式有 即服從參數(shù)為的泊松分布.9.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)）
20、，并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z0時(shí)，（2） 當(dāng)0z2/3,=2：=1/435/12=35/481/3.可見(jiàn)契比雪夫不等式成立.2. 假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,n,且X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車(chē)間有同型號(hào)機(jī)床200部，每部機(jī)床開(kāi)動(dòng)的概率為0.7，假定各機(jī)床
21、開(kāi)動(dòng)與否互不影響，開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問(wèn)至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車(chē)間同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過(guò)m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時(shí)開(kāi)動(dòng)機(jī)床數(shù)目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能15115=2265（單位）.4.一個(gè)螺絲釘重量是一個(gè)隨機(jī)變量，期望值是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒（100個(gè)）同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2斤的概率.解 設(shè)一盒重量為X，盒中第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓繛閄i(i=1
22、,2,100).X1，X2，X100相互獨(dú)立，E（Xi）=1， =0.1，則有X=，且E（X）=100E（Xi）=100（兩），=1（兩）.根據(jù)中心極限定理，有PX102=1-(2)=1-0.977250=0.022750.5. 10部機(jī)器獨(dú)立工作，每部停機(jī)的概率為0.2，求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率.解 10部機(jī)器中同時(shí)停機(jī)的數(shù)目X服從二項(xiàng)分布，n=10,p=0.2,np=2,1.265.(1) 直接計(jì)算：PX=3=0.230.870.2013;(2) 若用局部極限定理近似計(jì)算：PX=3=0.2308.(2)的計(jì)算結(jié)果與（1）相差較大，這是由于n不夠大.6. 在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1） 保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率為多大；（2） 保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒(méi)有利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因?yàn)椤肮纠麧?rùn)60000”當(dāng)且僅當(dāng)“0X60”于是所求概率為 28
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案廖茂新復(fù)旦版.doc
