2020年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題33 拋物線及其性質(zhì) 理

專題33 拋物線及其性質(zhì)一、考綱要求：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用二、概念掌握和解題上注意點：1.應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點(1）)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉(zhuǎn)化.(2）)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|x|或|PF|y|.2.求拋物線的標(biāo)準方程的方法(1）)求拋物線的標(biāo)準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可.(2）)拋物線方程有四種標(biāo)準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量.3.研究拋物線的焦點坐標(biāo)或準線方程，必須把拋物線化成標(biāo)準方程，正確的求出p.4.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的三種常用方法(1）)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2）)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用弦長公式.(3）)涉及拋物線的弦長、弦中點等相關(guān)問題時，一般采用“設(shè)而不求，整體代入”的解法.提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解.三、高考考題題例分析例1.（2020課標(biāo)卷I）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=（）A5B6C7D8【答案】D例2.（2020課標(biāo)卷II）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程【答案】（1）y=x1；（2）（x3）2+（y2）2=16【解析】：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），當(dāng)直線的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k（x1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，直線l的方程y=x1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長公式|AB|=8，解得：sin2=，=，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x1；（2）過A，B分別向準線x=1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點為D，過D作DD1準線l，垂足為D，則|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=1相切，且該圓的圓心為AB的中點D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，則D（3，2），過點A，B且與C的準線相切的圓的方程（x3）2+（y2）2=16 例7.(2020課標(biāo)卷II)已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則?！敬鸢浮?【解析】試題分析：點A，例8.(2020北京卷)已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.（）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準線方程；（）求證：A為線段BM的中點.【答案】（）方程為，拋物線C的焦點坐標(biāo)為（，0），準線方程為.（）詳見解析.，所以.故A為線段BM的中點.例9.(2020浙江卷)如圖，已知拋物線，點A，拋物線上的點過點B作直線AP的垂線，垂足為Q（）求直線AP斜率的取值范圍；（）求的最大值【答案】（）；（）試題解析：（）設(shè)直線AP的斜率為k，則，直線AP斜率的取值范圍是（）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標(biāo)是，因為|PA|=|PQ|=，所以|PA|PQ|=令，因為，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時，取得最大值 15拋物線y22px(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線y2x21相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.【答案】216已知直線l：ykxt與圓：x2(y1)21相切，且與拋物線C：x24y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是_【答案】t>0或t<3【解析】因為直線l與圓相切，所以1k2t22t.再把直線l的方程代入拋物線方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t>0，解得t>0或t<3.三、解答題17.如圖所示，已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點(1)若線段AB的中點在直線y2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|20，求直線l的方程【答案】(1) yx1；(2) x±2y10.【解析】(1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0)因為線段AB的中點在直線y2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，則由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直線l的方程是yx1.18已知拋物線y22px(p>0)，過點C(2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標(biāo)原點為O，·12.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程. 【答案】(1) y24x；(2) xy20或xy20.【解析】(1)設(shè)l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y24p，則x1x24，因為·x1x2y1y244p12，可得p2，則拋物線的方程為y24x.(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.設(shè)AB的中點為M，則|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m±，所以直線l的方程為xy20或xy20.19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p>0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由【答案】(1)2；(2)見解析【解析】(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.20.已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積. 【答案】(1) y28x；(2) 24.【解析】(1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.21如圖所示，已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點(1)若線段AB的中點在直線y2上，求直線l的方程；(2)若線段|AB|20，求直線l的方程【答案】(1) yx1；(2) x±2y10.【解析】(1)由已知得拋物線的焦點為F(1，0)因為線段AB的中點在直線y2上，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，則由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直線l的方程是yx1.即x±2y10. 22拋物線y24x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點(1)若2 ，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值. 【答案】(1) ±2；(2)4【解析】(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為xmy1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因為2 ，所以y12y2.聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m±.所以直線AB的斜率是±2.(2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點，所以當(dāng)m0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.