《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講函數(shù)(理科)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講函數(shù)(理科)（32頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來，如有侵權(quán)請(qǐng)告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負(fù)責(zé)傳遞知識(shí)。第一節(jié) 初等函數(shù) 函數(shù)是高中知識(shí)的主干知識(shí)，是高中知識(shí)的一條主線，它涉及了函數(shù)的概念和性質(zhì)，基本初等函數(shù)，數(shù)列，不等式，方程，導(dǎo)數(shù)，解析幾何和立體幾何等，是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和必考點(diǎn).初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過運(yùn)算或復(fù)合組成的）是基礎(chǔ). 一般地, 在高考試題中，考察函數(shù)知識(shí)都是以初等函數(shù)為載體.單獨(dú)以定義域、值域、奇偶性等命題大多是選擇題或填空題，綜合題中涉及函數(shù)性質(zhì)的往往只是試題的一部分. 難度值一般控制在0.50.8之間.考試要求： 了解映射概念,理解函數(shù)的概念,會(huì)選擇適當(dāng)方法表示函數(shù);會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的
2、定義域和值域；了解函數(shù)的奇偶性,能判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；了解反函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；理解有理指數(shù)冪的含義,掌握冪的運(yùn)算(性質(zhì)),掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).題型一 判定初等函數(shù)的性質(zhì)例1 求函數(shù)的值域.點(diǎn)拔 函數(shù)是三次函數(shù)與三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)而成的，令得，本題就轉(zhuǎn)化為求，的值域. 三次函數(shù)求值域常用導(dǎo)數(shù)的方法.解,則,由,得或；由,，得，列表：t100減函數(shù)有極小值增函數(shù)函數(shù)有極小值又,.易錯(cuò)點(diǎn) 令，忽略了；錯(cuò)誤地認(rèn)為最值一定在端點(diǎn)處取得.變式與引申1： （2020江西文第6題） 函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.題型二 抽象函數(shù)的性質(zhì)例2 已知函數(shù)對(duì)任
3、意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，求在上的值域.點(diǎn)拔 此題是抽象函數(shù)，但是初等函數(shù)中，可以找到一個(gè)具體函數(shù)滿足條件，如，由此猜想抽象函數(shù)在是遞增函數(shù)，再用定義證明遞增.：設(shè)，且，則，再利用判斷與的大小關(guān)系.下面只要求出的值就行.解 設(shè)，且，則，由條件當(dāng)時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令得，再令用得出,令 得 上的值域?yàn)橐族e(cuò)點(diǎn) 利用性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”證明單調(diào)性，易出錯(cuò).變式與引申2： 設(shè)函數(shù)y=是定義在R上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件： 對(duì)任意正數(shù)有；當(dāng)時(shí)，； .(1)求的值; （2）證明上是減函數(shù).題型三 函數(shù)奇偶性的判斷例3 判斷函數(shù)的奇偶性.點(diǎn)拔 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性：第一步：看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:若定義域不
4、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為非奇偶非函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行第二步：驗(yàn)證與的關(guān)系，若（或）則為偶函數(shù)；若（或）則為奇函數(shù).當(dāng)難于得出和的時(shí)候，可以考慮驗(yàn)證特殊值.解 當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，,；,，,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).易錯(cuò)點(diǎn) 用定義判斷奇偶性時(shí)，容易漏掉的情況.的情況難于得出與的關(guān)系，易出錯(cuò).變式與引申3： 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)討論的奇偶性.題型四 函數(shù)思想的應(yīng)用例4 關(guān)于 x的方程有四個(gè)不同的解，求的取值范圍.點(diǎn)拔 此題有多種思考方法：法1： 原方程看作含絕對(duì)值的方程，則采用去絕對(duì)值的方法，分段討論解一元二次方程：和.原方程有四個(gè)不同的解，等價(jià)于有2個(gè)不等的正解，且有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解.問題
5、就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元二次方程根的分布問題.法2：把原方程看作是關(guān)于的一元二次方程，則令，則原問題等價(jià)于有2個(gè)不等的正數(shù)解.法3：采用函數(shù)思想來觀察方程，則可以把原方程變?yōu)椋?，問題等價(jià)于函數(shù)和的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn).事實(shí)上，我們還有下面各種變形：解 法1 有四個(gè)不同的解等價(jià)于有2個(gè)不等的正解，且有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解.有2個(gè)不等的正解有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解綜上所述：.法2 令則原問題等價(jià)于有2個(gè)不等的正數(shù)解.法3 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線與曲線的圖像，如圖觀圖可知，圖的取值必須滿足,解得.易錯(cuò)點(diǎn) 作為二次方程分類，運(yùn)算量大，易出錯(cuò);易忽略;同學(xué)們很難將四個(gè)不同解等價(jià)轉(zhuǎn)化其它問題.變式與引申4： (2020
6、山東理)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.本節(jié)主要考查 初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域，值域，奇偶性等）,理解函數(shù)的基本問題是初等函數(shù)問題；通過變量代換將一般函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)問題解題；熟練作出初等函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想.點(diǎn)評(píng) （1）基本方法：熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像；初等函數(shù)利用變量代換轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)； 求出中間變量的范圍.（2）求定義域的常用方法:根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)式有意義，列出不等式組，再解出.函數(shù)式有意義的依據(jù)是：分式分母不為；偶次方根的被開放數(shù)不能小于；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于,底數(shù)大于且不等于1；終邊在軸上的角的正切沒有意義；沒有意義；復(fù)合
7、函數(shù)的定義域，要保證內(nèi)函數(shù)的值域是外函數(shù)的定義域.（3）求值域的常用方法:觀察法；配方法；導(dǎo)數(shù)法；不等式法；單調(diào)性法；數(shù)形結(jié)合法；求定義域開始關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是否輸出“為非奇非偶函數(shù)”否輸出“為非奇非偶函數(shù)”輸出“為奇或偶函數(shù)”是結(jié)束判別式法；有界性法；換元法.（4）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：習(xí)題111. 函數(shù)的圖象( ).A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B關(guān)于直線yx對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱 D關(guān)于y軸對(duì)稱2. 已知函數(shù)的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，求的值.4. 定義在上的函數(shù),當(dāng)時(shí),且對(duì)任意的、,有.（1）求證：f(0)=1；（2）求證：對(duì)任意的,恒有；5. 設(shè)函數(shù).試討論關(guān)于的方程:
8、在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù).第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)與積分 導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).縱觀近幾年的各省高考試題,導(dǎo)數(shù)的考題分兩個(gè)層次. （1）知識(shí)性試題 以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)用為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)較多）. （2）綜合性試題導(dǎo)數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列常是高考?jí)狠S題，同時(shí)考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，尤其是分類討論思想，是近三年來高考命題的熱點(diǎn).難度值一般控制在之間. 考試要求 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)
9、的導(dǎo)數(shù)；能用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充分條件和必要條件,會(huì)求極大值、極小值及閉區(qū)間上的最值；會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題；（7）了解定積分的實(shí)際思想、基本思想及概念，了解微積分基本定理.題型一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值理論及單調(diào)性質(zhì)等例題1 給定兩個(gè)函數(shù)解決下列問題：（I）若在處取得極大值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若在區(qū)間為增函數(shù)，求的取值范圍；（）在（）的條件下，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，求的取值范圍.點(diǎn)拔:第（I）小題在處取得極大值，即知，能解決函數(shù)所含參數(shù)，進(jìn)而求單調(diào)區(qū)間.第（）小題是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的逆向問題,即求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間上恒大于,
10、進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立求函數(shù)最值.第（）小題可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用數(shù)形結(jié)合求解.解:（I）因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以.故.所以.易知函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是.（）由題意可知,因?yàn)樵趨^(qū)間（2，+）為增函數(shù),所以在區(qū)間上恒成立,即恒成立.由于,所以,故.（）設(shè)故.令，得，由（）知.當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增，顯然不合題意.當(dāng)時(shí),隨的變化情況如下表：1+00+極大值極小值欲使方程有三個(gè)不同的根，即函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則有，解得.綜上，的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn):本題中在不同區(qū)間單調(diào)時(shí)用“和”,而不能用“”連接.恒成立問題分離變量易錯(cuò)求是.通
11、過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,并利用數(shù)形結(jié)合求解,學(xué)生難以掌握.圖1-2-1變式與延申1： (2020江西考試大綱調(diào)研卷七第21題)函數(shù)的圖象如圖所示.若函數(shù)在處的切線方程為求函數(shù)的解析式；在（1）條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有在三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型二 導(dǎo)數(shù)與不等式例題2 （2020新課標(biāo)全國卷第21題）設(shè)函數(shù).(1)若求的單調(diào)區(qū)間;(2)若時(shí),求的取值范圍.點(diǎn)拔:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式的相關(guān)知識(shí),主要涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由(1)可得出的不等式(此不等式較隱蔽,有時(shí)甚至需要構(gòu)造函數(shù)以便產(chǎn)生這樣的不等式),是本小題的突破
12、口,然后討論參數(shù)的取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)的影響.分類討論思想在此應(yīng)用甚為關(guān)鍵.解:(1) 時(shí), 當(dāng)當(dāng)故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加.(2) .由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故,從而當(dāng)即時(shí), ,而,于是當(dāng)時(shí), .又由可得,從而當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí), ,而,于是當(dāng),綜合得的取值范圍為易錯(cuò)點(diǎn): 第(2)小題利用導(dǎo)數(shù)求的最小值,但方程難以求解;對(duì)(1)式提供的不等式使用意識(shí)較低;需強(qiáng)化分類討論思想方法在解決含參不等式中的應(yīng)用.變式與延申2： （2020湖北卷第21題）已知函數(shù)級(jí)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)用表示出;(2)若在上恒成立,求的取值范圍;(3)題型三 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列例題3 （2020湖南卷第21題）數(shù)列中，是
13、函數(shù)的極值點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)；（2）是否存在，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由. 點(diǎn)拔:本題導(dǎo)數(shù)的使用有如用藥的“藥引”，由極值的討論喚出了的數(shù)列系列問題.由題明確求數(shù)列通項(xiàng)的本質(zhì)是找遞推式,而題中的遞推式變化較大，應(yīng)細(xì)致討論.第(2)問中構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 解:易知,令 故在.(1)當(dāng)時(shí),則.由知, .因,則由知,.因?yàn)閯t由知, ,又因?yàn)閯t由知, .由此猜想:當(dāng)時(shí),.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),事實(shí)上,當(dāng)時(shí),由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí), 成立,則由知,從而,所以.所以當(dāng)時(shí),成立.于是由知,當(dāng),而因此 (2)存在，使數(shù)列是等比
14、數(shù)列.事實(shí)上,由知,若對(duì)任意的,都有,則,即數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,且.而要使,即對(duì)一切都成立,只需對(duì)一切都成立.記，則.令,因此,當(dāng)時(shí),從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故當(dāng),數(shù)列單調(diào)遞減,即數(shù)列中最大項(xiàng)為,于是當(dāng)時(shí),必有,這說明,當(dāng)時(shí), 數(shù)列是等比數(shù)列.當(dāng)時(shí),可得,由知,無極值,不合題意.當(dāng),可得數(shù)列不是等比數(shù)列.當(dāng)時(shí), 由知,無極值,不合題意.當(dāng)可得數(shù)列不是等比數(shù)列.綜上,存在，使數(shù)列是等比數(shù)列,且易錯(cuò)點(diǎn):多情況的分類討論;知識(shí)和方法較為綜合.變式與延申3： 當(dāng)正整數(shù)時(shí),比較與的大小.（本題可將去掉,供思考）題型四 導(dǎo)數(shù)與積分例題4 （2020福建卷第20題）（）已知函數(shù)，其圖象記為曲線C.
15、（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值；（）對(duì)于一般的三次函數(shù)請(qǐng)給出類似于（）（ii）的正確命題，并予以證明.點(diǎn)拔:需把握好兩點(diǎn)：一是定積分上下限的確定；二是降維思想的應(yīng)用，尋求上下限變量之間的關(guān)系，其他變量全用變量表示.另外本題對(duì)運(yùn)算能力要求，計(jì)算時(shí)需謹(jǐn)慎，力求每步精確.解法一（）（i）由得=，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（ii）曲線C與其在點(diǎn)處的切線方程為，即，由，得即，解得或，故，進(jìn)而有，用替代，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得和，
16、又，所以，因此.（II）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值；證明：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)，類似（）（ii）計(jì)算可得，因此解法二()同解法一（II）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值；證明：由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程方程為，由，得，化簡(jiǎn)：
17、得到，即，故=，用代替，重復(fù)上述過程，可得和所以易錯(cuò)點(diǎn):本題思維量較小，但由積分公式計(jì)算面積，字母計(jì)算的整體代換等運(yùn)算求解能力要求較高，不容易正確；對(duì)曲線的對(duì)稱中心會(huì)有理解障礙，影響化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用. 變式與延申4： 已知通過點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，且,.（1）求與所圍的面積S.（2）,為何值時(shí)，S取得最小值.本節(jié)主要考查：（1）求切線方程，討論單調(diào)性，求極值和最值，導(dǎo)數(shù)與不等式問題，利用積分計(jì)算圖形面積.（2）構(gòu)造函數(shù)，證明不等式. 函數(shù)含參時(shí)，不等式有解或恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或?qū)?shù)進(jìn)行分類討論. 討論極值點(diǎn)位置時(shí)用到根的分布知識(shí).（3）考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思
18、想，尤其是分類討論思想，是近年來高考命題的熱點(diǎn).點(diǎn)評(píng): 導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論能在的許多問題上起到居高臨下和化繁為簡(jiǎn)的作用.備考應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:(1)導(dǎo)數(shù)的意義:變化率和切線的斜率,能夠設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)求切線方程.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)的區(qū)別；(2)導(dǎo)數(shù)作為工具使用:如利用單調(diào)性求最值、證明不等式、解決數(shù)列、解決不等式恒立或方程解等問題；(3)注意各小題之間的承接與提示作用，以及以為底的指對(duì)數(shù)與一次多項(xiàng)式之間的不等關(guān)系(如例2中)；(4) 積分是大學(xué)內(nèi)容的下放,要求能對(duì)公式進(jìn)行應(yīng)用,求面積方面問題較多. (5) 注重導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯,重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)抓,使常見數(shù)學(xué)思想方法融會(huì)貫通.習(xí)
19、題1-21已知= .2(2020北京卷第18題)已知函數(shù)()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間.3.（2020江蘇卷第14題）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的值.4設(shè).（I）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（）求證：，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 圖1-2-35已知二次函數(shù)，直線，直線（其中，為常數(shù)）；.若直線1、2與函數(shù)的圖象以及、軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示.（）求、的值；（）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；（）若問是否存在實(shí)數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有兩個(gè)不同的
20、交點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值是高考的熱點(diǎn)，新課程中函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值的要求提高了，可能更會(huì)成為高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn). 在高考試題中，函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值往往是以某個(gè)初等函數(shù)為載體出現(xiàn)，綜合題往往與不等式、數(shù)列等聯(lián)系起來，處理方法除了定義法之外，一般采用導(dǎo)數(shù)法.難度值控制在0.30.6之間. 考試要求：理解函數(shù)單調(diào)性的概念；能判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；能求函數(shù)的最大（?。┲担徽莆栈境醯群瘮?shù)的單調(diào)性和最值；數(shù)形結(jié)合思想；函數(shù)思想.題型一：已知函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，求參變量的值.例1 （2020年江西文科卷第17題） 設(shè)
21、函數(shù).（1）若的兩個(gè)極值點(diǎn)為且，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.點(diǎn)拔：因?yàn)槭侨魏瘮?shù)，所以只要利用“極值點(diǎn)的根”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題；利用在上單調(diào)0（0），轉(zhuǎn)化為判斷一元二次函數(shù)圖像能否在軸上方的問題.解：（1）由已知有，從而,所以；（2）由，得總有兩個(gè)不等的實(shí)根，不恒大于零，所以不存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)：三次函數(shù)的極值點(diǎn)與原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系不清；含參變量的問題是逆向思維，學(xué)生易出現(xiàn)錯(cuò)誤；學(xué)生不會(huì)將在上是單調(diào)函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題.變式與引申1：已知函數(shù)（1）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）求在區(qū)間上的最
22、大值.題型二：已知最（極）值或其所在區(qū)域，通過單調(diào)性分析參變量的范圍.例2 （2020年全國文科卷第21題） 已知函數(shù)（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)在區(qū)間(2,3)上有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.點(diǎn)拔：第（1）問中，即為一個(gè)三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問題：先求導(dǎo)，再解不等式，最后得出結(jié)論.第（2）問利用“極值點(diǎn)”的根轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題.解：（1）當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.綜上，的單調(diào)增區(qū)間是和,的單調(diào)減區(qū)間是.（2）解法一：，.當(dāng)，即時(shí)，,為增函數(shù),故無極值點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)根，.由題意知 或 式無解,式的解為. 因此的取值范圍. 解法二：,由題意
23、的必有一根在(2,3)上,故,即,解得.因此的取值范圍. 易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間易誤寫成；解不等式出錯(cuò)；第（2）問的解法一，不易分析.變式與引申2：將（2）中改為“在區(qū)間(2,3)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”，或改為“存在極值點(diǎn)，但在區(qū)間(2,3)上沒有極值點(diǎn)”，如何求的取值范圍？題型三：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值與不等式結(jié)合的問題例3 設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）設(shè)，試比較與的大小點(diǎn)拔：此題是由指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)等組合的超越函數(shù)，分析第（1）問先由極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再用待定系數(shù)法；第（3）問中比較兩個(gè)函數(shù)與的大小，可構(gòu)造新函數(shù)，再通過分析函數(shù)的單調(diào)性來討論與0的大小
24、關(guān)系.解：（1）因?yàn)椋趾蜑榈臉O值點(diǎn)，所以，因此解方程組得，（2）因?yàn)?，所以，令，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的（3）由（1）可知，故，令，則令，得，因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞減故時(shí)，；因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增故時(shí)，所以對(duì)任意，恒有，又，因此，故對(duì)任意，恒有易錯(cuò)點(diǎn)：求導(dǎo)數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)；比較兩個(gè)函數(shù)的大小屬于不等式問題，學(xué)生容易只從不等式的簡(jiǎn)單知識(shí)出發(fā)，而無法從構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來分析.變式與引申3：將第（3）問改為：設(shè)，試證恒成立題型四：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值問題的綜合應(yīng)用例4 （2020年浙江文科卷第21題） 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線
25、方程；（2）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，求證：存在實(shí)數(shù)，使得按某種順序排列后成等差數(shù)列，并求.點(diǎn)拔：本題為函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用；分析第（2）時(shí)應(yīng)從先，來確定，再用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出確定，同時(shí)確定的順序.解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?（x1）（3x5），故，所以在點(diǎn)（2,0）處的切線方程為.（2）證明：因?yàn)?（xa）（x），由于，故.所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為xa，x.不妨設(shè)x1a，x2，因?yàn)?，且x3是f（x）的零點(diǎn)，故x3b.又因?yàn)閍2（b），x4（a），所以a，b依次成等差數(shù)列.所以存在實(shí)數(shù)x4滿足題意，且x4.易錯(cuò)點(diǎn)：學(xué)生遇到綜合類
26、問題容易出現(xiàn)知識(shí)上的漏洞.變式與引申4：（2020年浙江理科卷第22題）已知是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)，是的一個(gè)極大值點(diǎn)()求的取值范圍；()設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由本節(jié)主要考查：（1）函數(shù)單調(diào)性；（2）單調(diào)性、極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（3）函數(shù)思想；（4）數(shù)形結(jié)合思想.點(diǎn)評(píng)：（1）討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集； （2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等；（3）利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最（
27、極）值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)問題，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，再而研究函數(shù)的最（極）值.需靈活應(yīng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類討論思想等.習(xí)題131.（2020年全國文科卷I第7題）已知函數(shù).若且，則的取值范圍是 ( )A. B. C. D.2.已知函數(shù)的定義域均為非負(fù)實(shí)數(shù)集，對(duì)任意的，規(guī)定 .3.（2020年浙江文科卷第21題）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍4.（2020年陜西文科卷第21題）已知函數(shù)，.（I）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a
28、的值及該切線的方程；（II）設(shè)函數(shù)，當(dāng))存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；（III）對(duì)（2）中的，證明：當(dāng)時(shí)，1.5.（2020屆惠州市高三文科第一次調(diào)研）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）時(shí)，求的極值點(diǎn)；（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立第四節(jié) 函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)函數(shù)內(nèi)容是每年高考都要考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且?？汲Ｐ潞瘮?shù)和其它內(nèi)容如導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等內(nèi)容的結(jié)合是近幾年的考查熱點(diǎn)，題目由易到難幾乎都有，與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合更是經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn).考試要求 （
29、1）了解映射概念，理解函數(shù)的概念；（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法；（3）掌握指、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).（4）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法.題型一 函數(shù)解析式問題例 （2020陜西文數(shù)）某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx（x表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為 A y B y C y D y設(shè)函數(shù)若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 若方程g(x)=a
30、有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.點(diǎn)撥：用具體數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)，確定哪個(gè)函數(shù)比較符合；（2）在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，再根據(jù)題意畫出，根據(jù)圖象得出a的取值范圍.解：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以選B法二：設(shè)，所以選B在坐標(biāo)系中作出和的圖象，可知圖象如圖所示，故a的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)抽象函數(shù)理解不強(qiáng)，缺少處理方法容易造成錯(cuò)誤；正確理解解析式所表示的意義是解題的關(guān)鍵，如果討論和的大小再得出的解析式，然后畫圖，一是計(jì)算量比較多，再是容易出錯(cuò).變式與引申1： （）設(shè)函數(shù)若,則關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4（
31、） 設(shè)函數(shù)由方程確定，下列結(jié)論正確的是.（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）（）是上的單調(diào)遞減函數(shù)；（）對(duì)于任意，恒成立；（）對(duì)于任意，關(guān)于的方程都有解；題型二 函數(shù)的性質(zhì)與圖象例 已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則點(diǎn)撥：由求出的周期，又根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，得出在一個(gè)周期-2,2中的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)稱性求值.解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)=m(m
32、0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè),由對(duì)稱性知,.所以.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性等其中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握不好，都容易出錯(cuò)；不能得出是周期函數(shù)，或不能得出對(duì)稱軸及單調(diào)區(qū)間等.變式與引申2： （）函數(shù)的圖象的大致形狀是 ( )（2）設(shè)函數(shù)的集合，平面上點(diǎn)的集合，則在同一直角坐標(biāo)系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過中兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )A 4 B 6 C 8 D 10題型三 函數(shù)零點(diǎn)與二分法思想 例 設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍.點(diǎn)撥：（1）這是一道含絕對(duì)值的函數(shù)題，對(duì)與1的大小進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值后求值；（2）函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方
33、程有解，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的值域得出的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增 由得又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. （2）函數(shù)有零點(diǎn)即方程有解，得.令，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，.所以方程有解時(shí)，即函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）去絕對(duì)值和對(duì)求值大小進(jìn)行討論時(shí)考慮不周造成的錯(cuò)誤；（2）零點(diǎn)問題不能轉(zhuǎn)化成方程有解問題，從而不能使問題得到有效的解決.變式與引申3： 函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間( ) A. B. C. D. 已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系是( )A B C D題型四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題例 已知函數(shù) (1) 若直線x+y+m=0對(duì)任意的mR都
34、不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍； (2)設(shè)g(x)=|f(x)|，xl，1，求g(x)的最大值F(a)的解析式點(diǎn)撥：(1) 求曲線y=f(x)的切線的斜率就是對(duì)的求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值不能取到已知直線的斜率-1；(2) g(x)是偶函數(shù)，只須求g(x)在0,1上最大值.解：（1） 要使直線=0對(duì)任意的總不是曲線的切線，當(dāng)且僅當(dāng)-1f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A （-1，0）（0，1） B （-，-1）（1,+） C （-1，0）（1,+） D （-，-1）（0,1）（2）（2020全國卷1理數(shù)）已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若0a0對(duì)一切a 0，恒成立. 由 令在（0，4）內(nèi)是增函數(shù)；
35、 h (a)在（4，6）內(nèi)是減函數(shù).a = 4時(shí)，h(a)有極大值為96，上的最大值是96， b的最大值是 （3）證法一：x1、x2是方程的兩根， ， 證法二：x1、x2是方程的兩根，.x1 x 0,是大于或等于m的最小整數(shù)，（如,），則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的電話費(fèi)為 . .已知函數(shù)(1) 求證: 函數(shù)是偶函數(shù);(2) 判斷函數(shù)分別在區(qū)間、上的單調(diào)性, 并加以證明;(3) 若, 求證: .有一種密英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的a,b,c,z的26個(gè)字母(不分大小寫),依次對(duì)應(yīng)1,2,3,26這26個(gè)自然數(shù),見如下表格:abcdefghijklm1234567891011
36、1213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出如下一個(gè)的變換公式:X= (xN,1x26,x不能被2整除) +13(xN,1x26,x能被2整除) 將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8+13=17,即h變成q；5=3，即e變成c.按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？ .已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍第一講 測(cè)試卷一選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)則(
37、 ) A. B. C. D. 2 如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 例如，. 那么“”是“”的 ( )A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3. 設(shè)函數(shù) 若是奇函數(shù)，則的值是 （ ）A. B. C. D. 44已知，則下列不等式成立的是（ ）ABCD5在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A3B2 C1D06若函數(shù)的定義域R分成了四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)滿足 ( ) A. B. C. D.7設(shè)函數(shù)，集合，判斷在上的奇偶性為（ ）A. 偶函數(shù) B .奇函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)8. 定義在
38、R上的函數(shù)滿足，當(dāng)x3，5時(shí),=2|x4|，則（ ）A. B. C. D. 9. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C. D. 10. 設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”已知若當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，則的最大值為（ ）A.1 B.2 C.3 D. 7二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分把答案填在題中橫線上11若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 12定義在R上的函數(shù)，則 13. 已知f(x+)=4x4x+3(xR)，那么函數(shù)f(x)的最小值為_ 14已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，是以為周期的偶函數(shù)，
39、當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 15已知函數(shù)，則下列說法在上是減函數(shù)；的最大值是2；方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；在R上恒成立.正確的命題是 （寫出所有正確命題的序號(hào)）三解答題 本大題共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)一切均有，且當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，的解析式17. （本小題滿分12分）某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/輛，年銷售量為、5000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x（0x1，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相
40、應(yīng)增加.已知年利潤(rùn)=（每輛車的出廠價(jià)每輛車的投入成本）年銷售量. （）若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ （）年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？18（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).（1）求的值；（2）若在恒成立，求的取值范圍；（3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).19. （本題滿分12分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）20. （本題滿分13分）設(shè)函數(shù)21對(duì)于定義在D上的函數(shù)，若存在，對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上有下界，把稱為函數(shù)在上的“下界”.（1）分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”？如果有，寫出“下界”否則請(qǐng)說明理由；， （2）請(qǐng)你類比函數(shù)有“下界”的定義，寫出函數(shù)在區(qū)間上有“上界”的定義；并判斷函數(shù)（）是否有“上界”？說明理由；（3）若函數(shù)在區(qū)間上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去 “下界”的差稱為函數(shù)在上的“幅度”.對(duì)于實(shí)數(shù)，試探究函數(shù)是否是上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度”的值.
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