《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第34講數(shù)列求和【課程要求】1熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式2熟練掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種方法，如錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消以及分組求和等對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p91【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，2.()(3)求Sna2a23a3nan之和時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2.()(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果數(shù)列an是周期為k的周期
2、數(shù)列，那么SkmmSk(m，k為大于1的正整數(shù))()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修5p61A組T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案3必修5p61A組T5一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)解析第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程為1002(502510029)1002100(212229)10020010020
3、0(129)答案A4.()A.B.C.D.解析因?yàn)?答案C5設(shè)f(x)，利用倒序相加法，則ffff_解析當(dāng)x1x21時(shí)，f(x1)f(x2)1.設(shè)Sffff，倒序相加有2S2020，即S1010.答案10106數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2019_解析因?yàn)閿?shù)列anncos呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.S2019S2020a202050522020cos1010.答案1010【知識(shí)要點(diǎn)】求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法(1)公式法數(shù)列an為等差或等比數(shù)列時(shí)直接運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式求和若an為等差數(shù)列，則Sn_na1d
4、_若an為等比數(shù)列，其公比為q，則當(dāng)q1時(shí)，Sn_na1_(an為常數(shù)列)；當(dāng)q1時(shí)，Sn_(2)裂項(xiàng)相消求和法數(shù)列an滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差，且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和(3)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的(4)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的(5)分組轉(zhuǎn)化求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組
5、成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和然后相加減(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項(xiàng)求和法形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p92分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析 (1)由a1b1，a4b2，則S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(n
6、1)2n1.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.(2)anbn(2n1)3n，所以的前n項(xiàng)和為(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).小結(jié)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列構(gòu)成可以用分組求和法，分別求和再相加減1等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.解析 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1
7、.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)錯(cuò)位相減法求和例2(2017山東理)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2.又an0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知，S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn，因此Tn，又Tn，兩式相減得T
8、n1，所以Tn5.小結(jié)用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解2化簡(jiǎn)Snn(n1)2(n2)2222n22n1的結(jié)果是()A2n1n2B2n1n2C2nn2D2n1n2解析因?yàn)镾nn(n1)222n22n1，2Snn2(n1)2222n12n，所以得，Snn(222232n)n22n1，所以Sn2n1n2.答案D裂項(xiàng)相消法求和例3已知數(shù)列an滿足a13，
9、an12ann1，數(shù)列bn滿足b12，bn1bnann，nN*.(1)證明：ann為等比數(shù)列；(2)數(shù)列cn滿足cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)因?yàn)閍n12ann1，所以an1(n1)2(ann)又a13，所以a112，所以數(shù)列ann是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，ann22n12n，an2nn，所以bn1bnannbn2n，即bn1bn2n.b2b121，b3b222，b4b323，bnbn12n1.以上式子相加，得bn22n(n2)當(dāng)n1時(shí)，b12，滿足bn2n，所以bn2n.所以cn.所以Tn.小結(jié)常見的拆項(xiàng)公式有：(1).(2).(3).(4)()(5)C
10、CC.(6)nn！(n1)！n！.(7)anSnSn1(n2)3已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an4Sn.(1)求Sn；(2)設(shè)bn()，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)由題意得兩式作差得(an1an)(an1an2)0，又?jǐn)?shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an1an20，即an1an2.當(dāng)n1時(shí)，有a2a14S14a1，得a1(a12)0，則a12，故數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以Snna1dn2n.(2)，所以Tn1.并項(xiàng)法求和例4已知數(shù)列滿足a11，2anan13an13an.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若cn，求的前2n項(xiàng)的和T2n.解析 (1)由2anan1
11、3an13an，得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以1n，即an.(2)設(shè)c2n1c2n，因?yàn)?，所以c2n1c2n，T2nn2n.小結(jié)用并項(xiàng)法求和時(shí)，要注意可能要分類討論4已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a11，其前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析 (1)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且a11，1(n1)22n1，Sn2n2n當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2n4n3.a11符合an4n3，an4n3.(2)由(1)可得bnan.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn42n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，TnTn1bn122n1.綜上所述，Tn對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p941(2017全國(guó)卷理)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_解析設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意有：解得數(shù)列的前n項(xiàng)和Snna1dn11.裂項(xiàng)有：2，據(jù)此：22.答案2(2019天津理)設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足c11，cn其中kN*.(i)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(ii)求a2i9n2722n152n1n12.11
（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版
