（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第二章 函數 第12講 函數與方程導學案 新人教A版

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1、第12講函數與方程【課程要求】1結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個數2利用函數的零點求解參數的取值范圍對應學生用書p31【基礎檢測】1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點()(2)函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x)()答案 (1)(2)(3)(4)2必修1p92A組T5函數f(x)lnx的零點所

2、在的大致區(qū)間是()A(1，2) B(2，3)C.和(3，4) D(4，)解析f(2)ln210，且函數f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數，f(x)的零點在區(qū)間(2，3)內答案B3必修1p88例1函數f(x)ex3x的零點個數是_解析由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上單調遞增，又f(1)30，因此函數f(x)有且只有一個零點答案14必修1p92A組T4函數f(x)x的零點個數為_解析作函數y1x和y2的圖象如圖所示，由圖象知函數f(x)有1個零點答案15(多選)下列圖象表示的函數中不能用二分法求零點的是()解析A中函數沒有零點，因此不能用二分法求零點；B中函數的圖象不連續(xù)，因此不

3、能用二分法求零點；D中函數在x軸下方沒有圖象，因此不能用二分法求零點，故選ABD.答案ABD6已知函數f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xlnx的零點分別為x1，x2，x3，則()Ax1x2x3Bx2x1x3Cx2x3x1Dx3x1x2解析作出yx與y1，y2ex，y3lnx的圖象如圖所示，可知選C.答案C【知識要點】1函數的零點(1)函數零點的定義對于函數yf(x)，我們把使_f(x)0_的實數x叫做函數yf(x)的零點(2)三個等價關系方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有_零點_(3)函數零點的判定(函數存在性定理)如果函數yf(x)在區(qū)間a，b

4、上的圖象是_連續(xù)不斷_的一條曲線，并且有_f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系000)的圖象與x軸的交點_(x1_，0)，(x2，0)_(x1，0)_無交點零點個數_2_1_0_對應學生用書p32函數零點區(qū)間的判定和求解例1(1)已知函數f(x)則函數f(x)在區(qū)間上有_個零點解析當x1時，由f(x)2x10，解得x0；所以函數f(x)在區(qū)間0，1上只有1個零點答案1(2)若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內D(，a)和(c，)解析ab0，f(b)(bc)(

5、ba)0，由函數零點存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內，故選A.答案A小結函數零點的判定方法：(1)解方程法：若對應方程f(x)0可解，通過解方程，則方程有幾個解就對應有幾個零點(2)函數零點的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數的零點個數(3)數形結合法：合理轉化為兩個函數的圖象(易畫出圖象)的交點個數問題先畫出兩個函數的圖象，看其交點

6、的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數1若x0是方程x的解，則x0屬于區(qū)間()A.B.C.D.解析令g(x)，f(x)x，則g(0)1f(0)0，gf，gf，結合圖象可得x0.答案C2已知函數f(x)則函數yf(f(x)1在區(qū)間上的零點的個數是()A4B3C2D1解析由f(f(x)10，得f(f(x)1，由f(2)f1，得f(x)2或f(x).若f(x)2，則x3或x；若f(x)，則x或x.綜上可得函數yf(f(x)1在區(qū)間上的零點的個數是2，故選C.答案C函數零點個數的判斷和求解例2(1)已知函數f(x)函數g(x)3f(2x)，則函數yf(x)g(x)的零點個數為()A2B3C4D5解

7、析由已知條件可得g(x)3f(2x)函數yf(x)g(x)的零點個數即為函數yf(x)與yg(x)圖象的交點個數，在平面直角坐標系內作出函數yf(x)與yg(x)的圖象如圖所示由圖可知函數yf(x)與yg(x)的圖象有2個交點，所以函數yf(x)g(x)的零點個數為2，故選A.答案A(2)函數f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零點個數為_解析f(x)2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|，x1，函數f(x)的零點個數即為函數y1sin2x(x1)與y2|ln(x1)|(x1)的圖象的交點個數分別作出兩個函數的圖象，如圖，可知有兩個交點，則

8、f(x)有兩個零點答案2小結判斷函數零點個數的方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程有幾個解，函數f(x)就有幾個零點；(2)圖象法：畫出函數f(x)的圖象，函數f(x)的圖象與x軸的交點個數即為函數f(x)的零點個數；(3)將函數f(x)拆成兩個常見函數h(x)和g(x)的差，從而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，則函數f(x)的零點個數即為函數yh(x)與函數yg(x)的圖象的交點個數；(4)二次函數的零點問題，通過相應的二次方程的判別式來判斷3函數y(x1)2logax(其中a1)零點的個數是()A0B1C2D3解析函數y(x1)2logax(其中a1)零點的個數就是y(x

9、1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象交點個數，在同一坐標系內畫出y(x1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象，如圖，由圖可知，y(x1)2的圖象與ylogax(其中a1)圖象有兩個交點，所以函數y(x1)2logax(其中a1)零點的個數是2.答案C4已知a1，方程exxa0與lnxxa0的根分別為x1，x2，若mxx2x1x2，則m的取值范圍為_解析方程exxa0的根，即yex與yax圖象交點的橫坐標，方程lnxxa0的根，即ylnx與yax圖象交點的橫坐標，而yex與ylnx的圖象關于直線yx軸對稱，如圖所示：x1x2a，xx2x1x2a2，又a1，mxx2x1x21.答案 (1

10、，)二次函數的零點問題例3(1)若函數f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個零點分別在區(qū)間(1，0)和區(qū)間(1，2)內，則m的取值范圍是_解析依題意，結合函數f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得m.答案(2)已知a，b，c，d都是常數，ab，cd.若f(x)2021(xa)(xb)的零點為c，d，則下列不等式正確的是()AacbdBabcdCcdabDcabd解析f(x)2021(xa)(xb)x2(ab)xab2021，又f(a)f(b)2021，c，d為函數f(x)的零點，且ab，cd，所以可在平面直角坐標系中作出函數f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知cabd，故選D.答案D小結解決與

11、二次函數有關的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數之間的關系；(3)利用二次函數的圖象列不等式組5已知二次函數f(x)x2(2a1)x12a，若yf(x)在區(qū)間(1，0)及內各有一個零點，則實數a的取值范圍是_解析依題意，要使yf(x)在區(qū)間(1，0)及內各有一個零點，只需即解得a.故實數a的取值范圍為.答案6已知yf(x)是定義域為R的奇函數，當x0，)時，f(x)x22x，若方程f(x)a恰有3個不同的解，則a的取值范圍是_解析設x0，則x0，所以f(x)x22x.又因為f(x)是奇函數，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)方程f(x

12、)a恰有3個不同的解，即yf(x)與ya的圖象有3個不同的交點作出yf(x)與ya的圖象如圖所示，故若方程f(x)a恰有3個不同的解，只需1a1，故a的取值范圍為(1，1)答案 (1，1)函數零點的應用例4(1)(多選)設函數f(x)exx2，g(x)lnxx23.若實數a，b滿足f(a)0，g(b)0，則()Ag(a)0Cf(b)0解析因為函數f(x)exx2在R上單調遞增，且f(0)120，所以f(a)0時，a(0，1)又g(x)lnxx23在(0，)上單調遞增，且g(1)20，所以g(a)0，所以g(b)0時，b(1，2)，又f(1)e10，所以f(b)0.答案AD(2)已知函數f(x)

13、lnxax2ax恰有兩個零點，則實數a的取值范圍是()A(，0) B(0，)C(0，1)(1，) D(，0)1解析由題意，顯然x1是函數f(x)的一個零點，取a1，則f(x)lnxx2x，f(x)0恒成立則f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除A、D；取a1，則f(x)lnxx2x，f(x)，令f(x)0，得x1，則f(x)在(0，1)上遞增，在(1，)上遞減，f(x)maxf(1)0，即f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除B，故選C.答案C(3)已知f(x)x2kx|x21|，若f(x)在(0，2)上有兩個不同的零點x1，x2，則k的取值范圍是_解析不妨設0x1x22，f(x)f(x)在(

14、0，1是單調函數，故f(x)0在(0，1上至多一個解；若1x1x22，則x1x20，故不符合題意；0x11x22，由f(x1)0可得k，k1，由f(x2)0可得k2x2，k0)，則a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，當且僅當t1時取等號，故a22.答案 (，228已知函數f(x)exx22x，g(x)lnx2，h(x)x2，且1x3，若f(a)g(b)h(c)0，則實數a，b，c的大小關系是()AabcBbacCacbDcba解析同一坐標系內，分別作出函數yex，yx22x，ylnx，y2，yx的圖象，如圖可得a是yex，yx22x圖象交點橫坐標；b是ylnx，y2圖象交點橫坐標；c是y2，yx圖象交點橫坐標；即a，b，c分別是圖中點A，B，C的橫坐標，由圖象可得，ac0，得m21，m，所以m.答案對應學生用書p33(2018全國卷理)已知函數f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1，0) B0，)C1，) D1，)解析函數g(x)f(x)xa存在2個零點，即關于x的方程f(x)xa有2個不同的實根，即函數f(x)的圖象與直線yxa有2個交點，作出直線yxa與函數f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1.答案C12