2021高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 推理與證明教案 蘇教版

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1、用心愛心專心- 1 -推理與證明推理與證明（一）（一）合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理。3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。（二）（二）直接證明與間接證明1了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。（三）（三）數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.1 1推理與證明的內(nèi)容是高考的新增內(nèi)容，主要以選擇填空的形式出

2、現(xiàn)。2 2推理與證明與數(shù)列、幾何、等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多。第第 1 1 課時課時合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理1.1. 推理一般包括合情推理和演繹推理；2.2.合情推理包括和；歸納推理：從個別事實(shí)中推演出，這樣的推理通常稱為歸納推理；歸納推理的思維過程是：、.類比推理：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也或，這樣的推理稱為類比推理，類比推理的思維過程是：、.3.3.演繹推理：演繹推理是，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的推理過程；三段論常用格式為：M 是 P，S 是 P；其中是，它提供了一個個一般性原理；是，它指出了一個個特殊對象；是，它根據(jù)一般原理，

3、對特殊情況作出的判斷.4.4.合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等） 、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)考綱導(dǎo)讀考綱導(dǎo)讀高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航用心愛心專心- 2 -的推理過程例例 1.1. 已知：23150sin90sin30sin222；23125sin65sin5sin222通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：_=23（

4、 * ）并給出（ * ）式的證明.解：解：一般形式:23)120(sin)60(sinsin222證明：左邊 =2)2402cos(12)1202cos(122cos1=)2402cos()1202cos(2cos2123=240cos2cos120sin2sin120cos2cos2cos2123240sin2sin=2sin232cos212sin232cos212cos2123=右邊23（將一般形式寫成2223sin (60 )sinsin (60 ),22223sin (240 )sin (120 )sin2等均正確。 ）變式訓(xùn)練 1：設(shè))()(,cos)(010 xfxfxxf，21

5、( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx，nN，則)(2008xf解：解：xcos，由歸納推理可知其周期是 4例例 2.2. 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：.222bac設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐 OLMN，如果用321,sss表示三個側(cè)面面積，4s表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是.典型例題典型例題用心愛心專心- 3 -解：解：24232221SSSS。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC=a，則ABC 的外接圓的半徑22

6、2bar，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。答案：答案：本題是“由平面向空間類比” 。考慮到平面中的圖形是一個直角三角形，所以在空間中我們可以選取有 3 個面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體 ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是2222cbar。例例 3 3. . 請你把不等式“若21,aa是正實(shí)數(shù)，則有21122221aaaaaa”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案：答案： 推廣的結(jié)論：若naaa,21都是正數(shù)，nnnnaaaaaaaaaaa211212322221證明：證明： naaa,21都是正數(shù)122212aaaa，

7、211222aaaa，1212nnnnaaaa，nnaaaa2112nnnnaaaaaaaaaaa211212322221變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 3： 觀察式子：474131211 ,3531211 ,23211222222， ， 則可歸納出式子為 （）A、121131211222nnB、121131211222nnC、nnn12131211222D、122131211222nnn答案：答案：C。解析：用 n=2 代入選項(xiàng)判斷。例例 4 4. . 有一段演繹推理是這樣的： “直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b 平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是

8、因?yàn)椋ǎ〢.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤答案：答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 4 4：“AC,BD 是菱形 ABCD 的對角線，AC,BD 互相垂直且平分。 ”補(bǔ)充以上推理的用心愛心專心- 4 -大前提是。答案：答案：菱形對角線互相垂直且平分第第 2 2 課時課時直接證明與間接證明直接證明與間接證明1.1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法 綜合法 ；分析法 ；2.2. 間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法；

9、反證法即從開始，經(jīng)過正確的推理，說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）.例例 1 1若cba,均為實(shí)數(shù)，且62,32,22222xzczybyxa。求證：cba,中至少有一個大于 0。答案答案： （用反證法）假設(shè)cba,都不大于 0，即0, 0, 0cba，則有0cba，而3)632() 1() 1() 1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba=3) 1() 1() 1(222zyx222) 1( ,) 1( ,) 1(zyx均大于或等于 0，03 ，0cba，這與假設(shè)0cba矛盾，故cba,中至少有一個大于 0。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 1

10、： 用反證法證明命題 “abNba, 可以被 5 整除， 那么ba,中至少有一個能被 5 整除。 ”那么假設(shè)的內(nèi)容是答案：答案：a,b 中沒有一個能被 5 整除。解析： “至少有 n 個”的否定是“最多有 n-1 個” 。例例 2.2. ABC 的三個內(nèi)角 A、B、C 成等差數(shù)列，求證：cbacbba311。答案：答案：證明：要證cbacbba311，即需證3cbcbabacba。即證1cbabac。又需證)()()(cbbabaacbc，需證222bacac典型例題典型例題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)用心愛心專心- 5 -ABC 三個內(nèi)角 A、B、C 成等差數(shù)列。B=60。由余弦定理，有60cos222

11、2caacb，即acacb222。222bacac成立，命題得證。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2：用分析法證明：若a0，則212122aaaa。答案：答案：證明：要證212122aaaa，只需證212122aaaa。a0，兩邊均大于零，因此只需證2222)21()21(aaaa只需證)1(222211441222222aaaaaaaa，只需證)1(22122aaaa，只需證)21(2112222aaaa，即證2122aa，它顯然成立。原不等式成立。例例 3 3已知數(shù)列 na，0na，01a，)(12121Nnaaannn記nnaaaS21)1 ()1)(1 (1)1)(1 (11121211nnaa

12、aaaaT求證：求證：當(dāng) Nn時，（1）1nnaa；（2）2 nSn；（3）3nT。解解： （1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)1n 時，因?yàn)?a是方程210 xx 的正根，所以12aa假設(shè)當(dāng)*()nk kN時，1kkaa，因?yàn)?21kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa即當(dāng)1nk時，1nnaa也成立用心愛心專心- 6 -根據(jù)和，可知1nnaa對任何*nN都成立（2 2）證明：）證明：由22111kkkaaa ，121kn， ， ，（2n） ，得22231()(1)nnaaaana因?yàn)?0a ，所以21nnSna 由1nnaa及22111

13、21nnnaaa 得1na ，所以2nSn（3 3）證明：）證明：由221112kkkkaaaa ，得111(2 313)12kkkaknnaa， ， ， 所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa，故當(dāng)3n時，2111 1322nnT ，又因?yàn)?23TTT，所以3nT 用心愛心專心- 7 -推理與證明章節(jié)測試題推理與證明章節(jié)測試題1.考察下列一組不等式：,5252522233,5252523344,525252322355.將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣， 使以上的不等式

14、成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是.2已知數(shù)列 na滿足12a ，111nnnaaa（*nN） ，則3a的值為，1232007a aaa的值為3. 已知2 ( )(1),(1)1( )2f xf xff x*xN（），猜想(f x）的表達(dá)式為（）A.4( )22xf x ；B.2( )1f xx；C.1( )1f xx；D.2( )21f xx.4. 某紡織廠的一個車間有技術(shù)工人m名（mN） ，編號分別為 1、2、3、m，有n臺（nN）織布機(jī)，編號分別為 1、2、3、n，定義記號i ja：若第i名工人操作了第j號織布機(jī)，規(guī)定1i ja，否則0i ja，則等式41424343naaaa的

15、實(shí)際意義是（）A、第 4 名工人操作了 3 臺織布機(jī)；B、第 4 名工人操作了n臺織布機(jī)；C、第 3 名工人操作了 4 臺織布機(jī)；D、第 3 名工人操作了n臺織布機(jī).5. 已知*111()1()23fnnNn ，計算得3(2)2f，(4)2f，5(8)2f，(16)3f，7(32)2f，由此推測：當(dāng)2n 時，有6. 觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有(2)n n 個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是nS，按此規(guī)律推出：當(dāng)2n 時，nS與n的關(guān)系式24nS38nS412nS7.觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，則可得出一般結(jié)論：.8.函

16、數(shù)( )f x由下表定義：x25314( )f x12345用心愛心專心- 8 -若05a ，1()nnaf a，0,1,2,n ，則2007a9.在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖 1 所示的正六邊形, 第三件首飾是由 15 顆珠寶構(gòu)成如圖 2 所示的正六邊形,第四件首飾是由 28 顆珠寶構(gòu)成如圖 3 所示的正六邊形, 第五件首飾是由 45 顆珠寶構(gòu)成如圖 4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第 6 件首飾上應(yīng)有_顆珠寶;則前n件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(

17、結(jié)果用n表示)10.將正奇數(shù)按下表排成 5 列第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行1357第 2 行1513119第 3 行171921232725那么 2020 應(yīng)該在第行，第列。11如右上圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1 大拇指，2 食指，3 中指，4 無名指，5 小指，6 無名指，.，一直數(shù)到 2020 時，對應(yīng)的指頭是(填指頭的名稱).12.在數(shù)列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 項(xiàng)為_13觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第n個圖中有個小正方形.圖 1圖 2圖 3圖 4用心愛心專心- 9 -14同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)

18、的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚_塊 （用含n的代數(shù)式表示）15.如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為1,2,3,4ia i ，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為1,2,3,4ih i ，若31241234aaaak，則.412iiSihk類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為1,2,3,4iS i , 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個面的距離記為1,2,3,4iHi ,若31241234SSSSK,則41iiiH(B)A.4VKB.3VKC.2VKD.VK16.設(shè)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABC三邊上的高分別為,ABChhh， O到三邊的距離依次為, ,abc

19、l l l，則abcABClllhhh_ _，類比到空間，O 是四面體 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對面的距離分別為,ABCDhhhh，O 到這四個面的距離依次為, , ,abcdl l l l，則有_17在Rt ABC中，兩直角邊分別為a、b，設(shè)h為斜邊上的高，則222111hab，由此類比：三棱錐SABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長度分別為a、b、c，設(shè)棱錐底面ABC上的高為h，則18、若數(shù)列 na是等差數(shù)列，對于)(121nnaaanb，則數(shù)列 nb也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列 nc是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于0nd，則nd=時，數(shù)列nd也是等比數(shù)列。19已知ABC三

20、邊a，b，c的長都是整數(shù)，且abc ，如果bm（mN*N*） ，則這樣的三角形共有個（用m表示） 用心愛心專心- 10 -20如圖的三角形數(shù)陣中，滿足： （1）第 1 行的數(shù)為 1； （2）第 n（n2)行首尾兩數(shù)均為 n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加則第 n 行(n2)中第 2 個數(shù)是_（用 n 表示）.122343477451114115616252516621在ABC 中，CBCBAcoscossinsinsin，判斷ABC 的形狀并證明.22 已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0 至少有一個

21、方程有兩個相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè)23.ABC中，已知Babsin323 ，且CAcoscos，求證：ABC為等邊三角形。24如圖，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲線C：)0(32yxy上的n個點(diǎn)，點(diǎn))0 ,(iiaA（ni3 , 2 , 1）在x軸的正半軸上，且iiiPAA1是正三角形（0A是坐標(biāo)原點(diǎn)） （1）寫出1a、2a、3a；（2）求出點(diǎn))0 ,(nnaA（nN）的橫坐標(biāo)na關(guān)于n的表達(dá)式并證明.用心愛心專心- 11 -推理與證明章節(jié)測試題答案推理與證明章節(jié)測試題答案1.*( ,0, ,)nnmkkmaba ba ba bmkn m n kN31

22、,323. B.4. A5.*21(2 )()2nnfnN6.22(2)nn7.2*(1)(32)(21) ,nnnnnN8.49.*(1)(41)6n nnnN10.251,312食指12.在數(shù)列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 項(xiàng)為_7_132322nn1448n15、B 提示:平面面積法類比到空間體積法16 1.提示：平面面積法類比到空間體積法17 22221111habc18、*12,nnc cc nN提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術(shù)平均數(shù))(121nnaaanb類比到幾何平均數(shù)*12,nnndc cc nN19(1)2m m 20222nn21解:CBACBC

23、BA,coscossinsinsin)sin()sin(cossincossinCBCACABA0cos)sin(sincossincossinABCABAC用心愛心專心- 12 -20cos, 0sinsinAABC所以三角形 ABC 是直角三角形22 三個方程中都沒有兩個相異實(shí)根證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實(shí)根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實(shí)根.方法總結(jié)：方法總結(jié)：反

24、證法步驟假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立. .凡是“至少” 、 “唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法. .23.解: 分析：由32,323sinsinsin32sin3sin323AABABBab由CACA coscosBCA3所以ABC為等邊三角形24.如圖，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲線C：)0(32yxy上的n個點(diǎn)，點(diǎn))0 ,(iiaA（ni3 , 2 , 1）在x軸的正半軸上，且iiiPAA1是正三角形（0A是坐標(biāo)原點(diǎn)） （1）寫出1a、2a、3a；（2）求出點(diǎn))0 ,(nnaA（nN）的橫坐標(biāo)na關(guān)于n的表達(dá)式并證明.解解: :（

25、）;12, 6, 2321aaa.6 分（2）依題意，得23,211nnnnnnaayaax，由此及nnxy 32得)(23)23(121nnnnaaaa，即)(2)(121nnnnaaaa用心愛心專心- 13 -由（）可猜想：)(),1(Nnnnan下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：（1）當(dāng)1n 時，命題顯然成立；（2）假定當(dāng)nk時命題成立，即有(1)nak k，則當(dāng)1nk時，由歸納假設(shè)及211()2()kkkkaaaa得211(1)2 (1)kkak kk ka，即2211()2(1) (1) (1)(2)0kkakkak kkk，解之得1(1)(2)kakk（1(1)kkak ka不合題意，舍去） ，即當(dāng)1nk時，命題成立由（1） 、 （2）知：命題成立.10 分