（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第34講 數列求和導學案 新人教A版

第34講數列求和【課程要求】1熟練掌握等差、等比數列前n項和公式2熟練掌握非等差、等比數列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項相消以及分組求和等對應學生用書p91【基礎檢測】1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)如果數列an為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn.()(2)當n2時，2.()(3)求Sna2a23a3nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得()(4)數列的前n項和為n2.()(5)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()(6)如果數列an是周期為k的周期數列，那么SkmmSk(m，k為大于1的正整數)()答案 (1)(2)×(3)×(4)×(5)(6)2必修5p61A組T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析設Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案3必修5p61A組T5一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)解析第10次著地時，經過的路程為1002(5025100×29)1002×100×(212229)100200×100200(129)答案A4.()A.B.C.D.解析因為.答案C5設f(x)，利用倒序相加法，則ffff_解析當x1x21時，f(x1)f(x2)1.設Sffff，倒序相加有2S2020，即S1010.答案10106數列an的通項公式為anncos，其前n項和為Sn，則S2019_解析因為數列anncos呈周期性變化，觀察此數列規(guī)律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.S2019S2020a2020505×22020·cos1010.答案1010【知識要點】求數列前n項和的基本方法(1)公式法數列an為等差或等比數列時直接運用其前n項和公式求和若an為等差數列，則Sn_na1d_若an為等比數列，其公比為q，則當q1時，Sn_na1_(an為常數列)；當q1時，Sn_(2)裂項相消求和法數列an滿足通項能分裂為兩項之差，且分裂后相鄰的項正負抵消從而求得其和(3)倒序相加法如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項的和即可用倒序相加法，如等差數列前n項和公式就是用此法推導的(4)錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的(5)分組轉化求和法一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和然后相加減(6)并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱為并項求和法形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.對應學生用書p92分組轉化法求和例1已知等差數列的前n項和為Sn，等比數列的前n項和為Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求數列與的通項公式；(2)求數列的前n項和解析 (1)由a1b1，a4b2，則S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，設等差數列的公差為d，則a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(n1)2n1.設等比數列的公比為q，由題b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.(2)anbn(2n1)3n，所以的前n項和為(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).小結一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或其他可求和的數列構成可以用分組求和法，分別求和再相加減1等差數列an的前n項和為Sn，數列bn是等比數列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數列an和bn的通項公式；(2)令cn設數列cn的前n項和為Tn，求T2n.解析 (1)設數列an的公差為d，數列bn的公比為q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)錯位相減法求和例2(2017·山東理)已知an是各項均為正數的等比數列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數列an的通項公式；(2)bn為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數列的前n項和Tn.解析 (1)設an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2.又an0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知，S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn，因此Tn，又Tn，兩式相減得Tn1，所以Tn5.小結用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解2化簡Snn(n1)×2(n2)×222×2n22n1的結果是()A2n1n2B2n1n2C2nn2D2n1n2解析因為Snn(n1)×22×2n22n1，2Snn×2(n1)×222×2n12n，所以得，Snn(222232n)n22n1，所以Sn2n1n2.答案D裂項相消法求和例3已知數列an滿足a13，an12ann1，數列bn滿足b12，bn1bnann，nN*.(1)證明：ann為等比數列；(2)數列cn滿足cn，求數列cn的前n項和Tn.解析 (1)因為an12ann1，所以an1(n1)2(ann)又a13，所以a112，所以數列ann是以2為首項，2為公比的等比數列(2)由(1)知，ann2·2n12n，an2nn，所以bn1bnannbn2n，即bn1bn2n.b2b121，b3b222，b4b323，bnbn12n1.以上式子相加，得bn22n(n2)當n1時，b12，滿足bn2n，所以bn2n.所以cn.所以Tn.小結常見的拆項公式有：(1).(2).(3).(4)()(5)CCC.(6)n·n！(n1)！n！.(7)anSnSn1(n2)3已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且a2an4Sn.(1)求Sn；(2)設bn()·，求數列的前n項和Tn.解析 (1)由題意得兩式作差得(an1an)(an1an2)0，又數列an各項均為正數，所以an1an20，即an1an2.當n1時，有a2a14S14a1，得a1(a12)0，則a12，故數列an是首項為2，公差為2的等差數列，所以Snna1dn2n.(2)·，所以Tn1.并項法求和例4已知數列滿足a11，2anan13an13an.(1)求的通項公式；(2)若cn，求的前2n項的和T2n.解析 (1)由2anan13an13an，得，所以，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，所以1n，即an.(2)設c2n1c2n，因為，所以c2n1c2n·，T2n×n2n.小結用并項法求和時，要注意可能要分類討論4已知數列an的首項為a11，其前n項和為Sn，且數列是公差為2的等差數列(1)求數列an的通項公式；(2)若bnan，求數列的前n項和Tn.解析 (1)數列是公差為2的等差數列，且a11，1(n1)×22n1，Sn2n2n當n2時，anSnSn12n2n4n3.a11符合an4n3，an4n3.(2)由(1)可得bnan·.當n為偶數時，Tn4×2n；當n為奇數時，n1為偶數，TnTn1bn122n1.綜上所述，Tn對應學生用書p941(2017·全國卷理)等差數列an的前n項和為Sn，a33，S410，則_解析設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意有：解得數列的前n項和Snna1dn×1×1.裂項有：2，據此：22.答案2(2019·天津理)設是等差數列，是等比數列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求和的通項公式；(2)設數列滿足c11，cn其中kN*.(i)求數列的通項公式；(ii)求a2i9×n27×22n15×2n1n12.11