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1、平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講答案EatingNoodles第二講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)1 設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的直接效用函數(shù)為構(gòu)造出該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)并且運(yùn)用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)驗(yàn)證:這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的解:該消費(fèi)者的最大化問題是需求函數(shù)為,消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為,由羅爾恒等式,有,這與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致注這里的是向量,以后的向量均用黑體表示,以與表示分量的符號相區(qū)別2 某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是,商品1和2的價(jià)格分別是和,此消費(fèi)者的收入為,求間接效用函數(shù)和支出函數(shù)解:該消費(fèi)者的最大化問題是得到需求函數(shù),由此得到間接效用函數(shù)又消費(fèi)者效用最
2、大化意味著,記,可得到支出函數(shù)3 考慮下列間接效用函數(shù),這里表示收入,問:什么是該效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)與解:根據(jù)羅爾恒等式,可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù):,注 這個(gè)間接效用函數(shù)揭示的是完全互補(bǔ)的偏好在這樣的偏好下,所有商品的消費(fèi)量都是相等的典型的情況就是鞋底跟鞋幫的關(guān)系4 考慮一退休老人,他有一份固定收入,想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù),設(shè)該效用函數(shù)的形式為,這里已知北京的物價(jià)為,上海的物價(jià)為,并且,但又知廣州的物價(jià)為若該退休老人是理智的,他會(huì)選擇哪個(gè)城市去生活? 解:設(shè)老人的收入為,那么老人在北京、上海、廣州居住的間接效用分別為
3、,由,所以因此老人不會(huì)選擇去廣州生活55.1 設(shè),這里,求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)解:支出最小化問題是其拉格朗日函數(shù)為:使最小化要求滿足一階條件,1,23由1式、2式,得,;4代4入3,得;5代5入4,得,;于是可以得到對應(yīng)的支出函數(shù)5.2 又設(shè),同樣,求與該效用函數(shù)想對應(yīng)的支出函數(shù)解:解法與5.1完全相同,得到注 即為,這樣寫一是為了節(jié)省空間,再有可以和支出函數(shù)區(qū)別開來5.3 證明:證明:根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果,得到6 設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為,這里什么是該消費(fèi)者對物品1的??怂剐枨蠛瘮?shù)?解:若消費(fèi)束是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇,那么根據(jù)引理一,間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系,1記,由該消
4、費(fèi)者的間接效用函數(shù),得到2由1式和2式,得到因此,由Shepard引理,得到,7 考慮含種商品的Cobb-Douglas效用函數(shù)這里,7.1 求馬歇爾需求函數(shù)解:約束條件為做的單調(diào)變換,最大化的一階條件為,即,代入約束,得到 注意已知,因此需求函數(shù)為,注作單調(diào)變換后,計(jì)算得到簡化注 是的另一種寫法,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用較多用分量來表示,即為下同7.2 求間接效用函數(shù)解:根據(jù)7.1的結(jié)果,其中7.3 計(jì)算支出函數(shù)解:令,得到;又由,得到7.4 計(jì)算希克斯需求函數(shù)解:根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果,得到??怂剐枨蠛瘮?shù),8 以Cobb-Douglas效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化
5、問題可以得到同一需求函數(shù)說明:這道題我的理解是,說明在效用最大化問題中解得的馬歇爾需求函數(shù)和支出最小化問題中解得的??怂剐枨蠛瘮?shù)在函數(shù)值上是相等的解:令效用函數(shù)形式為,其中,預(yù)算約束為求解效用最大化問題得到的馬歇爾需求函數(shù)為,求解支出最小化問題得到希克斯需求函數(shù),;對任一個(gè),代入上式得到,代上式入預(yù)算約束得;代上式入??怂剐枨蠛瘮?shù)得到,它們在函數(shù)值上與相應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)相等9 下列說法對嗎?為什么?函數(shù)可以作為某種商品的??怂剐枨蠛瘮?shù)答:不對因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中,??怂固娲?yīng)10 下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎?為什么?這里,與是兩種商品,為收入答:要具體分析一般要求馬歇爾需求函數(shù)滿足(1),以及(1)函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)很明顯,該需求函數(shù)滿足第二個(gè)條件考慮第一個(gè)條件,如果能將定義在上,那么該函數(shù)能對于所有的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù);如果只能將定義在上,那么它只能對于滿足的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)注 我在所有的解答里面都將價(jià)格向量定義為嚴(yán)格正,這與一般的規(guī)定相同另外,盡管很多題目都假設(shè)需求非負(fù),但某些情況下需求卻不一定要滿足非負(fù)的限制任何題目都有前提,把它們說明白了,應(yīng)該不會(huì)有問題