(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 突破點(diǎn)4 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學(xué)案

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1、專題二數(shù)列建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥數(shù)列專題是浙江新高考的必考專題之一,主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算及數(shù)列求和的能力,該部分即可單獨(dú)命題,又可與其他專題綜合命題,考查方式靈活多樣,結(jié)合浙江新高考的命題研究,本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”兩條主線展開分析和預(yù)測(cè)突破點(diǎn)4等差數(shù)列、等比數(shù)列 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁) 核心知識(shí)提煉提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算(1)通項(xiàng)公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.(2)求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.

2、提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法:(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明an1an(nN*)為同一常數(shù);利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明(nN*)為同一常數(shù);利用等比中項(xiàng),即證明aan1an1(n2).提煉3數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍,從而確

3、定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列an的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項(xiàng)高考真題回訪回訪1等差數(shù)列及其運(yùn)算1(2017浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d0”是“S4S62S5”的() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334059】A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件C法一:數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,S44a16d,S55a110d,S66a115d,S4S610a121d,2S510a120d.若d0,則21d20d,10a121d10a1

4、20d,即S4S62S5.若S4S62S5,則10a121d10a120d,即21d20d,d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要條件故選C.法二:S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0,“d0”是“S4S62S5”的充分必要條件故選C.2(2015浙江高考)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()Aa1d0,dS40Ba1d0,dS40,dS40Da1d0Ba3,a4,a8成等比數(shù)列,aa3a8,(a13d)2(a12d)(a17d),展開整理,得3a1d5d2,即a1dd2.d0,a1d0.Snna1d,S44

5、a16d,dS44a1d6d2d2n2,故bn3n1n2,n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則T12,T23,10分當(dāng)n3時(shí),Tn3,13分所以Tn15分 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁)熱點(diǎn)題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),題型以客觀題為主,難度較小.【例1】(1)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1a330,S4120,設(shè)bn1log3an,那么數(shù)列bn的前15項(xiàng)和為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334062】A152B135 C80D16(2)(2017臺(tái)州市高三年級(jí)調(diào)考)已知數(shù)列an的前m(m4)項(xiàng)是公差為2

6、的等差數(shù)列,從第m1項(xiàng)起,am1,am,am1,成公比為2的等比數(shù)列若a12,則m_,an的前6項(xiàng)和S6_.(1)B(2)428(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a1a330,a2a4S4(a1a3)90,所以公比q3,首項(xiàng)a13,所以an3n,bn1log33n1n,則數(shù)列bn是等差數(shù)列,前15項(xiàng)的和為135,故選B.(2)由題意,得am1a1(m2)d2m6,am2m4,則由2,解得m4,所以數(shù)列an的前6項(xiàng)依次為2,0,2,4,8,16,所以S628.方法指津在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q),在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組,從而求出這兩個(gè)量,

7、那么其他問題也就會(huì)迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用.提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),務(wù)必注意公比q的取值范圍. 變式訓(xùn)練1(1)已知在數(shù)列an中,a11,an1an3,Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sn51,則n_.(2)已知an為等差數(shù)列,若a1a5a98,則|an|前9項(xiàng)的和S9_,cos(a3a7)的值為_(1)6(2)24(1)由a11,an1an3,得an1an3,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列由Snn351,即(3n17)(n6)0,解得n6或n(舍)(2)由an為等差數(shù)列得a1a5a93a58,解得a5,所以an前9項(xiàng)的和S

8、99a5924.cos(a3a7)cos 2a5cos cos .熱點(diǎn)題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析:該熱點(diǎn)常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率.【例2】(1)已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列,若a2a5a88,則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334063】A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S150,S160,S16160,a90,d0,故Sn最大為S8.又d0,所以an單調(diào)遞減,因?yàn)榍?項(xiàng)中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時(shí)有最大值,即最大,故選C.方法指津1若an,bn均是等差數(shù)列,Sn是an的前n

9、項(xiàng)和,則mankbn,仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù)2若an,bn均是等比數(shù)列,則can(c0),|an|,anbn,manbn(m為常數(shù)),a,仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2a1,a3a2,a4a3,成等比數(shù)列,且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比數(shù)列,其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差數(shù)列,公差為k2d.5若A2n1,B2n1分別為等差數(shù)列an,bn的前2n1項(xiàng)的和,則.變式訓(xùn)練2(1)在等比數(shù)列an中,已知a

10、1a38,a5a74,則a9a11a13a15()A1B2C3D2或4(2)已知公比q不為1的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1,前n項(xiàng)和為Sn,且a2S2,a3S3,a4S4成等差數(shù)列,則q_,S6_.(1)C(2)(1)an為等比數(shù)列,a5a7是a1a3與a9a11的等比中項(xiàng),(a5a7)2(a1a3)(a9a11),故a9a112.同理a9a11是a5a7與a13a15的等比中項(xiàng),(a9a11)2(a5a7)(a13a15)故a13a151.a9a11a13a15213.(2)由a2S2q,a3S3qq2,a4S4qq2q3成等差數(shù)列,得2qqq2q3,化簡(jiǎn)得2q23q10,q1,解得q,所以S61

11、6.熱點(diǎn)題型3等差、等比數(shù)列的證明題型分析:該熱點(diǎn)常以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體,考查學(xué)生的推理論證能力.【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334064】解(1)證明:由題意得a1S11a1,故1,a1,故a10.1分由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)an.2分由a10,0得an0,所以.3分因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15,即5.13分解得1.15分方法指津判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、

12、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行判斷.提醒:利用aan1an1(n2)來證明數(shù)列an為等比數(shù)列時(shí),要注意數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0. 變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由解(1)證明:由題設(shè)知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,2分由于an10,所以an2an.4分(2)由題設(shè)知a11,a1a2S11,可得a21.5分由(1)知,a31.6分令2a2a1a3,解得4.7分故an2an4,由此可得a2n1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3.9分a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.13分所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.15分9

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