（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第12講 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第12講函數(shù)與方程【課程要求】1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷根的存在性與根的個(gè)數(shù)2利用函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p31【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)<f(x)<g(x)()答案 (1)×(2)×(3)(4)2必修1p92A組T5函數(shù)f(x)lnx的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A(1，2) B(2，3)C.和(3，4) D(4，)解析f(2)ln21<0，f(3)ln3>0，且函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)，f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)答案B3必修1p88例1函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_解析由已知得f(x)ex3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)3<0，f(0)1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)答案14必修1p92A組T4函數(shù)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析作函數(shù)y1x和y2的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)答案15(多選)下列圖象表示的函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是()解析A中函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；B中函數(shù)的圖象不連續(xù)，因此不能用二分法求零點(diǎn)；D中函數(shù)在x軸下方?jīng)]有圖象，因此不能用二分法求零點(diǎn)，故選ABD.答案ABD6已知函數(shù)f(x)x(x>0)，g(x)xex，h(x)xlnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則()Ax1<x2<x3Bx2<x1<x3Cx2<x3<x1Dx3<x1<x2解析作出yx與y1，y2ex，y3lnx的圖象如圖所示，可知選C.答案C【知識(shí)要點(diǎn)】1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)yf(x)，我們把使_f(x)0_的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有_零點(diǎn)_(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(函數(shù)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是_連續(xù)不斷_的一條曲線，并且有_f(a)·f(b)<0_，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間_(a，b)_內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得_f(c)0_，這個(gè)_c_也就是方程f(x)0的根2有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)3二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)_(x1_，0)，(x2，0)_(x1，0)_無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_2_1_0_對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p32函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判定和求解例1(1)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)在區(qū)間上有_個(gè)零點(diǎn)解析當(dāng)x1時(shí)，由f(x)2x10，解得x0；所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0，1上只有1個(gè)零點(diǎn)答案1(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)解析a<b<c，f(a)(ab)(ac)>0，f(b)(bc)(ba)<0，f(c)(ca)(cb)>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.答案A小結(jié)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法：(1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)0可解，通過(guò)解方程，則方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(3)數(shù)形結(jié)合法：合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1若x0是方程x的解，則x0屬于區(qū)間()A.B.C.D.解析令g(x)，f(x)x，則g(0)1f(0)0，gf，gf，結(jié)合圖象可得x0.答案C2已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A4B3C2D1解析由f(f(x)10，得f(f(x)1，由f(2)f1，得f(x)2或f(x).若f(x)2，則x3或x；若f(x)，則x或x.綜上可得函數(shù)yf(f(x)1在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2，故選C.答案C函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和求解例2(1)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)3f(2x)，則函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A2B3C4D5解析由已知條件可得g(x)3f(2x)函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選A.答案A(2)函數(shù)f(x)4cos2·cos2sinx|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析f(x)2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|，x>1，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y1sin2x(x>1)與y2|ln(x1)|(x>1)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，可知有兩個(gè)交點(diǎn)，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)答案2小結(jié)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程有幾個(gè)解，函數(shù)f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)圖象法：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)將函數(shù)f(x)拆成兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)h(x)和g(x)的差，從而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)yh(x)與函數(shù)yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)相應(yīng)的二次方程的判別式來(lái)判斷3函數(shù)y(x1)2logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3解析函數(shù)y(x1)2logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是y(x1)2的圖象與ylogax(其中a>1)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y(x1)2的圖象與ylogax(其中a>1)圖象，如圖，由圖可知，y(x1)2的圖象與ylogax(其中a>1)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y(x1)2logax(其中a>1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.答案C4已知a>1，方程exxa0與lnxxa0的根分別為x1，x2，若mxx2x1x2，則m的取值范圍為_解析方程exxa0的根，即yex與yax圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程lnxxa0的根，即ylnx與yax圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而yex與ylnx的圖象關(guān)于直線yx軸對(duì)稱，如圖所示：x1x2a，xx2x1x2a2，又a>1，mxx2x1x2>1.答案 (1，)二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例3(1)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是_解析依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得<m<.答案(2)已知a，b，c，d都是常數(shù)，ab，cd.若f(x)2021(xa)(xb)的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是()AacbdBabcdCcdabDcabd解析f(x)2021(xa)·(xb)x2(ab)xab2021，又f(a)f(b)2021，c，d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且ab，cd，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知cabd，故選D.答案D小結(jié)解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組5已知二次函數(shù)f(x)x2(2a1)x12a，若yf(x)在區(qū)間(1，0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析依題意，要使yf(x)在區(qū)間(1，0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，只需即解得a.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案6已知yf(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)x22x，若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是_解析設(shè)x0，則x0，所以f(x)x22x.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解，即yf(x)與ya的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)作出yf(x)與ya的圖象如圖所示，故若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解，只需1a1，故a的取值范圍為(1，1)答案 (1，1)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例4(1)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)exx2，g(x)lnxx23.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)0，g(b)0，則()Ag(a)<0Bg(a)>0Cf(b)<0Df(b)>0解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，且f(0)12<0，f(1)e1>0，所以f(a)0時(shí)，a(0，1)又g(x)lnxx23在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)2<0，所以g(a)<0.由g(2)ln21>0，所以g(b)0時(shí)，b(1，2)，又f(1)e1>0，所以f(b)>0.答案AD(2)已知函數(shù)f(x)lnxax2ax恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(0，)C(0，1)(1，) D(，0)1解析由題意，顯然x1是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，取a1，則f(x)lnxx2x，f(x)>0恒成立則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，排除A、D；取a1，則f(x)lnxx2x，f(x)，令f(x)0，得x1，則f(x)在(0，1)上遞增，在(1，)上遞減，f(x)maxf(1)0，即f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，排除B，故選C.答案C(3)已知f(x)x2kx|x21|，若f(x)在(0，2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則k的取值范圍是_解析不妨設(shè)0<x1<x2<2，f(x)f(x)在(0，1是單調(diào)函數(shù)，故f(x)0在(0，1上至多一個(gè)解；若1<x1<x2<2，則x1x2<0，故不符合題意；0<x11<x2<2，由f(x1)0可得k，k1，由f(x2)0可得k2x2，<k<1，綜上，k的取值范圍是.答案小結(jié)利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的思路方法及步驟(1)常規(guī)思路已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題(2)常用方法(3)一般步驟7若關(guān)于x的方程22x2xaa10有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由方程，解得a，設(shè)t2x(t>0)，則a2，其中t1>1，由基本不等式，得(t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取等號(hào)，故a22.答案 (，228已知函數(shù)f(x)exx22x，g(x)lnx2，h(x)x2，且1<x<3，若f(a)g(b)h(c)0，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是()Aa<b<cBb<a<cCa<c<bDc<b<a解析同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)yex，yx22x，ylnx，y2，yx的圖象，如圖可得a是yex，yx22x圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)；b是ylnx，y2圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)；c是y2，yx圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)；即a，b，c分別是圖中點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)，由圖象可得，a<c<b.答案C9已知以T4為周期的函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析因?yàn)楫?dāng)x1，1時(shí)，將函數(shù)y化為方程x2y21(y0)，其圖象為半圓，如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x(1，3的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象如圖，由圖易知直線ymx與第二個(gè)半圓(x4)2y21(y0)相交，而與第二段折線無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將ymx代入(x4)2y21得(1m2)x28x150，令6460(1m2)>0，得m2<.又當(dāng)x6時(shí)，6m>1，m>，所以m.答案對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p33(2018·全國(guó)卷理)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A1，0) B0，)C1，) D1，)解析函數(shù)g(x)f(x)xa存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)xa有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1.答案C12