內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六講 解析幾何 理

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2、上,有些不在上；坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上；一定有不在曲線上的點(diǎn),并且其坐標(biāo)滿足方程.那么正確命題的個(gè)數(shù)是( ). A. B. C. D. 點(diǎn)撥：直接用定義進(jìn)行判斷. 解：“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上” 不正確,意味著“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)不都在曲線上”是正確的,即一定有不在曲線上的點(diǎn),并且其坐標(biāo)滿足方程,正確；曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以有不滿足方程的,錯(cuò)；若只有一解,則知錯(cuò)；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,錯(cuò).故選A. 易錯(cuò)點(diǎn)：定義把握不準(zhǔn)確,關(guān)鍵字詞認(rèn)識(shí)不到位,概念理解不深刻,均有可能錯(cuò)選其它選項(xiàng).A.C.B.D.圖 變式與引申：方程的曲線形狀是( ). 已知定點(diǎn)不在直線：上,則方程表示一

3、條( A ). A.過(guò)點(diǎn)且平行于的直線 B.過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線 C.不過(guò)點(diǎn)但平行于的直線 D.不過(guò)點(diǎn)但垂直于的直線 題型2 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求曲線方程 例 已知點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸、軸上,且,當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程. 點(diǎn)撥：由確定與的坐標(biāo)關(guān)系,由建立動(dòng)點(diǎn)與、的坐標(biāo)關(guān)系,用代入法求軌跡方程. 解：設(shè),又,則,.由,得 .由,得,即,代入得,當(dāng)時(shí),三點(diǎn)、重合,不滿足條件,故點(diǎn)的軌跡方程為. 易錯(cuò)點(diǎn)：忽視軌跡方程中的.圖 變式與引申：已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),且,動(dòng)點(diǎn)滿足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.如圖,從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線,垂足為,求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.題型3 待定系數(shù)法、直

4、接法求曲線方程 例 (2020年海南理卷第20題)已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是和. 求橢圓的方程； 若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線. 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}用待定系數(shù)法求橢圓的方程；問(wèn)題可將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入滿足的關(guān)系式中,得到點(diǎn)的軌跡方程(含參數(shù)),最后對(duì)進(jìn)行分類討論,說(shuō)明其軌跡是什么曲線,并指出變量的取值范圍. 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,半焦距為,則,解得,.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 設(shè),其中.由已知及點(diǎn)在橢圓上可得.整理得,其中. 時(shí),化簡(jiǎn)得,所以點(diǎn)的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段. 時(shí),方程變形為,

5、其中.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓. 易錯(cuò)點(diǎn)：第小題中忽視方程的變量的限制；討論方程所表示的曲線時(shí),標(biāo)準(zhǔn)不明確,分類混亂, 會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生.討論方程所表示的曲線時(shí),一般是以二次項(xiàng)系數(shù)為零或相等的參數(shù)值來(lái)進(jìn)行分類,做到不重復(fù)不遺漏.圖 變式與引申：20200423(2020年浙江理卷第21題)已知橢圓：的右頂點(diǎn)為,過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為. 求橢圓的方程； 設(shè)點(diǎn)在拋物線：上,在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)、.當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求的最小值.題型4 定義法求曲線

6、方程與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題川圖冰已融化區(qū)域 例 (2020年湖南理卷第19題)為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊(duì)在某冰川上相距的、兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地.視冰川面為平面形,以過(guò)、兩點(diǎn)的直線為軸,線段的的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).在直線的右側(cè),考察范圍為到點(diǎn)的距離不超過(guò)區(qū)域；在直線的左側(cè),考察范圍為到、兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)區(qū)域. 求考察區(qū)域邊界曲線的方程； 如圖所示,設(shè)線段,是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線),當(dāng)冰川融化時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng),以后每年移動(dòng)的距離為前一年的倍,求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間. 點(diǎn)撥：通過(guò)審題,構(gòu)建圓與橢圓的

7、數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用圓的知識(shí)及橢圓定義求出考察區(qū)域邊界曲線、的方程,但需注意變量的取值范圍.對(duì)于第問(wèn),先寫出直線、的方程,然后依題意求出與平行、且與曲線相切的直線的方程,再綜合運(yùn)用平行直線間的距離公式、等比數(shù)列求和公式、解不等式等知識(shí)求解.圖 解：設(shè)考察區(qū)域邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),由題意知.當(dāng)時(shí),由知,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上,此時(shí)短半軸長(zhǎng),因而其方程為.故考察區(qū)域邊界曲線的方程為：和：. 設(shè)過(guò)點(diǎn)、的直線為,過(guò)點(diǎn)、的直線為,則直線、的方程分別為、.設(shè)直線平行于直線,其方程為,代入橢圓方程,消去整理得,.由,解得或.從圖中可以看出,當(dāng)時(shí),直線與的公共點(diǎn)到直線的距離最近,此時(shí)直線的方程為.,

8、與之間的距離為.又直線到和的最短距離,考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為.設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為年,則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式,得,.故冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為年. 易錯(cuò)點(diǎn)：易出現(xiàn)審題不清,不能將實(shí)際問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；求方程時(shí)忽視,求方程時(shí)忽視；待定系數(shù)與不能正確取舍.圖 變式與引申： 某航天衛(wèi)星發(fā)射前,科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案如圖,航天器運(yùn)行(按順時(shí)針?lè)较?的軌跡方程為,變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為.觀測(cè)點(diǎn)、同時(shí)跟蹤航天器. 求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在

9、的曲線方程； 試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí),觀測(cè)點(diǎn)、測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？本節(jié)主要考查： 知識(shí)點(diǎn)有曲線與方程的關(guān)系、求曲線(軌跡)的方程； 依據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何條件,運(yùn)用求曲線(軌跡)方程的方法求軌跡方程的問(wèn)題,以應(yīng)用題為背景的求曲線方程的問(wèn)題； 求曲線(軌跡)方程時(shí)：恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,使所求方程更簡(jiǎn)單； 適時(shí)利用圓錐曲線的定義,及時(shí)運(yùn)用平面幾何知識(shí),將大大簡(jiǎn)化求解運(yùn)算過(guò)程. 解析幾何基本思想(用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題)、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、應(yīng)用題建模思想以及分析推理能力、運(yùn)算能力.點(diǎn)評(píng)： 求曲線(軌跡)方程的常用方法有： 直接法：直接利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾

10、何條件(一些幾何量的等量關(guān)系)建立,之間的關(guān)系(如例第小題).其一般步驟是：建系設(shè)點(diǎn)、列式、坐標(biāo)代換、化簡(jiǎn)、證明(證明或判斷所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程)； 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時(shí),可先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),求出曲線的方程(如例第小題)； 定義法：先根據(jù)條件能得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某種曲線的定義,則可用曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(如例)； 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：有些問(wèn)題中,動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的,并且點(diǎn)在某已知曲線上,這時(shí)可先用、的代數(shù)式來(lái)表示、,再將、的表達(dá)式代入已知曲線,即得要求的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(如例及變式). 要注意求曲線(

11、軌跡)方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線(軌跡)的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡)方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程,再根據(jù)方程形式說(shuō)明或討論(含參數(shù)時(shí))曲線圖形的(形狀、位置、大小)類型.解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答. 在求出曲線(軌跡)的方程時(shí),要注意動(dòng)點(diǎn)的取值范圍,及時(shí)補(bǔ)漏和去除“雜點(diǎn)”,以保證所求曲線(軌跡)方程的完整性.習(xí)題6-1 .方程的曲線是( ). A.一個(gè)點(diǎn) B.一條直線 C.一個(gè)點(diǎn)和一條直線 D.兩條直線 .(2020年天津卷第13題)已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.則雙曲線的方程為. .已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切. 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程

12、； 是否存在直線,使過(guò)點(diǎn),并與軌跡交于、兩點(diǎn),且滿足,若存在,求出直線的方程；若不存在,說(shuō)明理由. .(2020年四川理卷第20題)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率,右準(zhǔn)線方程為. 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于、兩點(diǎn),且,求直線的方程. .(2020年廣東卷第20題改編)已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn),是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn). 求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程； 若過(guò)點(diǎn)的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)公共點(diǎn),且,求的值.第二節(jié) 圓錐曲線 圓錐曲線是高考命題的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐

13、曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時(shí),多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求 了解圓錐曲線的實(shí)際背景；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；掌握雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；掌握數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.題型一 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例 已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn),是一定點(diǎn),則的最大值和最小值分別為. 已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別是它的左、右焦點(diǎn),若過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn),且是與的等差中項(xiàng),則. 點(diǎn)撥：題可

14、利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì)的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項(xiàng)的知識(shí)求的值. 解：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,則,.又 (當(dāng)、共線時(shí)等號(hào)成立).又,.故的最大值為,最小值為. 依題意有,解得.、在雙曲線的左支上,.又,.,即. 易錯(cuò)點(diǎn)：在本例的兩個(gè)小題中,正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要,否則求解思路受阻；忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤；由、三點(diǎn)共線求出的最值也是值得注意的問(wèn)題. 變式與引申：已知為拋物線上任一動(dòng)點(diǎn),記點(diǎn)到軸的距離為,對(duì)于給定的點(diǎn),的最小值為( ). A. B. C. D. (202

15、0年浙江理卷第12題)已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),若,則.題型二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖 例(2020年江西理卷第21題)設(shè)橢圓：,拋物線：. 若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn),求的離心率； 設(shè),又,為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若的垂心為,且的重心在拋物線上,求橢圓和拋物線的方程. 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}：將的焦點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程,得出的關(guān)系式,進(jìn)而求出的離心率；問(wèn)題：利用、在拋物線上的對(duì)稱性及的垂心、的重心求,進(jìn)而得坐標(biāo),再利用點(diǎn)在橢圓上求,問(wèn)題獲解. 解： 由已知拋物線經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),即,即橢圓的離心率. 由題設(shè)可知、關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè),由的垂心為,有,即.又點(diǎn)在拋物線上,解得或(舍去),故得重心坐標(biāo).又

16、的重心在拋物線上,得,.又點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓的方程,得,故橢圓方程為,拋物線方程為. 易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)利用對(duì)稱性表示、的坐標(biāo)；記錯(cuò)重心坐標(biāo)公式；用向量關(guān)系表示垂直條件值得關(guān)注. 變式與引申：求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 已知橢圓與直線相交于、兩點(diǎn),是的中點(diǎn),若,的斜率為,求橢圓的方程.題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì)圖 例 如圖,已知為橢圓的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點(diǎn)、兩點(diǎn). 若直線的傾斜角為,求證：(為橢圓的離心率)； 若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. 點(diǎn)撥：這是一道過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題,依據(jù)題給條件,運(yùn)用三角公式、斜率與傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識(shí)可使問(wèn)

17、題獲證；對(duì)于問(wèn)題則運(yùn)用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍. 解法：,即,又,故. 解法：依題意直線的分別為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故. 解法：,.將直線代入橢圓,整理得,.,解不等式,得,故橢圓的離心率的取值范圍為. 解法：運(yùn)用焦半徑(其中)可得, ,解不等式,得,故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)栴}中忽視斜率的正負(fù),會(huì)導(dǎo)致的符號(hào)出錯(cuò)；問(wèn)題中不適時(shí)聯(lián)想平幾性質(zhì)或運(yùn)用焦半徑另一形式(其中),解題思路將受阻. 變式與引申：已知雙曲線：,、為其漸近線,為右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線且交雙曲線于點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與交于第一象限內(nèi)的點(diǎn). ()用,表示；圖 ()求證：為定值； ()

18、若,且,試求雙曲線的離心率的取值范圍. 給定拋物線：,過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與交于,兩點(diǎn). ()設(shè)線段的中點(diǎn)在直線上,求的值； ()設(shè),求的取值范圍.題型四 以圓錐曲線為載體的探索性問(wèn)題 例(2020年全國(guó)2理卷第21題)已知橢圓：的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)的直 線與相交于、兩點(diǎn).當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為. 求、的值； 上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立？若存在,求出所有 的點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}可先寫出的方程,再利用點(diǎn)到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問(wèn)題是存在性探索問(wèn)題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標(biāo)化,再綜合運(yùn)用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存

19、在.但需考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斜率不存在情形. 解：設(shè),當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),其方程為,點(diǎn)到的距離為, .由,得,. 上存在點(diǎn),使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立.由知的方程為 .設(shè),. 當(dāng)不垂直軸時(shí),設(shè)的方程為.上的點(diǎn)使成立的充要條件是 的坐標(biāo)為,且,即 .又、在上, 將代入 ,整理得, 于是 ,.代入解得, 此時(shí),于是,即.因此,當(dāng)時(shí), 的方程為；當(dāng)時(shí),的方程為. 當(dāng)垂直于軸時(shí),由知,上不存在點(diǎn),使成立. 綜上,上存在點(diǎn)使成立,此時(shí)的方程為. 易錯(cuò)點(diǎn)：本題涉及字母較多,思路不清晰,運(yùn)算能力不強(qiáng)易導(dǎo)致錯(cuò)解發(fā)生；直線垂直于軸情形易遺漏,需值得注意.圖 變式與引申：如圖,過(guò)點(diǎn)和的動(dòng)直線與拋物線：交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在、之間)

20、,為坐標(biāo)原點(diǎn). 若,求的面積； 對(duì)于任意的動(dòng)直線,是否存在常數(shù),總有？若存在,求出的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.本節(jié)主要考查：知識(shí)點(diǎn)有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(焦點(diǎn)、離心率、焦點(diǎn)三角形，焦半徑等)以及這些知識(shí)的綜合應(yīng)用；以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題、定值問(wèn)題等相關(guān)的綜合問(wèn)題；圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、點(diǎn)差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問(wèn)題代數(shù)化” 等解析幾何的基本方法；數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn),也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,同

21、時(shí)又是高考的熱點(diǎn)和壓軸點(diǎn)之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(zhì)(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓錐曲線為載體的探索性問(wèn)題(如例)等. 圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何特征與焦點(diǎn)、離心率相關(guān)的問(wèn)題,恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題,可避免繁瑣的推理與運(yùn)算. 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：定型確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；定位判斷焦點(diǎn)的位置；定量建立基本量、的關(guān)系式,并求其值；定式據(jù)、的值寫出圓錐曲線方程. 圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、焦半徑、焦點(diǎn)三角形、通徑等都是高考的重點(diǎn)熱點(diǎn).此類問(wèn)題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,

22、是高考試題的題源之一,應(yīng)引起重視,注意掌握好這一類問(wèn)題的求解方法與策略.如對(duì)于求離心率的大小或范圍問(wèn)題,只需列出關(guān)于基本量、的一個(gè)方程(求大小)或找到關(guān)于基本量、間的不等關(guān)系(求范圍)即可. 求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見(jiàn)問(wèn)題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進(jìn)而求之.其列不等式的思路有：運(yùn)用判別式或；點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部(一側(cè))或外部(另一側(cè))；利用圓錐曲線的幾何意義(如橢圓中等)；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點(diǎn)共線的情況). 解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問(wèn)題時(shí),通性通法是向量坐標(biāo)化,將一幾何問(wèn)題變成純代數(shù)問(wèn)題

23、. 探索性問(wèn)題是將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,它要求學(xué)生具有觀察分析問(wèn)題的能力、具有創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意,即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā),然后通過(guò)歸納,逐步探索待求結(jié)論.習(xí)題6-2 .已知橢圓中心在原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)、在軸上,、是橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),且軸,則此橢圓的離心率是( ). A. B. C. D. .已知點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn),、分別是圓和上的點(diǎn),則的最大值為. .(2020年四川理卷第21題)已知定點(diǎn),定直線：,不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到直線的距離的倍.設(shè)點(diǎn)的軌跡為,過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線

24、、分別交于點(diǎn)、. 求的方程； 試判斷以線段為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn),并說(shuō)明理由.圖 .如圖,已知直線：與拋物線：交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且. 求直線和拋物線的方程； 若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)時(shí),求面積的最大值. .若橢圓：和橢圓：滿足稱這兩個(gè)橢圓相似,稱為相似比. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與橢圓相似的橢圓方程. 設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線分別與中的兩個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn).(其中點(diǎn)在線段上),求的最大值與最小值. 對(duì)于真命題：“過(guò)原點(diǎn)的一條射線分別與相似比為的兩個(gè)橢圓：和：交于、兩點(diǎn),為線段上的一點(diǎn),若、成等比數(shù)列,則點(diǎn)的軌跡方程為.”請(qǐng)用推廣或類比的方法提出類似的一個(gè)真命題,并證明.第三節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓

25、錐曲線的關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,一般出現(xiàn)一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度值為0.50.7左右;大題通常是高考的壓軸題，難度值為0.30.5左右. 考試要求(1) 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,能從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度深刻理解.(2) 理解弦長(zhǎng)公式,并能熟練應(yīng)用.(3)熟練應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解答中點(diǎn)弦問(wèn)題和弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題.(4) 掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“存在性”問(wèn)題,采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”.（5）.掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.題型一 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題例1直線：y=kx+

26、1,拋物線C:，當(dāng)k為何值時(shí)與C有：（1）一個(gè)公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒(méi)有公共點(diǎn).點(diǎn)撥：由直線與拋物線C的方程聯(lián)立得方程組，通過(guò)方程的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與拋物線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：將和C的方程聯(lián)立，消去y得 當(dāng)k=0時(shí)，方程只有一個(gè)解.此時(shí). 直線與C只有一個(gè)公共點(diǎn)（），此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.當(dāng)k0時(shí)，方程是一個(gè)一元二次方程，=.（1） 當(dāng)時(shí)，即k1且k0時(shí)，與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相交;（2） 當(dāng)時(shí),即k=1時(shí)，與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相切；（3） 當(dāng)時(shí)，即k1時(shí)，與C沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與C相離.綜上所述，當(dāng)k=1或k=0時(shí)，直線與與C有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1

27、且k0時(shí)，直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，直線與C沒(méi)有公共點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)：（1）忽視對(duì)k的討論（）是本題容易出顯的解題錯(cuò)誤；（2）只有當(dāng)所得關(guān)于x的方程確實(shí)為一元二次方程時(shí)，才能用判別式判定解的個(gè)數(shù)，若所得關(guān)于x的方程的二次項(xiàng)系數(shù)帶有字母時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行討論.變式與引申1: 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率是( ) A (1,2 B C 2，+ D 題型二 直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題例2 直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為S. （1）求在，的條件下，面積S的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程.點(diǎn)撥:(1)聯(lián)立方程組解出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),

28、求出的面積,再利用均值不等式求解.(2)根據(jù)已知布列兩個(gè)方程組,求出k,b.解:（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值（2）：由 得， ， 設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又因?yàn)?，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗(yàn)，故直線的方程是或或，或易錯(cuò)點(diǎn)：（1）忘記均值不等式的應(yīng)用導(dǎo)致寸步難行.（2）忘記弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式導(dǎo)致出錯(cuò).變式與引申2：設(shè)橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若的斜率為求橢圓的方程.題型三 直線與圓錐曲線的中點(diǎn)弦的問(wèn)題例3 已知雙曲線的方程為(1)求以A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程； (2)以點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦是否存在？若存在，求出

29、弦所在直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)撥:（1）利用設(shè)而不求法和點(diǎn)差法構(gòu)建方程，結(jié)合直線的斜率公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率.也可設(shè)點(diǎn)斜式方程,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要驗(yàn)證直線與雙曲線是否有交點(diǎn).解法1:（1）設(shè)是弦的兩個(gè)端點(diǎn)，則有 兩式相減得 A（2，1）為弦的中點(diǎn)， ， 代入得 .故直線的方程為.（2）假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得 由得 =所求直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn). 以B(1,1)為中點(diǎn)的弦不存在.解法2 (1)設(shè)所求的直線方程為,易知斜率顯然存在.聯(lián)立方程組得整理得 設(shè)是弦的兩個(gè)端點(diǎn)，則 又是的中點(diǎn), ,解得.故直線的方

30、程為.(2) 假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得直線的方程為由得 =所求直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn). 以B(1,1)為中點(diǎn)的弦不存在.易錯(cuò)點(diǎn)：存在性問(wèn)題的結(jié)果通常是難以預(yù)料的，解答時(shí)先假設(shè)滿足條件的直線存在,然后依題意求得結(jié)果，但要注意這不是充要條件，因此最后要進(jìn)行檢驗(yàn),否則就會(huì)出錯(cuò).變式與引申3：已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F，直線與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ）A B C D 題型四：存在性的問(wèn)題.例4.若拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，求的取值范圍.點(diǎn)撥：設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)所在直線的方程，根據(jù)該直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用求解.同時(shí)要利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出所設(shè)變量與

31、的關(guān)系.解：設(shè)拋物線上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)為，B(），AB的方程可設(shè)為：.由 又， 則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為， 又由得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則有， 代入中得.易錯(cuò)點(diǎn):不曉得設(shè)對(duì)稱點(diǎn)所在直線的方程,導(dǎo)致解答本題寸步難行. 找不出所設(shè)變量與的關(guān)系也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的根源.變式與引申4: 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；(2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由. 本節(jié)主要考查:(1)知識(shí)點(diǎn)有直線與圓錐曲線相交,相切,相離三種位置關(guān)系, 弦長(zhǎng)公式,焦半徑公式,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,弦的中點(diǎn)軌

32、跡,中點(diǎn)弦的性質(zhì)等以及這些知識(shí)的綜合應(yīng)用.(2)以平面向量,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,應(yīng)用韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及點(diǎn)差法,相關(guān)點(diǎn)法,設(shè)而不求的整體思想等解析幾何的基本方法解決最值問(wèn)題,定值問(wèn)題,參數(shù)范圍問(wèn)題等相關(guān)的問(wèn)題.(3).數(shù)形結(jié)合思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及邏輯推理能力,運(yùn)算能力等基本的數(shù)學(xué)能力.點(diǎn)評(píng):(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重中之重,也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,同時(shí)也是高考的熱點(diǎn)之一,主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(如例題1),直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)(如例題2),及中點(diǎn)的軌跡方程(如例題3),以及探究是否存在性問(wèn)題(如例題4)等.(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

33、，從代數(shù)角度可轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程的實(shí)根個(gè)數(shù)來(lái)考慮；也可從幾何角度借助圖形的幾何性質(zhì)來(lái)研究，這種思維通常較簡(jiǎn)便.(3)求弦長(zhǎng)時(shí),若過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)可利用焦半徑公式(僅限于理科);若未過(guò)焦點(diǎn)可利用弦長(zhǎng)公式,并結(jié)合韋達(dá)定理求解. (4.)有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“對(duì)稱性”問(wèn)題,一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”，特別要重視直線與圓錐曲線的交點(diǎn)是否存在，即要驗(yàn)證判別式是否成立.(5)弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題.通常有兩種解題思路:利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；利用弦的端點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足圓錐曲線方程,然后把兩個(gè)等式對(duì)應(yīng)作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,最后求出軌跡.（6）若只有一個(gè)交點(diǎn)，并不能說(shuō)明直線與

34、圓錐曲線相切. 對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切.有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件.習(xí)題6-31. (2020山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.2.（2020遼寧理數(shù)20）（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o,. 則橢圓C的離心率 ， 如果|AB|=，橢圓C的方程 .3.（2020廣東卷理）已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且

35、記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值4. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是與，且橢圓上存在點(diǎn)，使. (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線與橢圓存在一個(gè)公共點(diǎn)，使得取得最小值，求此最小值及此時(shí)橢圓的方程；(3)在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為的直線，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，滿足，且使得過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的直線滿足？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.5. 如圖，已知拋物線和直線，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)為. (1)求點(diǎn)的軌

36、跡； (2)求的最小值.第四節(jié) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考中是選考內(nèi)容，與不等式選講二個(gè)選修模塊進(jìn)行二選一解答，知識(shí)相對(duì)比較獨(dú)立，與其他章節(jié)聯(lián)系不大，容易拿分.根據(jù)不同的幾何問(wèn)題可以建立不同的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系選取的恰當(dāng)與否關(guān)系著解決平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)和線的方程的難易以及它們位置關(guān)系的數(shù)據(jù)確立.有些問(wèn)題用極坐標(biāo)系解答比較簡(jiǎn)單，而有些問(wèn)題如果我們引入一個(gè)參數(shù)就可以使問(wèn)題容易入手解答，計(jì)算簡(jiǎn)便.高考出現(xiàn)的題目往往是求曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程間的相互轉(zhuǎn)化，并用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程研究有關(guān)的距離問(wèn)題，交點(diǎn)問(wèn)題和位置關(guān)系的判定.難度值控制在0.6左右.考試要求1

37、理解坐標(biāo)系的作用2能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化3了解參數(shù)方程4能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用題型一 參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化例1 (1)判斷點(diǎn)是否在曲線上(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_(kāi)(限定02)(3)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為_(kāi)(4)曲線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，t0)，它的普通方程是_點(diǎn)撥： 運(yùn)用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的方法解決有關(guān)極坐標(biāo)的問(wèn)題和參數(shù)方程與普通方程的互化解決參數(shù)問(wèn)題.解：(1)因?yàn)?，所以點(diǎn)是在曲線上(2)根據(jù)r 2x2y2

38、，得r 2，又點(diǎn)P在第四象限，所以，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(3)根據(jù)x cosq ，yr sinq ，得，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(4)由得，代入y1t2，得注意到，所以已知參數(shù)的普通方程為另一解法:方程可化為 消去t得 易錯(cuò)點(diǎn)： 由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)時(shí)要注意點(diǎn)位于哪一個(gè)象限才能確定的大小，如(2)，否則，極坐標(biāo)不唯一；參數(shù)的范圍與極角的范圍容易出錯(cuò). 變式與引申1： （2020年廣東省揭陽(yáng)市高考一模試題理科） 設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系的另一直線的方程為，若直線與間的距離為，則實(shí)數(shù)的值為 題型二 直線與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程例2 (1)圓r 2(cosq si

39、nq )的半徑為_(kāi)(2)直線與圓r 2sinq 交與A，B兩點(diǎn)，則|AB|_點(diǎn)撥： 只要知道一些直線與圓的極坐標(biāo)方程的知識(shí)如：過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為a 的直線：q a (r R)或?qū)懗蓂 a 及q a p過(guò)A(a，a)垂直于極軸的直線：r cosq acosa 以極點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓(a0)：r a若O(0，0)，A(2a，0)，以O(shè)A為直徑的圓：r 2acosq 若O(0，0)，A(2a，)，以O(shè)A為直徑的圓：r 2asinq 對(duì)于 (2)，可以利用結(jié)論，作出直線與圓，通過(guò)解三角形的方法求|AB，當(dāng)然也可以用極坐標(biāo)方程直接解r ，根據(jù)r 的幾何意義求AB解：(1)由r 2(cosq sinq

40、 )，得r 22r (cosq sinq )，所以，x2y22x2y，即(x1)2(y1)22，所以圓r 2(cosq sinq )的半徑為(2)將直線與圓r 2sinq 化為直角坐標(biāo)方程，得由得，即，由r 2sinq ，變形為r 22r sinq ，得x2y22y，即x2(y1)21，因?yàn)閳A的半徑為1，圓心到直線的距離為，所以另一解法 直線化為 由 得 或 A(0,0) B(,)=易錯(cuò)點(diǎn)：（2）中把直線中的角與圓中的角混淆.變式與引申2：.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線.題型三 直線與圓錐曲線的參數(shù)方程例3 過(guò)P

41、(5，3)，傾斜角為a ，且的直線交圓x2y225于P1、P2兩點(diǎn)(1)求|PP1|PP2的值；(2)求弦P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)點(diǎn)撥： 直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長(zhǎng)l|t1t2；定點(diǎn)M0是弦M1M2的中點(diǎn)t1t20；設(shè)弦M1M2的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，(由此可求得|M2M|及中點(diǎn)坐標(biāo))本題直接用直線的參數(shù)方程代入圓的方程中，然后用韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式解即可.解：(1)由已知得所以直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入圓的方程化簡(jiǎn)，得的兩個(gè)解t1、t2就是P1、P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由參數(shù)的幾何意義及韋達(dá)定理知PP1|PP

42、2|t1|t2|9(2)設(shè)M(x，y)為P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)?shù)方程，ODCBAxy得所以易錯(cuò)點(diǎn)：(1) 參數(shù)角的范圍容易搞錯(cuò);(2) 不容易想到用參數(shù)求中點(diǎn)坐標(biāo).變式與引申3：（2020年全國(guó)新理）已知直線C1（t為參數(shù)），圓C2（為參數(shù)），（1）當(dāng)=時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.題型四 極坐標(biāo)在圓錐曲線中的應(yīng)用例4 拋物線y2=4p(x+p)(p0)中過(guò)原點(diǎn)且互相垂直的二直線分別交拋物線于A、B和C、D，試求|AB|+|CD|的最小值.點(diǎn)撥：如果設(shè)AB所在直線方程y

43、=kx,則CD方程y=-x，代入拋物線方程，可求出弦|AB|、|CD|的最小值.這樣的解法運(yùn)算量較大.但如果注意到原點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，那么用圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程求解十分快捷.解 拋物線的焦點(diǎn)即為O(0,0)，設(shè)其極坐標(biāo)方程為=，又設(shè)各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A（1，）、B（2，+）、C（3，+）、D（4，+）， 則|AB|+|CD|=1+2+3+4= + + += + = ， 故當(dāng)= 時(shí)，|AB|+|CD|有取小值勤16p.另一解法 也可以設(shè)直線AB的斜率為k,分別求出、，再求出|AB|、|CD|關(guān)于k的函數(shù),再求出函數(shù)的最大值.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)弄錯(cuò)；（2）想不到用極坐標(biāo)解題.

44、變式與引申4：過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條弦AB和CD.(1)求證為定值; (2)求|AB|+|CD|的最小值.本專題涉及極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識(shí)，參數(shù)方程的概念以及直線、圓、橢圓的參數(shù)方程這部分內(nèi)容既是解析幾何的延續(xù)，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)本節(jié)主要考查: (1).本節(jié)中的重要內(nèi)容是極坐標(biāo)和參數(shù)方程, 特別是直線、圓、橢圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程是考查的重點(diǎn).(2) 參數(shù)方程是以參變量為中介來(lái)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)方程. 是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式樣; 對(duì)于某些曲線用參數(shù)方程比用普通方程表示更方便、更直觀，是研究曲線的有力工具.(3) 解決極坐標(biāo)或參數(shù)方程的問(wèn)題.主要方法是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程或

45、普方程.點(diǎn)評(píng)（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的條件是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，仍軸與x軸正半軸重合，長(zhǎng)度單位一致. 在求得極坐標(biāo)方程要注意極角的取值范圍.(2) 對(duì)于三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用, 要弄清對(duì)不同的圓錐曲線的定點(diǎn)與定直線的位置,以及p,pe,e的幾何意義. 運(yùn)用三種圓錐曲線的統(tǒng)一要的極坐標(biāo)方程解題時(shí),要注意雙曲線的極坐標(biāo)方程中存在著0的情況.(3) 求圓錐曲線的軌跡方程,同直角坐標(biāo)系一樣,求曲線的極坐標(biāo)方程也有直接法、代入法、參數(shù)法等.(4) 在參數(shù)方程與直角坐標(biāo)互化過(guò)程中要注意互化的前后曲線的范圍不發(fā)生變化,解題時(shí)參數(shù)有多種選法,適當(dāng)選擇參數(shù)有利于解題.(5) 應(yīng)用參數(shù)方程解題可運(yùn)

46、用代入法、代數(shù)變換法、三用消去法消參等，但要注意方程之間的等價(jià)性，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程其結(jié)果要化成普通方程.習(xí)題 6-41. (1) 極坐標(biāo)方程表示的曲線為 （ ）A一條射線和一個(gè)圓 B兩條直線C一條直線和一個(gè)圓 D一個(gè)圓(2)（2020年福建理）設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ）A、1B、2 C、3D、42.(1) 直線為參數(shù)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi).(2)（2020年天津理）已知圓C的圓心是直線與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為 3.從極點(diǎn)引一條直線和圓相交于一點(diǎn)，點(diǎn)分線段成比，求點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程，并指出它表示什

47、么曲線.4已知點(diǎn)M(2，1)和雙曲線，求以M為中點(diǎn)的雙曲線右支的弦AB所在直線的方程5（2020年遼寧理）已知P為半圓C：（為參數(shù)，）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧的長(zhǎng)度均為（I）以O(shè)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；（II）求直線AM的參數(shù)方程.第五節(jié) 解析幾何的綜合應(yīng)用高考試題中，解析幾何試題的分值一般占20左右，選擇、填空、解答三種題型均有選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的運(yùn)用；解答題多以壓軸題的形式出現(xiàn). 難度值跨度比較大，在0.30.8之間.以圓錐曲線為載體的解答題的題

48、型設(shè)計(jì)主要有三類：（1）圓錐曲線的有關(guān)元素計(jì)算、關(guān)系證明或范圍的確定；（2）涉及與圓錐曲線平移與對(duì)稱變換、最值或位置關(guān)系的問(wèn)題；（3）求平面曲線（整體或部分）的方程或軌跡考試要求 （1）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；了解運(yùn)用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法（2）了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（3）掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，會(huì)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（4）了解極坐標(biāo)系，了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法；了解

49、簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程會(huì)進(jìn)行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化題型一：圓錐曲線的定義及應(yīng)用M例1如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）點(diǎn)撥：利用雙曲線的定義及直角三角形面積的兩種表示形式，建立方程組再求解.解 連AF1，則AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長(zhǎng)為2c.令由雙曲線的定義及直角三角形性質(zhì)知：.e1，取.選D.本題若先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程也可求出.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要，否則解題思路受阻.（2）由直角三角形面積的兩種表示形式得出關(guān)系

50、式是值得注意的問(wèn)題.變式與引申1 雙曲線=1(b)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_.（2）給定A（-2，2），已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則點(diǎn)坐標(biāo)是_.題型二：圓錐曲線方程的應(yīng)用例2設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍yBB點(diǎn)撥：求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式ox解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為由拋物線的定

51、義可知：所以，所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：兩式相減得：又由于，代入上式得：又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，所以，由點(diǎn)在線段BB上（B、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，也即：所以，本題還可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系先求出K的取值范圍，再求的取值范圍易錯(cuò)點(diǎn)：（1）求出拋物線頂點(diǎn)的軌跡方程而忽視限制條件是易錯(cuò)點(diǎn)之一（2）涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法變式與引申2：已知=(x,0)，=(1，y) (1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(

52、km0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍.題型三：圓錐曲線中的最值問(wèn)題例3如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程和AMN的最大面積 點(diǎn)撥：設(shè)出的方程y=x+m,與拋物線組成聯(lián)立方程組，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式求出面積.再利用均值不等式.解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m

53、4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的距離為d= =2(5+m),從而 ,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào) 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 本題還可以用消去x得關(guān)于的一元二次方程求解，用求導(dǎo)的方法求面積的最大值.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）設(shè)出l的方程為y=x+m時(shí)，忽視參數(shù)的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn)之一.（2）在應(yīng)用均值不等式時(shí)，忽視均值不等式的條件“一正、二定、三相等”的相等條件是易錯(cuò)點(diǎn)之二.變式與引申3：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P()()為軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直

54、線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)SAOB=，試問(wèn)：為何值時(shí)，t取得最小值，并求出最小值.題型四：圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(新替換題)例4 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸上,直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),且. 求拋物線的方程； 在軸上是否存在一點(diǎn),使為正三角形？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：第問(wèn)依據(jù),運(yùn)用弦長(zhǎng)公式得到含參數(shù)的關(guān)系式,進(jìn)而求拋物線的方程；第問(wèn)從假設(shè)點(diǎn)在軸上出發(fā),利用正三角形性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo),再進(jìn)行判斷. 解：設(shè)所求拋物線的方程為,由,消去,得.設(shè),則,.,即,整理得,解得或(舍去).故所求拋物線的方程為. 設(shè)的中點(diǎn)為,由知,故.假設(shè)在軸上存在一點(diǎn),使為正三角形,

55、則,即,解得.,.又,矛盾,故在軸上不存在點(diǎn),使為正三角形.易錯(cuò)點(diǎn)：第問(wèn)求出值后,不舍去；第問(wèn)中求出點(diǎn)坐標(biāo)后,便得出在軸上存在點(diǎn)滿足題設(shè).變式與引申4：（05遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本節(jié)主要考查：（1）考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等知識(shí)及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn).

56、高（2）直線與二次曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的綜合問(wèn)題:常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問(wèn)題視角新穎，常見(jiàn)的性質(zhì)、基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)等被附以新的背景，以考查學(xué)生的應(yīng)變能力和解決問(wèn)題的靈活程度.（3）在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注意對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，注重試題的層次性，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，合理調(diào)控綜合程度.（4）對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、多變量的范圍問(wèn)題、位置問(wèn)題及最值問(wèn)題也是本節(jié)的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢(shì).（5）圓錐曲線是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理

57、運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問(wèn)題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問(wèn)題常用定義法和待定系數(shù)法.點(diǎn)評(píng)：（1）在解答有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，首先要考慮圓錐曲線焦點(diǎn)的位置，對(duì)于拋物線還應(yīng)同時(shí)注意開(kāi)口方向，這是減少或避免錯(cuò)誤的一個(gè)關(guān)鍵，同時(shí)勿忘用定義解題.（2）在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進(jìn)行判.但對(duì)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，不能使用判別式，為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.并通過(guò)圖形求解.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.（3）求圓錐曲線方程通常