2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題33 拋物線及其性質(zhì) 理

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1、專題33 拋物線及其性質(zhì)一、考綱要求：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)：1.應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1）)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2）)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x|或|PF|y|.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1）)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可.(2）)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量.3.研究拋物

2、線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，必須把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，正確的求出p.4.解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的三種常用方法(1）)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2）)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式.(3）)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.三、高考考題題例分析例1.（2020課標(biāo)卷I）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為的直線與C交

3、于M，N兩點(diǎn)，則=（）A5B6C7D8【答案】D例2.（2020課標(biāo)卷II）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程【答案】（1）y=x1；（2）（x3）2+（y2）2=16【解析】：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k（x1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k

4、2=1，則k=1，直線l的方程y=x1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長(zhǎng)公式|AB|=8，解得：sin2=，=，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x1；（2）過(guò)A，B分別向準(zhǔn)線x=1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過(guò)D作DD1準(zhǔn)線l，垂足為D，則|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，則D（3，2），過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相

5、切的圓的方程（x3）2+（y2）2=16 例7.(2020課標(biāo)卷II)已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則?！敬鸢浮?【解析】試題分析：點(diǎn)A，例8.(2020北京卷)已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：A為線段BM的中點(diǎn).【答案】（）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（）詳見(jiàn)解析.，所以.故A為線段BM的中點(diǎn).例9.(2020浙江卷)如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)過(guò)

6、點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值【答案】（）；（）試題解析：（）設(shè)直線AP的斜率為k，則，直線AP斜率的取值范圍是（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|=|PQ|=，所以|PA|PQ|=令，因?yàn)?，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值 15拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2x21相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.【答案】216已知直線l：ykxt與圓：x2(y1)21相切，且與拋物線C：x24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_【答案】t0或t0，解得t0或t

7、0)，過(guò)點(diǎn)C(2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，12.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程. 【答案】(1) y24x；(2) xy20或xy20.【解析】(1)設(shè)l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y24p，則x1x24，因?yàn)閤1x2y1y244p12，可得p2，則拋物線的方程為y24x.(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(1

8、6m232)(4m24)2，解得m23，m，所以直線l的方程為xy20或xy20.19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由【答案】(1)2；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.20.已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|

9、，求FAB的面積. 【答案】(1) y28x；(2) 24.【解析】(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.21如圖所示，已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|20，求直線l的方程【答案】(1) yx1；(2) x2y10.【解析】(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則由得(y1y2)(y1y2

10、)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直線l的方程是yx1.即x2y10. 22拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(1)若2 ，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值. 【答案】(1) 2；(2)4【解析】(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為xmy1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因?yàn)? ，所以y12y2.聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m.所以直線AB的斜率是2.(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，所以當(dāng)m0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.