《2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 復(fù)數(shù)教案 舊人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 復(fù)數(shù)教案 舊人教版（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本復(fù)數(shù)教案舊人教版、基礎(chǔ)知識(shí)1. 復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-l的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi(a,bWR)的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。2. 復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bWR),a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為
2、實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,見圖15-1，連接0Z,設(shè)ZxOZ=0,|oz|=r，則a=rcos0,b=rsin0，所以z=r(cos0+isin0)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cos0+isin0)，則8稱為z的輻角。若OW02n，貝90稱為z的輻角主值，記作0=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|,由勾股定理知|z|二.如果用ei0表示cos0+isin0，則z=rei0，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3. 共軛與模，若z=a+b
3、i，(a,bR),則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)|z|-|z|W|z土z|W|z|+|z|；(8)121212|z+z12+|z-z12=2|z12+2|z12；(9)若|z|=1,則。1212124. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：(1)按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；(2)按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；(3)按三角形式，若z=r(cos0+isin0),z=r(cos0+isin0)，則11112222zz=rrcos(0+0)+isin(0+0)；若
4、cos(0-0)+isin(0-0)，用指數(shù)形式記121212121212為zz=rrei(01+02),12125. 棣莫弗定理：r(cos0+isin0)n=rn(cosn0+isinn0).0+2k兀0+2k兀6. 開方：若r(cos0+isin0)，則w=n：r(o+is),k=0,1,2，n-1。nn7. 單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z=，則全部單位根可表示為1,.單位根的基本性質(zhì)有(這里記,k=1,2,n-1)：(1)對(duì)任意整數(shù)k,若k=nq+r,qGZ,0WrWn-1,有Z=Z；(2)對(duì)任意整數(shù)m,當(dāng)n2時(shí)，有=特別1+Z+Z+-+Z=0；nq+
5、rr12n-1(3)xn-1+xn-2+x+1=(x-Z)(x-Z)(x-Z)=(x-Z)(x-)(x-).12n-118. 復(fù)數(shù)相等的充要條件：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。9. 復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0(且zM0).10. 代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。11. 實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(bM0)是方程的一個(gè)根，貝0a-bi也是一個(gè)根。12. 若a,b,cWR,aM0,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)A=b2-4ac0時(shí)方程的根為
6、二、方法與例題1. 模的應(yīng)用。例1求證：當(dāng)nWN時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。+證明若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n,所以|(Z+1)2n|=|-(zT)加|,即|z+1|2=|zT|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1),化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1,有|f(z)|=1，求a,b的值。解因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|三|f(l)|+|f(-l)|+|f(i)|+|
7、f(-i)|=4,其中等號(hào)成立。所以f(l),f(-l),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。所以f(l)=f(-l)=-f(i)=-f(-i),解得a=b=0.2. 復(fù)數(shù)相等。例3設(shè)入GR,若二次方程(l-i)x2+(入+i)x+l+入i=0有兩個(gè)虛根，求入滿足的充要條件。解若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(入+l)x+入+1=0.若入=-1，則方程x2-x+l=0中40無實(shí)根，所以入HT。所以x=-l,入=2.所以當(dāng)入工2時(shí)，方程無實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為入工2。3三角形式的應(yīng)用。例4設(shè)nWxx,nWN,且存在8滿足(sin8+icos0)n=sinn0
8、+icosn0，那么這樣的n有多少個(gè)？解由題設(shè)得cos(扌-0)+isin(號(hào)-9)n=cosn&-0)+isin(-0)=cos(-n0)+isin(-n0)，所以n=4k+1.又因?yàn)镺WnWxx，所以lWkW500,所以這樣的n有500個(gè)。4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例5計(jì)算：(1)C0C2+C4+C100；(2)C1C3+C5C99100100100100100100100100解(1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100=(C0-C2+C4+C100)+(100100100100C0+C1i+C2i2HFC99i99+C100i100=100100
9、100100100C1-C3+C5C99)i,比較實(shí)部和虛部，得C0-C2+C4+C100=-250,100100100100100100100100C1-C3+C5C99=0。1001001001005復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ABC,分別以AB,AC為腰，B,C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ABM、等腰直角厶ACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。證明設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)0為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a，點(diǎn)A,M,N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z,Z2，Z3,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得:，BM=z+a=i(za)，由+得z+z=i(z+a)-i(z
10、-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P,212311對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。例7設(shè)A,B,C,D為平面上任意四點(diǎn)，求證：ABAD+BCAD三ACBD。證明用A,B,C,D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因?yàn)閨A-B|CD|+|BC|A-D|三(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|AB|CD|+|BC|A-D|三|A-C|BD|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)B-AB-CD-AB-CArg()=Arg()，即Arg()+Arg()=n，即A,B,C,D共圓時(shí)D-AC-DB-AD-C成立。不等式得證。6復(fù)數(shù)與軌跡。例8ABC
11、的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i,底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ABC的外心軌跡。解設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,yWR),B,C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|,BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|,所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去b解得所以ABC的外心軌跡是軌物線。7復(fù)數(shù)與三角。例9已知cosa+cosp+cosy=sina+sinp+siny=0,求證：cos2a+cos2p+cos2y=0。證明令Z二cosa+isina,=cosp+isinp,
12、=cosY+isiny，則z+z+z=0。所以z+z+z二z+z+z二0.又因?yàn)閨z|=l,i=l,2,3.123123123i所以z=1，即i由z+z+z=0得x2+x2+x2+2zz+2zz+2zz=0.=zzz123riii)+、zzz丿123123123122331=zzz(z+z+z)=0.123123所以所以cos2a+cos2p+cos2y+i(sin2a+sin2p+sin2y)=0.所以cos2a+cos2p+cos2y=0。例10求和：S=cos200+2cos400+18cosl8X200.解令w=cos200+isin20。，則wi8=l,令P=sin200+2sin4
13、00+18sinl8X20。，則S+iP=w+2w2+18wi8.由Xw得w(S+iP)=w2+2w3+17wi8+18wi9,由-得(l-w)(S+iP)二w+w2+wi8-18wi9二，所以S+iP二，所以8復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。例11已知f(z)二czn+czn-i+cz+c是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c工0).01n-1n0求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z,|z|Wl,并且|f(z)|三|c|+|c|.0000n證明記czn+czn-i+cz=g(z),令=人礙)-Arg(z),則方程g(Z)-ceie=0為n次方01n-1n00程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z,z,，z，從而g(z)-ceie=(z-z)(z-z)
14、(z-z)c，令z=012n012n0得-ceie=(-l)nzz巳c，取模得|zz巳|=1。所以z,z,，z中必有一個(gè)z使得|z|W012n012n12nii1, 從而f(z)=g(z)+c=ceie=c，所以|f(z)|=|ceie+c|=|c|+|c|.iin0ni0n0n9. 單位根的應(yīng)用。例12證明：自00上任意一點(diǎn)p到正多邊形AA-A各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。12n證明取此圓為單位圓，0為原點(diǎn)，射線0A為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)n1復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2,3,.,n.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z,貝y|z|=1,且=2n-工IpAI2=Iz-kI2=(z-k
15、)(z-k)=(2-kz-kz)=2n-z工kza二k=2n-z工k-z工k=2n.命題得證。kk=1k=1k=1k=1k=1k=1k=1k=110復(fù)數(shù)與幾何。例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P,使得PAB,PCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q,使得QBC,QDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。證明以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A,B,C,D,P,Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q),則4BCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也為等腰直角三角
16、形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。例14平面上給定AAA及點(diǎn)p，定義A=A,s4,構(gòu)造點(diǎn)列p,p,p,，使得p為繞1230ss-3012k+1中心A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)p所到達(dá)的位置，k=0,l,2,若p=p.證明：AAA為等邊k+1k19860123三角形。證明令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,XU2+X(-u)得p=(1+u)(A-uA+U2A)+p=w+p,w為與p無關(guān)的常數(shù)。同理得3321000叮w+p3=2w+p0,pi986=662w+p0=p0,所以w=0
17、,從而A3-uA2+U2A1=0.由u2=u-l得A3-A1=(A2-Ai)u,這說明AA2A3為正三角形。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有組。2. 若zWC且z2=8+6i,且z3-16z-=。3復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則。4. 已知，則1+z+z2+z1992=。5. 設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是。6. 設(shè)z,w,入WC,|入|工1,則關(guān)于z的方程-八z=w的解為z=。7. 設(shè)0x1,則2arctan。&若a,B是方程ax2+bx+c=0(a,b,cWR)的兩個(gè)虛根且，則。9.若a
18、,b,cC,則a2+b2c2是a2+b2-c20成立的條件。10. 已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是。11. 二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12. 復(fù)平面上定點(diǎn)Z,動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z,z,其中z工0,且滿足方程|z-z|=|z|,01010101另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足Zz=-1,求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。13. N個(gè)復(fù)數(shù)z,z,，z成等比數(shù)列，其中|z|工1,公比為q,|q|=1且qM土1,復(fù)數(shù)12n1w,w,w滿足條件：w=z+h,其中k=1
19、,2,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示12nkkw,w,w的點(diǎn)p,p,p都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。12n12n四、高考水平訓(xùn)練題1. 復(fù)數(shù)z和cos0+isin0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對(duì)稱，則z=。2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i,那么z=。3有一個(gè)人在草原上漫步，開始時(shí)從0出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=。4. 若，貝y|z|=。5. 若a20,k=1,2,，n,并規(guī)定a=a，使不等式乙、:a2一aa+a2九乙a恒成kn+11Vkkk+1k+1kk=1k=16. 已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形O
20、PQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為7. 已知P為直線x-y+l=O上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正4OPQ(O,P,Q按順時(shí)針方向排列)。則點(diǎn)Q的軌跡方程為。8. 已知zGC，則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的條件。9. 若nWN,且n23,則方程zn+i+zn-l=O的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為。10設(shè)(xxx+xxx+3)xx=a+ax+ax2+axn012naaaa則a-+2+a-5+022322+a-3k11. 設(shè)復(fù)數(shù)zi，z2滿足Z1，其中AMO,AGC。證明：(1)|Z+a|z2+a|=|a|2；(2)12. 若zWC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最
21、大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)z.1z1=1z1=1z1=1,12313.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足1zzz+T+zzz2311,|az1+bz2+cz3|的值。三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題I. 已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是。2設(shè)復(fù)數(shù)z=cos0+isin0(0,|A0|=|B0|,則4OAB面積是。6. 設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為。7. 已知()m=(1+i)n(m,nWN),則mn的最小值是。+8復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，Z的輻角主值為,則z2=。9. 當(dāng)nWN,且1WnW100時(shí)，的值中
22、有實(shí)數(shù)個(gè)。10. 已知復(fù)數(shù)Z,z2滿足，且，則的值是。II. 集合A=z|zi8=1,B=w|w48=1,C=zw|zWA,wWB，問：集合C中有多少個(gè)不同的元素？12. 證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1,那么方程的所有根都是不相等的實(shí)根(nGN).+13對(duì)于適合|z|W1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,要使0|az+B|2）。其中S為實(shí)數(shù)且|S|W2,求證：復(fù)數(shù)a,a,a,a,a12345,.兀.2兀.(n-1)兀n2.求證：sm-sm-sm=nnn2n-13. 已知p(z)二Zn+cZn-l+cZn-2+C是復(fù)變量Z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且|p(i)|1，求證：存在12n實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2
23、+1)24b2+1.4. 運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a,a,，a,證明六個(gè)數(shù)aa+aa,aa+aa,aa+aa,128132415261728aa+aa,aa+aa,aa+aa中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。3546374857685. 已知復(fù)數(shù)z滿足11zio+1Oiz9+1OizT1=O,求證：|z|=1.6. 設(shè)Z1,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，求證：|Z|+|z|+|z|+|z+z+z|2|z+z|+|z+z|+|z+zI。1231231223312019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本平面幾何教案舊人教版一、常用定理（僅給出定理，證明請(qǐng)讀者完成）梅涅勞斯定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)
24、線上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則梅涅勞斯定理的逆定理?xiàng)l件同上，若則三點(diǎn)共線。塞瓦定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三線平行或共點(diǎn)，則塞瓦定理的逆定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若則三線共點(diǎn)或互相平行。角元形式的塞瓦定理分別是ABC的三邊BC,CA,AB所在直線上的點(diǎn)，則平行或共點(diǎn)的sinZCBBsinZBBAsinZBAAsinZACCsinZAACsinZCCB廣義托勒密定理設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則ABCD+BCAD三ACBD,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。斯特瓦特定理設(shè)P為卜ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，P不同于B,C,則有AP2=
25、AB2+AC2-BPPC.西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線,則三垂足共線。西姆松定理的逆定理若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓定理三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn),這九點(diǎn)共圓。蒙日定理三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長(zhǎng)）相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線,這條直線稱根軸）歐拉定理ABC的外心0,垂心H,重心G三點(diǎn)共線，且二、方法與例題1.同一法。即不直接去證明,而是作出滿足條件的圖形或點(diǎn),然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。例1在厶ABC中，ZABC=7Oo,ZACB=3O。，P,Q為卜ABC內(nèi)
26、部?jī)牲c(diǎn)，ZQBC=ZQCB=lOo,ZPBQ=ZPCB=20。，求證：A,P,Q三點(diǎn)共線。證明設(shè)直線CP交AQ于P,直線BP交AQ于P，因?yàn)閆ACP=ZPCQ=10o,所以，在ABP,BPQ,ABC中由正弦定理有ABAP二2，sinZAPBsinZABP22由，得。又因?yàn)镻1，P2同在線段AQ上，所以P1，P2重合，又BP與CP僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以P,P即為P,所以A,P,Q共線。12122面積法。例2見圖16-1,OABCD中，E,F分別是CD,BC上的點(diǎn)，且BE=DF,BE交DF于P,求證:AP為ZBPD的平分線。證明設(shè)A點(diǎn)到BE,DF距離分別為,丸，則S=1BExh,SAABE21AADF
27、又因?yàn)镾=S，又BE=DFOABCDADF所以h=h，所以PA為ZBPD的平分線。123. 幾何變換。例3（蝴蝶定理）見圖16-2,AB是00的一條弦，M為AB中點(diǎn)，CD,EF為過M的任意弦,CF,DE分別交AB于P,Q。求證：PM=MQo證明由題設(shè)0MAB。不妨設(shè)。作D關(guān)于直線0M的對(duì)稱點(diǎn)。連結(jié)，則DM=DM.ZPMD=ZDMQ.要證PM=MQ，只需證，又ZMDQ=ZPFM,所以只需證F,P,M,共圓。因?yàn)閆=1800-=1800-Z=180o-Zo（因?yàn)?MoAB/）所以F,P,M,四點(diǎn)共圓。所以遜MDQ。所以MP=MQ。例4平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角
28、形，它們的相似比為1995，而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。證明在平面上作兩個(gè)同心圓,半徑分別為1和1995,因?yàn)樾A上每一點(diǎn)都染以紅、藍(lán)兩色之一，所以小圓上必有五個(gè)點(diǎn)同色，設(shè)此五點(diǎn)為A,B,C,D,E,過這兩點(diǎn)作半徑并將半徑延長(zhǎng)分別交大圓于,B,q,DjEj由抽屜原理知這五點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色，不妨設(shè)為,B,q,則4ABC與AA1B1C1都是頂點(diǎn)同色的三角形，且相似比為1995。4. 三角法。例5設(shè)AD,BE與CF為AABC的內(nèi)角平分線，D,E,F在AABC的邊上，如果ZEDF=90o,求ZBAC的所有可能的值。解見圖16-3，記ZADE=a,ZEDC=B,由題設(shè)ZFDA=-a,ZBDF=-p,AE
29、DECEDE由正弦定理：=,=sina.AsinpsmCsin一廠2AEsinasinC得=一得CEsinpA，廠sin2-、亠sinasinCsinC又由角平分線定理有，又，所以=sinp.AsmA廠sin2化簡(jiǎn)得，同理，即所以，所以sinpcosa-cospsina=sin(p-a)=0.又-np-a1PA+PB+PC1=3丨PGI.又因?yàn)椴蝗簿€，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例7H是厶ABC的垂心，P是任意一點(diǎn)，HLPA，交PA于L,交BC于X，HMPB，交PB于M,交CA于Y，HNPC交PC于N,交AB于Z,求證：X，Y，Z三點(diǎn)共線。解以H為原點(diǎn)，取不與條
30、件中任何直線垂直的兩條直線為x軸和y軸，建立直角坐標(biāo)系，用(x,y)表示點(diǎn)k對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，則直線PA的斜率為，直線HL斜率為，直線HL的方kk程為x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直線HA的斜率為，所以直線BC的斜率為，直線BC的方程為xxA+yyA=xAxB+yAyB,又點(diǎn)CAAABAB在直線BC上，所以xx+yy=xx+yy.CACAABAB同理可得叫+%人=叫+人人=叫叫+人人.又因?yàn)閄是BC與HL的交點(diǎn)，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿足式和式，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理點(diǎn)Y坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xBxC+yByC.點(diǎn)Z坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由
31、知，表示同一直線方程，故X,Y,Z三點(diǎn)共線。7四點(diǎn)共圓。例8見圖16-5，直線l與00相離，P為l上任意一點(diǎn)，PA,PB為圓的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)。證明過O作OCl于C,連結(jié)OA,OB,BC,OP，設(shè)OP交AB于M,則OPAB，又因?yàn)镺APA,0BPB，0CPC。所以A,B,C都在以O(shè)P為直徑的圓上，即O,A,P,C,B五點(diǎn)共圓。AB與OC是此圓兩條相交弦，設(shè)交點(diǎn)為Q,又因?yàn)镺PAB,OCCP,所以P,M,Q,C四點(diǎn)共圓，所以O(shè)MOP=OQOC。由射影定理OA2=OMOP,所以O(shè)A2=OQOC,所以O(shè)Q=(定值)。所以Q為定點(diǎn)，即直線AB過定點(diǎn)。三、習(xí)題精選1.0O和O
32、O2分別是ABC的邊AB,AC上的旁切圓，0O與CB,CA的延長(zhǎng)線切于E,G,OO與BC,BA的延長(zhǎng)線切于F,H,直線EG與FH交于點(diǎn)P,求證：PABC。22. 設(shè)0O的外切四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F,求證：E,O,F三點(diǎn)共線。3. 已知兩小圓00與00相外切且都與大圓00相內(nèi)切，AB是00與00的一條外公切線，1212A,B在00上,CD是00與00的內(nèi)公切線，00與00相切于點(diǎn)P,且P,C在直線AB1212的同一側(cè)，求證：P是厶ABC的內(nèi)心。4. ABC內(nèi)有兩點(diǎn)M,N,使得ZMAB=ZNAC且ZMBA=ZNBC，求證：AM-ANBM-BNCM-CN.AB-ACBC-
33、BACA-CB5. ABC中，0為外心，三條高AD,BE,CF相交于點(diǎn)H,直線ED和AB相交于點(diǎn)M,直線FD和AC相交于點(diǎn)N,求證：(1)0BDF,0CDE；(2)0HMN。6. 設(shè)點(diǎn)I,H分別是銳角ABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)B1，C1分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，已知射線BI交邊AB于點(diǎn)B(BMB)，射線CI交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,BC與BC相交于點(diǎn)K,A12212221為卜BHC的外心。試證：A,I,A1三點(diǎn)共線的充要條件是厶BKB2和4CKC?的面積相等。7. 已知點(diǎn)A,B,C，點(diǎn)A,B,C，分別在直線l,l上,BC交BC于點(diǎn)M,CA交AC1112221221121212于點(diǎn)N,BA交BA于L。求證：M,N,L三點(diǎn)共線。12218. ABC中，ZC=900,ZA=300,BC=1,求AABC的內(nèi)接三角形(三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形)的最長(zhǎng)邊的最小值。9. AABC的垂心為H,外心為0,外接圓半徑為R,頂點(diǎn)A,B,C關(guān)于對(duì)邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)共線的充要條件是0H=2R。
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