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1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1答案第1章 函數(shù)第2章 極限與連續(xù)（一） 單項(xiàng)選擇題下列各函數(shù)對(duì)中，（C）中的兩個(gè)函數(shù)相等 A. ， B. ， C. ， D. ，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱 A. 坐標(biāo)原點(diǎn) B. 軸 C. 軸 D. 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B） A. B. C. D. 下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C） A. B. C. D. 下列極限存計(jì)算不正確的是（D） A. B. C. D. 當(dāng)時(shí)，變量（C）是無窮小量 A. B. C. D. 若函數(shù)在點(diǎn)滿足（A），則在點(diǎn)連續(xù)。 A. B. 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 C. D. （二）填空題函數(shù)的定義域是已知函數(shù)，則 x2-x 若函數(shù)，
2、在處連續(xù)，則e 函數(shù)的間斷點(diǎn)是若，則當(dāng)時(shí)，稱為。（三）計(jì)算題設(shè)函數(shù)求：解：，求函數(shù)的定義域解：有意義，要求解得 則定義域?yàn)樵诎霃綖榈陌雸A內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)解： A R O h E B C設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得則上底故求解：求解：求解：求解： 求解：求解：設(shè)函數(shù)討論的連續(xù)性。解：分別對(duì)分段點(diǎn)處討論連續(xù)性 （1）所以，即在處不連續(xù)（2）所以即在處連續(xù)由（1）（2）得在除點(diǎn)外均連續(xù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2答案：第3章 導(dǎo)數(shù)與微分（一）單項(xiàng)選擇
3、題 設(shè)且極限存在，則（C） A. B. C. D. cvx 設(shè)在可導(dǎo)，則（D） A. B. C. D. 設(shè)，則（A） A. B. C. D. 設(shè)，則（D） A. B. C. D. 下列結(jié)論中正確的是（C） A. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)可導(dǎo) B. 若在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)可導(dǎo) C. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)有極限 D. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)連續(xù)（二）填空題 設(shè)函數(shù)，則0 設(shè)，則。 曲線在處的切線斜率是。 曲線在處的切線方程是。 設(shè)，則 設(shè)，則。（三）計(jì)算題 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解: 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：解： 解：解：解：解：解：解：解：在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)
4、，求：解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 求下列函數(shù)的微分：（注：）解： 解： 解： 解： 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：解： 解： 解： 解： （四）證明題 設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)證：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù) 所以兩邊導(dǎo)數(shù)得：所以是偶函數(shù)。高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案：第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題 若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得 A. 在內(nèi)連續(xù) B. 在內(nèi)可導(dǎo) C. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) D. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo) 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D） A. B. C. D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A） A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升 函數(shù)滿
5、足的點(diǎn)，一定是的（C） A. 間斷點(diǎn) B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn)設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若滿足（ C ），則在取到極小值 A. B. C. D. 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（ A ） A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 （二）填空題 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的 極小值 點(diǎn) 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且是的極值點(diǎn)，則 0 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是 函數(shù)的拐點(diǎn)是（三）計(jì)算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值解：令X1(1,5)5+00+y上升極大值32下降極小值0上升列表：極大
6、值：極小值：求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值解：令：，列表：（0,1）1（1,3）+0上升極大值2下降 3.求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短解：，d為p到A點(diǎn)的距離，則：。4.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積5.一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積 答：當(dāng) 時(shí)表面積最大。6.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設(shè)底長(zhǎng)為x，高為h。則：側(cè)面積為：令答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。（四）證明題
7、當(dāng)時(shí)，證明不等式證：在區(qū)間 其中，于是由上式可得當(dāng)時(shí)，證明不等式證：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案：第5章 不定積分第6章 定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題 若的一個(gè)原函數(shù)是，則（D） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D） A B. C. D. 若，則（B） A. B. C. D. （B） A. B. C. D. 若，則（B）A. B. C. D. 下列無窮限積分收斂的是（D）A. B. C. D. （二）填空題函數(shù)的不定積分是。若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù)，則與之間有關(guān)系式。若，則。3若無窮積分收斂，則。（三）計(jì)算題 （四）證明題證明：若在上可積并為奇函數(shù)，則證: 證畢證明：若在上可積并為
8、偶函數(shù)，則證：高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)第一章 函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)中符號(hào)f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對(duì)任意，有，則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱。若對(duì)任意，有，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種類型： 常數(shù)函數(shù)： 冪函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)： 對(duì)數(shù)函數(shù)： 三角函數(shù)：
9、反三角函數(shù)：了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。如函數(shù)可以分解，。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè)，則。解：設(shè)，則，得故。函數(shù)的定義域是。解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求且，即且；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求，即。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是。解：要使有意義，必須使，由此得定義域?yàn)椤：瘮?shù)的定義域?yàn)?。解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域?yàn)椤ＴO(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。解：的定義域?yàn)?，且有即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對(duì)稱。二、單
10、項(xiàng)選擇題下列各對(duì)函數(shù)中，（）是相同的。A.；B.；C.；D.解：A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同, ， B, D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以A B, D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（）對(duì)稱。A.yx；B.x軸；C.y軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)，則對(duì)任意有即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng)D正確。 3設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)是（）A.單調(diào)減函數(shù)； B.有界函數(shù)；C.偶函數(shù)； D.周期函數(shù)解：A, B, D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè)，則對(duì)任意有即是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。函數(shù)（ ） A.是奇函數(shù)； B. 是偶函
11、數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)； D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 所以B正確。若函數(shù)，則（ ） A.； B. ；C.； D. 。解：因?yàn)樗詣t，故選項(xiàng)B正確。第二章 極限與連續(xù)知道數(shù)列極限的“”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量； 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方
12、法。求極限有幾種典型的類型（1）（2）（3）熟練掌握兩個(gè)重要極限：（或）重要極限的一般形式：（或）利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類：已知點(diǎn)是的間斷點(diǎn)，若在點(diǎn)的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)；若在點(diǎn)的左、右極限有一個(gè)不存在，則稱為的第二類間斷點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)
13、函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。典型例題解析一、填空題 極限。解：注意：（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量），其中=1是第一個(gè)重要極限。函數(shù)的間斷點(diǎn)是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因?yàn)?所以函數(shù)在處是間斷的，又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。設(shè)，則。解：，故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。二、單項(xiàng)選擇題函數(shù)在點(diǎn)處（）A.有定義且有極限； B.無定義但有極限；C.有定義但無極限； D.無定義且無極限解：在點(diǎn)處沒有定義，但（無窮小量有界變量=無窮小量）故選項(xiàng)B正確。下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。A.； B.；C. ；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A, C, D三個(gè)選
14、項(xiàng)中的極限都不為0，故選項(xiàng)B正確。 三、計(jì)算應(yīng)用題計(jì)算下列極限： （4） 解： = 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為分母的最高次項(xiàng)為，由此得 （4）當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。 =2.設(shè)函數(shù) 問（1）為何值時(shí)，在處有極限存在？（2）為何值時(shí)，在處連續(xù)？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與
15、微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。曲線在點(diǎn)處的切線方程為函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法（4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方
16、法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù)，求。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。又例如函數(shù) ，求。顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得兩端求導(dǎo)得整理后便可得若函數(shù)由參數(shù)方程的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與
17、導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似 一階微分形式的不變性微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù)在鄰近有定義，且，則。解： 故應(yīng)填1。曲線在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是。解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是故應(yīng)填。設(shè)，則。解：，故故應(yīng)填二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則（）。A.；B.2； C.4；D不存在解：因
18、為，且，所以，即C正確。設(shè)，則（）。A.；B. ；C. ；D. 解：先要求出，再求。因?yàn)?，由此得，所以即選項(xiàng)D正確。 3設(shè)函數(shù)，則（）A.0； B.1；C.2； D. 解：因?yàn)椋渲械娜?xiàng)當(dāng)時(shí)為0，所以故選項(xiàng)C正確。 4曲線在點(diǎn)（）處的切線斜率等于0。A.；B.；C.；D.解：，令得。而，故選項(xiàng)C正確。5 ，則（）。A.；B.；C.；D.解：故選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由此得設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。解 = =求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)
19、合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡(jiǎn)。3.設(shè)函數(shù)由方程確定，求。解：方法一：等式兩端對(duì)求導(dǎo)得整理得方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端右端由此得整理得4.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法5設(shè)，求。解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.解：，當(dāng)時(shí).故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.2.極限.解：由洛必達(dá)法則3.函數(shù)的極小值點(diǎn)為 。解：，令，解得駐點(diǎn)，又時(shí)，；時(shí)，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。二、單選題1.函數(shù) 在區(qū)間上是（ ）A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
20、所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2. 若函數(shù)滿足條件（ ），則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立。 A）在內(nèi)連續(xù)； B）在內(nèi)可導(dǎo)； C）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)； D）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。 解：選擇D。 由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。3. 滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（ ）。A）極值點(diǎn) B）拐點(diǎn)C）駐點(diǎn) D）間斷點(diǎn)解：選擇C。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則函數(shù)在處（ ）。A）取得極大值 B）取得極小值C）一定有拐點(diǎn) D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn)解：選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的拐點(diǎn)
21、，所以選擇D。三、解答題 1.計(jì)算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義區(qū)間為，由于 令，解得，這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個(gè)區(qū)間來討論。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是，。由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應(yīng)用題欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為，高為，所用材料為且 令得，且因?yàn)?，所以為最小?此時(shí)。于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。3證明題：當(dāng)時(shí)，證明不等式 證 設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo)，所以在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 其中，即 又由于，有故有 兩邊同時(shí)取以為底的指數(shù)，有即 所以當(dāng)時(shí)，有不等式 成立.第5章學(xué)習(xí)輔
22、導(dǎo)（2）典型例題解析一、填空題曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線過點(diǎn)，則曲線方程為。解：，即曲線方程為。將點(diǎn)代入得，所求曲線方程為已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，則。解： 已知是的一個(gè)原函數(shù)，那么。解：用湊微分法 二、單項(xiàng)選擇題設(shè)，則（）。A. ； B. ；C. ； D. 解：因故選項(xiàng)A正確 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則等式（）成立。A.；B.；C.；D.解：正確的等式關(guān)系是故選項(xiàng)D正確 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則（）。A. ； B. ；C. ； D. 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 故選項(xiàng)C正確三、計(jì)算題計(jì)算下列積分：解：利用第一換元法 利用第二換元法，設(shè)， 計(jì)算下列積分：解：利用分部積分法 利用分部積分法 高等數(shù)學(xué)
23、（1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題 （1）下列式子中，正確的是（ ）。A. B. C. D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. B. C. D. (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A .B. C. D. (4) 若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 。A. B 0C D (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ).A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。在（0，1）區(qū)間內(nèi) C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)
24、，而與積分變量的選取無關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) A不正確。 B。不正確。 C。不正確。 DD正確（4）由課本344頁 （642）和345頁（643）知C。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) A正確。 （二） 填空題(1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_。 (4) (5) (a0 p0 )答案：解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積S=（3） 由定積分的幾何意義知: 定積分的值等于（4） y= 所圍圖形的面積（5） p1時(shí) 無窮積分發(fā)散。（三）計(jì)算下列定積
25、分(1）(2）（3） （4） （5）答案：(1）(2）（3） （4） (5) （四）定積分應(yīng)用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x解：畫草圖 求交點(diǎn) 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題 1、若（ ）成立，則級(jí)數(shù)發(fā)散，其中 表示此級(jí)數(shù)的部分和。A、； B、單調(diào)上升；C、 D、不存在2、當(dāng)條件（ ）成立時(shí)，級(jí)數(shù)一定發(fā)散。A、發(fā)散且收斂； B、發(fā)散；C、發(fā)散； D、和都發(fā)散。3、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則（ ）收斂。A、 B、C 、 D、4、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、滿足，則結(jié)論（ ），是正確的。A、發(fā)散則發(fā)散； B、收斂則收斂；C、發(fā)散
26、則收斂； D、收斂則發(fā)散。5、 若f(x)= , 則 = ( )。A、 B 、 C D、答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C（二）填空題1、 當(dāng)_時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂。2、 級(jí)數(shù)是_級(jí)數(shù)。3、 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)_。4、 指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級(jí)數(shù)為_。5、 若冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（9 ，9 ），則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_。答案：1、1 則由比值判別法可知發(fā)散。 由于是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且=及，由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂。2、 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 解： 因此收斂半徑R=1， 令 得冪級(jí)數(shù)可知的收斂半徑為4 ，所以原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑第八章綜合練習(xí)題及參考答案（一）單項(xiàng)選擇題 1、 下列階數(shù)最
27、高的微分方程是 （ ）。A、； B、；C、 D、2、下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是（ ）。A、； B、C、 D、3、微分方程的通解為（ ）。A、 B、C 、 D、4、微分方程的通解為（ ）。A、； B、C、； D、5、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為（ ）。A、 B 、 C D、答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D（二）填空題6、 一階線性微分方程的通解公式為_。7、 二階線性微分方程的特征根為_。8、 二階線性微分方程的通解中含有_獨(dú)立的任意常數(shù)。9、 二階微分方程的通解為_。10、 若是二階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，為其相應(yīng)的齊次微分方程的通解，則非齊次微分方程的通解為_。答案
28、：1、 2、 3、兩個(gè) 4、 5、 （三）計(jì)算題3、 求一階微分方程的滿足的特解 求一階微分方程的滿足的特解 解：微分方程變?yōu)?，兩邊積分得方程的通解為 由條件得， 故微分方程的的特解方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 由條件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得，兩邊積分得方程的通解為 由條件得,故微分方程的的特解2、求微分方程的通解解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為， 故齊次微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為，代入方程得得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)） 求微分方程的通解解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 得特征根為， 故齊次微分方程的通解
29、（其中為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為，代入方程得 故微分方程的通解（其中為任意常數(shù)）高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合練習(xí)題解答一填空題1函數(shù)的定義域?yàn)?。2函數(shù)的定義域是 。3函數(shù)的定義域是 。4設(shè)，則 。解：設(shè)，則且原式即亦即4若函數(shù)在處連續(xù)，則= 。5曲線在處的切線方程為 。曲線在點(diǎn)處的切線方程為解：，6. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為 。初等函數(shù)在其定義區(qū)間連續(xù)。且7曲線在點(diǎn)處的切線方程為 。 8. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 。解：9.（判斷單調(diào)性、凹凸性）曲線在區(qū)間內(nèi)是 單調(diào)遞減且凹 。解：10設(shè)，則 。解：，11 0 。解：是奇函數(shù)；是偶函數(shù)，由于偶+偶=偶，則是偶函數(shù)，因?yàn)槠媾计妫允瞧婧瘮?shù)，是對(duì)稱區(qū)間奇函數(shù)在
30、對(duì)稱區(qū)間上的積分為零12 。解：是奇函數(shù)（奇偶奇），故；而是偶函數(shù)，故13設(shè)，則 。解： 14已知，則 。解：15設(shè)為的原函數(shù)，那么 。分析：為的原函數(shù)，解：16設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是, 則 。解：的一個(gè)原函數(shù)為17，那么 。解：18_。解：19設(shè)，則 。解：20= 。解：二選擇題1 下列函數(shù)中（ B ）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。A B C D 規(guī)律：（1）1奇偶函數(shù)定義：；（2）常見的偶函數(shù)：常見的奇函數(shù)：常見的非奇非偶函數(shù)：；（3）奇偶函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：奇奇=奇；奇偶=非；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶；（4）奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱。解：A非奇非偶； B奇偶=奇（原點(diǎn)）；
31、 C奇奇=偶（軸）； D非奇非偶2下列函數(shù)中（ B ）不是奇函數(shù)。A； B； C； D 解：A奇函數(shù)（定義）； B非奇非偶（定義）；C奇函數(shù)（奇偶）；D奇函數(shù)（定義）3下列函數(shù)中，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱的是（ A ）。A B C D解：A偶函數(shù)（軸）； B非奇非偶（定義）；C奇函數(shù)（常見）；D非奇非偶（定義）4下列極限正確的是（ B ）。A B C. D 解：A錯(cuò)。，；B正確。分子分母最高次冪前的系數(shù)之比；C錯(cuò)。，即是無窮小，即是有界變量，；D錯(cuò)。第二個(gè)重要極限應(yīng)為或，其類型為。5當(dāng)時(shí)，（ D ）為無窮小量。A B C D 解：A ；B， 不存在；C，；D，。6. 下列等式中，成立的是（ B ）。A
32、 B C D 解：A錯(cuò)，正確的應(yīng)為 B。 正確，即C錯(cuò)，正確的應(yīng)為 D錯(cuò)，正確的應(yīng)為7設(shè)在點(diǎn)可微，且，則下列結(jié)論成立的是（ C ）。A 是的極小值點(diǎn) B 是的極大值點(diǎn) ；C是的駐點(diǎn)； D 是的最大值點(diǎn)；解：駐點(diǎn)定義：設(shè)在點(diǎn)可微，且，則是的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。8函數(shù)，則 （ D ）。A 3 ； B ； C ； D 解一：解二： 9設(shè)，則（ B ）。A ； B ； C ； D 不存在10曲線在區(qū)間內(nèi)是（ A ）。A下降且凹 B上升且凹 C下降且凸 D 上升且凸解：11曲線在內(nèi)是（ B ）。A 下降且凹； B上升且凹； C下降且凸； D上升且凸解：12曲線在點(diǎn)處的法線方程為（ B ）。A.；B
33、.；CD.規(guī)律：曲線在x=處的法線方程為解：，故法線方程為B；13下列結(jié)論中正確的是（ C ）。A函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)一定是駐點(diǎn) D函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)必為解：駐點(diǎn)定義：設(shè)在點(diǎn)可微，且，則是的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)為可能的極值點(diǎn)。14設(shè)函數(shù)，則（ A ）。A； B； C； D 解：15當(dāng)函數(shù)不恒為0，為常數(shù)時(shí)，下列等式不成立的是（ B ）。A. B. C. D. 解：A. 成立，為不定積分的性質(zhì)；B. 不成立，常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零；C. 成立，為不定積分的性質(zhì)； D. 成立，為牛頓萊布尼茲公式。16設(shè)函數(shù)的原函數(shù)為，則（ A ）。A ； B； C； D解：函
34、數(shù)的原函數(shù)為，17下列無窮積分為收斂的是（B）。A. B. C.D.規(guī)律： 、發(fā)散 解：A.；B.，收斂； C.，發(fā)散； D. ，發(fā)散18下列無窮積分為收斂的是（C）。A. B.C. D. 解：A. 發(fā)散；B. 發(fā)散；C. 收斂；D. 發(fā)散；三計(jì)算題1、求極限 2、求極限解： 解： 原題 原題3、求極限解：，原題=4、求極限解：，原題5、求極限解：，原題6、求極限解：，原題7、設(shè)函數(shù)，求解：8、設(shè)函數(shù)，求。解：9、設(shè)函數(shù)，求。解： 10、設(shè)函數(shù)，求。 11、設(shè)函數(shù)，求。解： 12、計(jì)算不定積分 2 0 + + 13、計(jì)算不定積分 解： 1 0 四、應(yīng)用題1、 要做一個(gè)有底無蓋的圓柱體容器,已知
35、容器的容積為4立方米,試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使所用材料最省。解：設(shè)圓柱體底半徑為，高為，則體積材料最省即表面積最小表面積，令0，得唯一駐點(diǎn)所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?，此時(shí)高為米時(shí)表面積最小即材料最省。2、 要做一個(gè)有底無蓋的圓柱體容器,已知容器的容積為16立方米,底面單位面積的造價(jià)為10元/平方米，側(cè)面單位面積的造價(jià)為20元/平方米，試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費(fèi)用最省。解：設(shè)圓柱體底半徑為，高為， 則體積 且造價(jià)函數(shù)令，得唯一駐點(diǎn)所以當(dāng)?shù)装霃綖槊?，此時(shí)高為米時(shí)造價(jià)最低。3、要用同一種材料建造一個(gè)有底無蓋的容積為108立方米的圓柱體容器，試問如何選取底半徑和高的尺寸,才能使建造費(fèi)
36、用最省。解：要使建造費(fèi)用最省，就是在體積不變的情況下，使圓柱體的表面積最小。設(shè)圓柱體底半徑為，高為，則體積則圓柱體倉庫的表面積為，令0，得唯一駐點(diǎn),所以當(dāng)?shù)装霃綖槊祝藭r(shí)高為米時(shí)表面積最小即建造費(fèi)用最省。4、在半徑為8的半圓和直徑圍成的半圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖），為使長(zhǎng)方形的面積最大，該長(zhǎng)方形的底長(zhǎng)和高各為多少。解：設(shè)長(zhǎng)方形的底邊長(zhǎng)為，高為，則 8 面積 令，得唯一駐點(diǎn)所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為米，此時(shí)高為米時(shí)面積最大。5、在半徑為8的圓內(nèi)內(nèi)接一個(gè)長(zhǎng)方形，為使長(zhǎng)方形的面積最大，該長(zhǎng)方形的底長(zhǎng)和高各為多少。解：設(shè)長(zhǎng)方形的底邊長(zhǎng)為，高為，則面積令，得唯一駐點(diǎn)所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為米，此時(shí)高為米時(shí)面積最大。6、求由拋物線與直線所圍的面積。解：拋物線與直線的交點(diǎn)為，面積=7、求由拋物線與直線所圍的面積。解：拋物線與直線的交點(diǎn)為，面積8、求由拋物線與直線所圍的面積。解：拋物線與直線的交點(diǎn)為，面積9、求由拋物線與直線所圍的面積。解：拋物線與直線的交點(diǎn)為,面積10、求由拋物線與直線所圍的面積。解：拋物線與直線的交點(diǎn)為，面積-1-1整理范文，僅供參考?xì)g迎您下載我們的文檔資料可以編輯修改使用致力于合同簡(jiǎn)歷、論文寫作、PPT設(shè)計(jì)、計(jì)劃書、策劃案、學(xué)習(xí)課件、各類模板等方方面面，打造全網(wǎng)一站式需求覺得好可以點(diǎn)個(gè)贊哦如果沒有找到合適的文檔資料，可以留言告知我們哦38
2019年電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核手冊(cè)答案必考重點(diǎn)【精編打印版】.doc
