121《極坐標(biāo)系的概念》課件(新人教選修4-4)

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1、新課標(biāo)人教版課件新課標(biāo)人教版課件系列系列高中數(shù)學(xué)選修選修441.2.1極坐標(biāo)系的概念1、理解極坐標(biāo)的概念，弄清極坐標(biāo)系的、理解極坐標(biāo)的概念，弄清極坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)（ 建立極坐標(biāo)系的四要素）；建立極坐標(biāo)系的四要素）；2、理解廣義極坐標(biāo)系下點的極坐標(biāo)（、理解廣義極坐標(biāo)系下點的極坐標(biāo)（，）與點之間的多對一的對應(yīng)關(guān)系；）與點之間的多對一的對應(yīng)關(guān)系；3、已知一點的極坐標(biāo)會在極坐標(biāo)系中描、已知一點的極坐標(biāo)會在極坐標(biāo)系中描點，以及已知點能寫出它的極坐標(biāo)。點，以及已知點能寫出它的極坐標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)在哪？目標(biāo)在哪？在以在以為為X軸軸以以為為Y軸，軸，坐標(biāo)是坐標(biāo)是.算的太慢了！算的太慢了！以深南大道為

2、以深南大道為X軸軸以南新路為以南新路為Y軸軸.請問：請問：去蛇口怎么走？去蛇口怎么走？以深南大道為以深南大道為X軸軸以南新路為以南新路為Y軸軸.精神病！精神??！以深南大道為以深南大道為X軸軸以南新路為以南新路為Y軸軸.精神病！精神病！從這向南從這向南2000米。米。請問：請問：去蛇口怎么走？去蛇口怎么走？請分析上面這句話，他告訴了問路人請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？什么？從 這 向 南 走從 這 向 南 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出發(fā)點出發(fā)點方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用表示一點的位置。這種用方向方向和和距離距

3、離表表示平面上一點的位置的思想，就是極坐示平面上一點的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。標(biāo)的基本思想。一、極坐標(biāo)系的建立：一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O，叫做，叫做極點極點。引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。再選定一個長度單位再選定一個長度單位和和角度單位角度單位及及它的正它的正方向方向（通常取逆時針（通常取逆時針方向）。方向）。這樣就建立了一個這樣就建立了一個極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。XO極坐標(biāo)系的四要素？極坐標(biāo)系的四要素？二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM 對于平面上任意一點對于平面上任意一點M，用用 表示線段表示線段OM

4、的長度，的長度，用用 表示從表示從OX到到OM 的的角度，角度， 叫做叫做M的極徑，的極徑， 叫做點叫做點M的極角，有序的極角，有序數(shù)對（數(shù)對（ ， ）就叫做）就叫做M的的極坐標(biāo)。極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：特別強(qiáng)調(diào)： 表示線段表示線段OM的長度，既點的長度，既點M到到極點極點O的距離；的距離； 表示從表示從OX到到OM的角度，既的角度，既以以O(shè)X（極軸）為始邊，（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。為終邊的角。題組一題組一：說出下圖中各點的極坐標(biāo)：說出下圖中各點的極坐標(biāo)ABCDEFGOX46535342 平面上一點的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多

5、少種表示方法？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？ 特別規(guī)定：特別規(guī)定： 當(dāng)當(dāng)M在極點時，它的在極點時，它的極坐標(biāo)極坐標(biāo) =0， 可以取任意值?？梢匀∪我庵怠Ｏ胍幌?？想一想？極點（極點（0， ）（）（ R）即極點有無數(shù)個極坐標(biāo)即極點有無數(shù)個極坐標(biāo)三、點的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究三、點的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點請說出點M的極坐標(biāo)的其的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式。他表達(dá)式。思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？思考：這些極角有何關(guān)系？這

6、些極角的始邊相同，終邊也相同。也這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。就是說它們是終邊相同的角。本題點本題點M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：4 2k+4 ，極徑相同，不同的是極角極徑相同，不同的是極角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCDEFG 題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點46535342 ABCDEFGOX要求寫出各點：要求寫出各點：1最小正極角的極坐標(biāo)最小正極角的極坐標(biāo)2最大負(fù)極角的極坐標(biāo)最大負(fù)極角的極坐標(biāo)3點的極坐標(biāo)的統(tǒng)一表達(dá)式。點的極坐標(biāo)的統(tǒng)一表達(dá)式。本節(jié)課總結(jié)：本節(jié)課總

7、結(jié)：1極坐標(biāo)系的建立需確定幾條？極坐標(biāo)系的建立需確定幾條？ 極點；極徑；長度單位和角度正方向。極點；極徑；長度單位和角度正方向。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？ 無數(shù)種。是因為極角引起的。無數(shù)種。是因為極角引起的。3一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？ 有。有。42k，四、四、1、負(fù)極徑的定義、負(fù)極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。（？）必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。（？）對于點對于點M（ ， ）負(fù)極徑時的規(guī)定：負(fù)極徑時的規(guī)定：1作射線作射線OP

8、，使，使 XOP= 2在在OP的反向延長的反向延長線上取一點線上取一點M，使，使 OM = OXP MOXP = /4M五、五、2、負(fù)極徑的實例、負(fù)極徑的實例在極坐標(biāo)系中畫出點在極坐標(biāo)系中畫出點 M（-3， /4）的位置的位置1作射線作射線OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延長的反向延長線上取一點線上取一點M，使，使 OM = 3五、五、3、關(guān)于負(fù)極徑的思考、關(guān)于負(fù)極徑的思考“負(fù)極徑負(fù)極徑”真是真是“負(fù)負(fù)”的？的？ 根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正的?，F(xiàn)在所說的的。現(xiàn)在所說的“負(fù)極徑負(fù)極徑”中的中的“負(fù)負(fù)”到底到底是什么意思？是什么意思？有比較才

9、能有鑒別！有比較才能有鑒別！ 把負(fù)極徑時點的確定過程，與正極徑時把負(fù)極徑時點的確定過程，與正極徑時點的確定過程相比較，看看有什么相同，有點的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？五、五、4、正、負(fù)極徑時，點的確定過程比較、正、負(fù)極徑時，點的確定過程比較OXPMOXP1作射線作射線OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延長線上的反向延長線上取一點取一點M，使，使 OM = 31作射線作射線OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的上取一點的上取一點M，使，使 OM = 3M畫出點畫出點 （3， /4） 和（和（-3， /4）五、五、5、負(fù)極徑的實質(zhì)、負(fù)極徑的實質(zhì) 從比較來

10、看，負(fù)極徑比從比較來看，負(fù)極徑比正極徑多了一個操作，將射線正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長反向延長”。OXPMOXPM 而反向延長也可以說成而反向延長也可以說成旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) ，因此，所謂因此，所謂“負(fù)極負(fù)極徑徑”實質(zhì)是管方向的。這與實質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)負(fù)”表示表示“反向反向 ”。練習(xí)：寫出下列各點的負(fù)極徑的極坐標(biāo)練習(xí)：寫出下列各點的負(fù)極徑的極坐標(biāo)（3， /4）答：（答：（-3， + /4） （-3， - /4）（3，- /4）負(fù)極徑總結(jié)：負(fù)極徑總結(jié)： 極徑是負(fù)的，等于極角增加極徑是負(fù)的，等于極角增加 。 負(fù)極徑的負(fù)與數(shù)學(xué)中歷來的習(xí)慣相同，

11、用負(fù)極徑的負(fù)與數(shù)學(xué)中歷來的習(xí)慣相同，用來表示來表示“反向反向”特別強(qiáng)調(diào)：以后不特別聲明，特別強(qiáng)調(diào)：以后不特別聲明， 0 。 因為，負(fù)極徑只在極少數(shù)情況用。因為，負(fù)極徑只在極少數(shù)情況用。六、極坐標(biāo)系下點的極坐標(biāo)六、極坐標(biāo)系下點的極坐標(biāo)OXPM探索點探索點M（3， /4）的所有極坐標(biāo)）的所有極坐標(biāo)1極徑是正的時候：極徑是正的時候：423k，2極徑用極徑用“-3”)423k，（六、極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況六、極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況OXPMOXMP1首先，給定極坐標(biāo)首先，給定極坐標(biāo)M（ ， ）在平面上可以確定唯一的一點。在平面上可以確定唯一的一點。2反過來，給定平面上一反過來，給

12、定平面上一點，卻有無數(shù)個極坐標(biāo)。點，卻有無數(shù)個極坐標(biāo)。原因：極徑有正有負(fù)；極原因：極徑有正有負(fù)；極角有無數(shù)個。角有無數(shù)個。但是，有統(tǒng)一表達(dá)式兩個。但是，有統(tǒng)一表達(dá)式兩個。如果如果限定限定0,02那么除極點外那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以可以一一對應(yīng)一一對應(yīng)了了.3一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？小結(jié)小結(jié)1建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。它的正方向。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？表達(dá)式？無數(shù)，極角有無數(shù)

13、個。無數(shù)，極角有無數(shù)個。有。（有。（，2k+）作業(yè)：作業(yè)：7-8頁頁極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化平面內(nèi)的一個點的直角坐標(biāo)是平面內(nèi)的一個點的直角坐標(biāo)是(1, )3這個點如何用極坐標(biāo)表示這個點如何用極坐標(biāo)表示?Oxy在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 以原點作為極點以原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位同的長度單位點點M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為(1, 3)(1, 3)M設(shè)點設(shè)點M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(,)23122 ）（ 313tan M ( 2, / 3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:

14、設(shè)點設(shè)點M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx 互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：1. 極點與直角坐標(biāo)系的原點重合極點與直角坐標(biāo)系的原點重合;2. 極軸與直角坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.例例1. 將點將點M的極坐標(biāo)的極坐標(biāo) 化成直角坐標(biāo)化成直角坐標(biāo).2(5,)3解解: 2532cos5 x23532sin5 y所以所以, 點點M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為)235,25( 已知下列點的極坐標(biāo)，求它們的直已知下列

15、點的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。角坐標(biāo)。)6, 3( A)2, 2( B)2, 1( C)4,23( D)43, 2( E例例2. 將點將點M的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo) 化成極坐標(biāo)化成極坐標(biāo).(3, 1)解解: 21)3(22 ）（ 3331tan 因為點在第三象限因為點在第三象限, 所以所以67 因此因此, 點點M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為)67, 2( 練習(xí)練習(xí): 已知點的直角坐標(biāo)已知點的直角坐標(biāo), 求它們求它們的極坐標(biāo)的極坐標(biāo).)3, 3( A)3, 1(B)0 , 5(C)2, 0( D)3, 3( E例例3 已知兩點（已知兩點（2， ），（），（3， ）求兩點間的距離求兩點間的距離.32oxAB解：解：AOB = 6用余弦定理求用余弦定理求AB的長即可的長即可.極坐標(biāo)下兩點間距離公式nA（1 ，1），），B（2 ，2） |AB| =?極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點設(shè)點M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx n9頁