江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練(一)選修4-2 矩陣與變換(理)(含解析)

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 選修4系列強化練(一)選修4-2 矩陣與變換(理)(含解析)題型一常見平面變換1已知變換T把平面上的點(3,4),(5,0)分別變換成(2,1),(1,2),試求變換T對應(yīng)的矩陣M.解:設(shè)M,由題意得, ,解得即M.2平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x2y10在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到直線m:xy20,求實數(shù)a,b的值解:設(shè)坐標(biāo)(x,y)在矩陣M的變換后的坐標(biāo)為(x,y),則有,于是有解得將上述結(jié)果代入直線l的方程得10.化簡得(b6)x(2a2)yab60.(*)于是有.解得或當(dāng)a1,b6時,代入(*)式得0x0y00,不符合題意,舍去綜

2、上所述a1,b2.3設(shè)矩陣M(其中a0,b0),若曲線C:x2y21在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C:y21,求ab的值解:設(shè)曲線C:x2y21上任意一點P(x,y),在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點P1(x1,y1),則,即又點P1(x1,y1)在曲線C:y21上,所以y1,則(by)21為曲線C的方程又曲線C的方程為x2y21,故a24,b21,因為a0,b0,所以a2,b1,所以ab3.臨門一腳1把點A(x,y)繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角的變換,對應(yīng)的矩陣是,這個矩陣不能遺忘2求點被矩陣變換后的點的坐標(biāo)或求曲線被矩陣變換后的曲線所用方法是求軌跡中的相關(guān)點法3求直線在矩陣作用下所得直線方程,可

3、以取兩個特殊點求解比較簡便題型二矩陣的復(fù)合、矩陣的乘法及逆矩陣1已知a,b是實數(shù),如果矩陣A所對應(yīng)的變換T把點(2,3)變成點(3,4)(1)求a,b的值;(2)若矩陣A的逆矩陣為B,求B2.解:(1)由題意,得,即解得(2)由(1),得A.由矩陣的逆矩陣公式得B.所以B2.2設(shè)二階矩陣A,B滿足A1,(BA)1,求B1.解:設(shè)B1,因為(BA)1A1B1,所以,即解得所以B1.臨門一腳1矩陣的行列式adbc,如果adbc0,則矩陣存在逆矩陣2矩陣的逆矩陣為.3逆矩陣求解可以用定義法求解也可以用公式求解,用公式求解時要寫出原始公式4若二階矩陣A、B均存在逆矩陣,則AB也存在逆矩陣,且(AB)1

4、B1A1,乘法順序不能顛倒題型三特征值和特征向量1已知二階矩陣M有特征值8及對應(yīng)的一個特征向量e1,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M;(2)求矩陣M的另一個特征值解:(1)設(shè)M,由題意,M8,M,解得即M.(2)令特征多項式f()(6)(4)80,解得18,22.矩陣M的另一個特征值為2.2已知矩陣A,A的兩個特征值為12,23.(1)求a,b的值;(2)求屬于2的一個特征向量.解:(1)令f()(a)(4)b2(a4)4ab0,于是12a4,124ab.解得a1,b2.(2)設(shè),則A3,故解得xy.所以屬于2的一個特征向量為.3已知矩陣M,計算M6.解:矩陣M的特征多項式為f()223.令f()0,解得13,21,對應(yīng)的一個特征向量分別為1,2.令m1n2,得m4,n3.所以M6M6(4132)4(M61)3(M62)4363(1)6.臨門一腳1A是一個二階矩陣,則f()2(ad)adbc稱為A的特征多項式2矩陣M的特征值滿足(a)(d)bc0,屬于的特征向量滿足M.3特征值和特征向量,可以用定義求解也可以用公式求解4Mn的計算流程要熟悉,這也是求特征值和特征向量的應(yīng)用

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