江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計(jì)算講義(含解析)

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法數(shù)列中的基本量計(jì)算講義(含解析)小題考情分析大題考情分析??键c(diǎn)等差數(shù)列的基本量計(jì)算(5年2考)等比數(shù)列的基本量計(jì)算(5年3考)近幾年的數(shù)列解答題,其常規(guī)類型可分為二類:一類是判斷、證明某個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列(如2017年T19);另一類是已知等差、等比數(shù)列求基本量,這個(gè)基本量涵義很廣泛,有項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、通項(xiàng)、和式以及它們的組合式,甚至還包括相關(guān)參數(shù)(如2018年T20)數(shù)列的壓軸題還對(duì)代數(shù)推理能力的要求較高,其中數(shù)列與不等式的結(jié)合(如2018年T20,2016年T20);數(shù)列與方程的結(jié)合(如2015年T20)這些壓軸題難度

2、很大,綜合能力要求較高.偶考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及最值問(wèn)題考點(diǎn)(一)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算.答案:2公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a63a4,且S10a4,則的值為_(kāi)解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a63a4,得a15d3(a13d),則a12d,又S10a4,所以25.答案:253(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3,S6,則a8_.解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由S62S3,得q1,則解得則a8a1q72732.答案:324在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

3、列an中,a2,a3,a1成等差數(shù)列,則的值為_(kāi)解析:設(shè)an的公比為q且q0,因?yàn)閍2,a3,a1成等差數(shù)列,所以a1a22a3a3,即a1a1qa1q2,因?yàn)閍10,所以q2q10,解得q或q0,a3a1580,則a30,a150,由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a17a3a158aa92.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則a9a3q60,故a92,故2.答案:24設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S33,S9S612,則S6_.解析:在等比數(shù)列an中,S3,S6S3,S9S6也成等比數(shù)列,即3,S63,12成等比數(shù)列,所以(S63)231236,所以S636,所以S69或S63(舍去)答案:95(20

4、18蘇州暑假測(cè)試)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且anSnn216n15(n2,nN*),若對(duì)任意nN*,總有SnSk,則k的值是_解析:在等差數(shù)列an中,設(shè)公差為d,因?yàn)椤癮nSna1(n1)dn216n15(n2,nN*)”的二次項(xiàng)系數(shù)為1,所以1,即公差d2,令n2,得a113,所以前n項(xiàng)和Sn13n(2)14nn249(n7)2,故前7項(xiàng)和最大,所以k7.答案:7方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題求解策略(1)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中“若mnpq,則a

5、manapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn的綜合應(yīng)用必備知能自主補(bǔ)缺(一) 主干知識(shí)要記牢1等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項(xiàng)和公式Snna1d(1)q1,Sn;(2)q1,Snna12判斷等差數(shù)列的常用方法(1)定義法:an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法:anpnq(p,q為常數(shù),nN*)an是等差數(shù)列(3)中項(xiàng)公式法:2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列3判斷等比數(shù)列的常用方法(1)定義法:q(q是不為0的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法:ancqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列

6、(3)中項(xiàng)公式法:aanan2(anan1an20,nN*)an是等比數(shù)列(二) 二級(jí)結(jié)論要用好1等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)pqmnapaqaman.(2)apq,aqp(pq)apq0;SmnSmSnmnd.(3)連續(xù)k項(xiàng)的和(如Sk,S2kSk,S3kS2k,)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2mm(amam1),S偶S奇md,.(5)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m1(2m1)am,S奇mam,S偶(m1)am,S奇S偶am,.

7、針對(duì)練一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3227,則該數(shù)列的公差d_.解析:設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶,等差數(shù)列的公差為d.由已知條件,得解得又S偶S奇6d,所以d5.答案:52等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)pqmnapaqaman.(2)an,bn成等比數(shù)列anbn成等比數(shù)列(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm,S2mSm,S3mS2m,)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意:這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)(4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則q.(5)對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn,有:SmnSmqmSn;(q

8、1)課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組抓牢中檔小題1(2018南京三模)若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,nN*,且a11,S63S3,則a7的值為_(kāi)解析:由S63S3,得(1q3)S33S3.因?yàn)镾3a1(1qq2)0,所以q32,得a74.答案:42(2018南通三模)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若公差d2,a510,則S10的值是_解析:法一:因?yàn)榈炔顢?shù)列an中a5a14d10,d2,所以a12,所以S101022110.法二:在等差數(shù)列an中,a6a5d12,所以S105(a5a6)5(1012)110.答案:1103(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若4,則_.

9、解析:因?yàn)镾1010a1d10a145d,S55a1d5a110d,所以4,可得d2a1,故2.答案:24(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào))已知an是等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和若a32,S124S6,則a9的值為_(kāi)解析:由S124S6,當(dāng)q1,顯然不成立,所以q1,則4,因?yàn)?,所以1q124(1q6),即(1q6)(q63)0,所以q63或q1,所以a9a3q66或2.答案:2或65若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11,a4b48,則_.解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,則a413d8,解得d3;b41q38,解得q2.所以a2132,b21(2)2,所以1.答案

10、:16已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若3,則的值為_(kāi)解析:由題意3,化簡(jiǎn)得d4a1,則.答案:7(2018常州期末)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2a3a4a2a3a4,則a3的最小值為_(kāi)解析:依題意有a2a4a,a2a3a4(a3)3a2a3a4a323a3,整理有a3(a3)0,因?yàn)閍n0,所以a3,所以a3的最小值為.答案:8(2018鹽城期中)在數(shù)列an中,a12101,且當(dāng)2n100時(shí),an2a102n32n恒成立,則數(shù)列an的前100項(xiàng)和S100_.解析:因?yàn)楫?dāng)2n100時(shí),an2a102n32n恒成立,所以a22a100322,a32a99323,a1002a

11、232100,以上99個(gè)等式相加,得3(a2a3a100)3(22232100)3(21014),所以a2a3a10021014,又因?yàn)閍12101,所以S100a1(a2a3a100)4.答案:49(2018揚(yáng)州期末)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,且a33a,則S3_.解析:設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q,則q0,且a10,由4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,得2a34a46a5,即2a34a3q6a3q2,解得q.又由a33a,解得a1,所以S3a1a2a3.答案:10設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S1016,S100S9024,

12、則S100_.解析:依題意,S10,S20S10,S30S20,S100S90依次成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S1016,S100S9024,因此S100S902416(101)d169d,解得d,因此S10010S10d1016200.答案:20011(2018揚(yáng)州期末)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,若a4a32a22a16,則a5a6的最小值為_(kāi)解析:令a1a2t(t0),則a4a32a22a16可化為tq22t6(其中q為公比),所以a5a6tq4q46648(當(dāng)且僅當(dāng)q2時(shí)等號(hào)成立)答案:4812設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a11,an12Sn2n,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解

13、析:當(dāng)n2時(shí),an1an2(SnSn1)2n2n12an2n1,從而an12n3(an2n1)又a22a124,a226,故數(shù)列an12n是以6為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,從而an12n63n1,即an123n2n,又a112311211,故an23n12n1.答案:23n12n113數(shù)列an中,若對(duì)nN*,anan1an2k(k為常數(shù)),且a72,a93,a984,則該數(shù)列的前100項(xiàng)的和等于_解析:由anan1an2k,an1an2an3k,得an3an,從而a7a12,a9a33,a98a24,因此a1a2a39,所以S10033(a1a2a3)a13392299.答案:29914(20

14、18無(wú)錫期末)已知等比數(shù)列an滿足a2a52a3,且a4,2a7成等差數(shù)列,則a1a2an的最大值為_(kāi)解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a5a3a42a3,由于a30,可得a42.因?yàn)閍4,2a7成等差數(shù)列,所以2a42a7,可得a7,由a7a4q3,可得q,由a4a1q3,可得a116,從而ana1qn116n1.法一:令an1可得n5,故當(dāng)1n5時(shí),an1,當(dāng)n6時(shí),0an1,前n項(xiàng)積為T(mén)n,且a2a4a3,則使得Tn1的n的最小值為_(kāi)解析:由a2a4a3得aa3,又an的各項(xiàng)均為正數(shù),故a31,T5a1a2a3a4a5a1,當(dāng)n6時(shí),T6T5a6,又公比q1,a3

15、1,故a61,T61.答案:63設(shè)a1,a2,a10成等比數(shù)列,且a1a2a1032,設(shè)xa1a2a10,y,則_.解析:由a1a2a1032,得a1a2a10(a1a10)532,則a1a102,設(shè)公比為q,則a1a10aq92,因?yàn)閤a1a2a10,y,所以aq92.答案:24(2018南京考前模擬)數(shù)列an中,an2n1,現(xiàn)將an中的項(xiàng)依原順序按第k組有2k項(xiàng)的要求進(jìn)行分組:(1,3),(5,7,9,11),(13,15,17,19,21,23),則第n組中各數(shù)的和為_(kāi)解析:設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Snn2,因?yàn)?42nn(n1)n2n,242(n1)n(n1)n2n.所以第n組中

16、各數(shù)的和為Sn2nSn2n(n2n)2(n2n)24n3.答案:4n35已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若2S4S22,則S6的最小值為_(kāi)解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)?S4S22,當(dāng)q1時(shí),則8a12a12,解得a1,所以S62.當(dāng)q1時(shí),22,所以,則S6(1q2q4)2,當(dāng)且僅當(dāng)q2時(shí)取等號(hào)綜上可得S6的最小值為.答案:6(2018江蘇高考)已知集合Ax|x2n1,nN*,Bx|x2n,nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則使得Sn12an1成立的n的最小值為_(kāi)解析:所有的正奇數(shù)和2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成an,在數(shù)列an中,25前面有16個(gè)正奇數(shù),即a2125,a3826.當(dāng)n1時(shí),S1112a224,不符合題意;當(dāng)n2時(shí),S2312a336,不符合題意;當(dāng)n3時(shí),S3612a448,不符合題意;當(dāng)n4時(shí),S41012a560,不符合題意;當(dāng)n26時(shí),S264416250312a28540,符合題意故使得Sn12an1成立的n的最小值為27.答案:27

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