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1、平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講答案EatingNoodles第二講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)1 設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的直接效用函數(shù)為構(gòu)造出該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)并且運(yùn)用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)驗(yàn)證：這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的解：該消費(fèi)者的最大化問題是需求函數(shù)為，消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，由羅爾恒等式，有，這與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致注這里的是向量，以后的向量均用黑體表示，以與表示分量的符號相區(qū)別2 某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是，商品1和2的價(jià)格分別是和，此消費(fèi)者的收入為，求間接效用函數(shù)和支出函數(shù)解：該消費(fèi)者的最大化問題是得到需求函數(shù)，由此得到間接效用函數(shù)又消費(fèi)者效用最
2、大化意味著，記，可得到支出函數(shù)3 考慮下列間接效用函數(shù)，這里表示收入，問：什么是該效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)與解：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)：，注 這個(gè)間接效用函數(shù)揭示的是完全互補(bǔ)的偏好在這樣的偏好下，所有商品的消費(fèi)量都是相等的典型的情況就是鞋底跟鞋幫的關(guān)系4 考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的形式為，這里已知北京的物價(jià)為，上海的物價(jià)為，并且，但又知廣州的物價(jià)為若該退休老人是理智的，他會(huì)選擇哪個(gè)城市去生活？ 解：設(shè)老人的收入為，那么老人在北京、上海、廣州居住的間接效用分別為
3、，由，所以因此老人不會(huì)選擇去廣州生活55.1 設(shè)，這里，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)解：支出最小化問題是其拉格朗日函數(shù)為：使最小化要求滿足一階條件，1，23由1式、2式，得，；4代4入3，得；5代5入4，得，；于是可以得到對應(yīng)的支出函數(shù)5.2 又設(shè)，同樣，求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)解：解法與5.1完全相同，得到注 即為，這樣寫一是為了節(jié)省空間，再有可以和支出函數(shù)區(qū)別開來5.3 證明：證明：根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果，得到6 設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，這里什么是該消費(fèi)者對物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？解：若消費(fèi)束是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系，1記，由該消
4、費(fèi)者的間接效用函數(shù)，得到2由1式和2式，得到因此，由Shepard引理，得到，7 考慮含種商品的Cobb-Douglas效用函數(shù)這里，7.1 求馬歇爾需求函數(shù)解：約束條件為做的單調(diào)變換，最大化的一階條件為，即，代入約束，得到 注意已知，因此需求函數(shù)為，注作單調(diào)變換后，計(jì)算得到簡化注 是的另一種寫法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用較多用分量來表示，即為下同7.2 求間接效用函數(shù)解：根據(jù)7.1的結(jié)果，其中7.3 計(jì)算支出函數(shù)解：令，得到；又由，得到7.4 計(jì)算希克斯需求函數(shù)解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)，8 以Cobb-Douglas效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化
5、問題可以得到同一需求函數(shù)說明：這道題我的理解是，說明在效用最大化問題中解得的馬歇爾需求函數(shù)和支出最小化問題中解得的?？怂剐枨蠛瘮?shù)在函數(shù)值上是相等的解：令效用函數(shù)形式為，其中，預(yù)算約束為求解效用最大化問題得到的馬歇爾需求函數(shù)為，求解支出最小化問題得到希克斯需求函數(shù)，；對任一個(gè)，代入上式得到，代上式入預(yù)算約束得；代上式入?？怂剐枨蠛瘮?shù)得到，它們在函數(shù)值上與相應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)相等9 下列說法對嗎？為什么？函數(shù)可以作為某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)答：不對因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中，?？怂固娲?yīng)10 下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？這里，與是兩種商品，為收入答：要具體分析一般要求馬歇爾需求函數(shù)滿足（1），以及（1）函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)很明顯，該需求函數(shù)滿足第二個(gè)條件考慮第一個(gè)條件，如果能將定義在上，那么該函數(shù)能對于所有的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)；如果只能將定義在上，那么它只能對于滿足的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)注 我在所有的解答里面都將價(jià)格向量定義為嚴(yán)格正，這與一般的規(guī)定相同另外，盡管很多題目都假設(shè)需求非負(fù)，但某些情況下需求卻不一定要滿足非負(fù)的限制任何題目都有前提，把它們說明白了，應(yīng)該不會(huì)有問題
平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)十八講》第二講 答案
