2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題31 橢圓及其性質(zhì) 理

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1、專題31 橢圓及其性質(zhì)一、考綱要求:1.了解橢圓的實(shí)際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用二、概念掌握和解題上注意點(diǎn):1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面:一是判定平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等.2.橢圓的定義式必須滿足2a|F1F2|.3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法,但基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定位,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在的位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組,若焦點(diǎn)位

2、置不確定,可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A0,B0,AB)的形式.4.求橢圓離心率的方法直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解.列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.5.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.6.直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)

3、問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會更簡單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|(k為直線斜率).三、高考考題題例分析例1.(2018課標(biāo)卷I)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB【答案】(1)y=x+,y=x, (2)見解析證明:(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),OMA=OMB=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為AB的垂直平分線,OMA=OMB,當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x1),k0,A(x1,y1

4、),B(x2,y2),則x1,x2,直線MA,MB的斜率之和為kMA,kMB之和為kMA+kMB=+,由y1=kx1k,y2=kx2k得kMA+kMB=,將y=k(x1)代入+y2=1可得(2k2+1)x24k2x+2k22=0,x1+x2=,x1x2=,2kx1x23k(x1+x2)+4k=(4k24k12k2+8k2+4k)=0從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),OMA=OMB,綜上OMA=OMB 例7.(2017全國卷)設(shè)A,B是橢圓C:1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120,則m的取值范圍是()A(0,19,)B(0,9,)C(0,14,)D(0,4,)【答案】A

5、【解析】法一:設(shè)焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)M(x,y)過點(diǎn)M作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)N,則N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120,且由1可得x23,則.解得|y|.又0b0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1,證明:l過定點(diǎn).【答案】(1)(2)見解析試題解析:(1)由于,兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過,兩點(diǎn).又由知,C不經(jīng)過點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.因此,解得.故C的方程為.由題設(shè)可知.設(shè)A(x1,y1

6、),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.而.由題設(shè),故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),欲使l:,即,所以l過定點(diǎn)(2,)例9.(2017課標(biāo)卷)已知橢圓C:1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,則C的離心率為()ABCD【答案】A例10.(2017課標(biāo)卷II)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。【答案】(1) 。(2)證明略。試題解析:(1)設(shè),設(shè),。由得。因?yàn)樵贑上,所以。因此點(diǎn)P的軌跡方程為。(

7、2)由題意知。設(shè),則,。由得,又由(1)知,故。所以,即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。橢圓及其性質(zhì)練習(xí)題一、選擇題1已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是()A1B1C1D1【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,c1.又離心率為,故a2,b2a2c2413,故橢圓的方程為1.2橢圓C:1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),則F1AB的周長為 ()A12B16C20D24【答案】C3直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為 ()AB.CD【答案

8、】B【解析】如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA|OF|AF|OB|,即bca,所以e. 19.已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線l:ykx1(k0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B,C,若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求BOC的面積【答案】(1) y21. (2) .(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k21)x26kx0,由原點(diǎn)O到直線l的距離為,得k2,又|BC| 2,SBOC|BC|,BOC的面積為.20.已知曲線C的方程是mx2ny21(m0,n0),且曲線過A,

9、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點(diǎn),向量p(x1,y1),q(x2,y2),且pq0,若直線MN過點(diǎn),求直線MN的斜率【答案】(1) y24x21. (2) .21已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于,以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l:ykxm與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓E相交于A,B兩個(gè)點(diǎn)(1)求橢圓E的方程;(2)若3,求m2的取值范圍【答案】(1) x21(2) (1,4)(2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1m),B(x2,kx2m),由得,(k24)x22mkxm240.由已知得4

10、m2k24(k24)(m24)0,即k2m240,且x1x2,x1x2.由3得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0,即m2k2m2k240.當(dāng)m21時(shí),m2k2m2k240不成立,k2.k2m240,m240,即0.1m24.m2的取值范圍是(1,4)22對于橢圓,有如下性質(zhì):若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為利用此結(jié)論解答下列問題點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),并且橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動點(diǎn)在直線上,經(jīng)過點(diǎn)的直線,與橢圓相切,切點(diǎn)分別為,求證:直線必經(jīng)過一定點(diǎn)【答案】(1)(2)直線必經(jīng)過一定點(diǎn)(2)設(shè),則切線,切線都經(jīng)過點(diǎn),即直線的方程為又,直線必經(jīng)過一定點(diǎn) 16

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