江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計(jì)算講義（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法數(shù)列中的基本量計(jì)算講義（含解析）小題考情分析大題考情分析?？键c(diǎn)等差數(shù)列的基本量計(jì)算(5年2考)等比數(shù)列的基本量計(jì)算(5年3考)近幾年的數(shù)列解答題，其常規(guī)類型可分為二類：一類是判斷、證明某個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列(如2017年T19)；另一類是已知等差、等比數(shù)列求基本量，這個(gè)基本量涵義很廣泛，有項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、通項(xiàng)、和式以及它們的組合式，甚至還包括相關(guān)參數(shù)(如2018年T20)數(shù)列的壓軸題還對(duì)代數(shù)推理能力的要求較高，其中數(shù)列與不等式的結(jié)合(如2018年T20,2016年T20)；數(shù)列與方程的結(jié)合(如2015年T20)這些壓軸題難度很大，綜合能力要求較高.偶考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及最值問題考點(diǎn)(一)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算.答案：2公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a63a4，且S10a4，則的值為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a63a4，得a15d3(a13d)，則a12d，又S10a4，所以25.答案：253(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由S62S3，得q1，則解得則a8a1q7×2732.答案：324在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為_解析：設(shè)an的公比為q且q>0，因?yàn)閍2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1a22×a3a3，即a1a1qa1q2，因?yàn)閍10，所以q2q10，解得q或q<0(舍去)，所以q2.答案：方法技巧等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的策略(1)在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)最基本的元素(2)在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換法的使用，以減少計(jì)算量.考點(diǎn)(二)等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題.題組練透1在等差數(shù)列an中，a5a64，則log2(2a1·2a2··2a10)_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，則2a1·2a2··2a102a1a2a1025(a5a6)25×4，log2(2a1·2a2··2a10)log225×420.答案：202(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S1530，a71，則S9的值為_解析：因?yàn)镾1530，所以30，a1a154，即2a84，a82，又因?yàn)閍71，所以公差d1，a5a72d1，S99a59.答案：93在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x80的根，則_.解析：由題知，a3a156>0，a3a158>0，則a3>0，a15>0，由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a17a3a158aa9±2.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a9a3q6>0，故a92，故2.答案：24設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S33，S9S612，則S6_.解析：在等比數(shù)列an中，S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即3，S63,12成等比數(shù)列，所以(S63)23×1236，所以S63±6，所以S69或S63(舍去)答案：95(2018·蘇州暑假測(cè)試)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn216n15(n2，nN*)，若對(duì)任意nN*，總有SnSk，則k的值是_解析：在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d，因?yàn)椤癮nSna1(n1)dn216n15(n2，nN*)”的二次項(xiàng)系數(shù)為1，所以1，即公差d2，令n2，得a113，所以前n項(xiàng)和Sn13n×(2)14nn249(n7)2，故前7項(xiàng)和最大，所以k7.答案：7方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題求解策略(1)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若mnpq，則amanapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn的綜合應(yīng)用必備知能·自主補(bǔ)缺(一) 主干知識(shí)要記牢1等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項(xiàng)和公式Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12判斷等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(3)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列3判斷等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：q(q是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項(xiàng)公式法：ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)中項(xiàng)公式法：aan·an2(an·an1·an20，nN*)an是等比數(shù)列(二) 二級(jí)結(jié)論要用好1等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)pqmnapaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)連續(xù)k項(xiàng)的和(如Sk，S2kSk，S3kS2k，)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(5)若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.針對(duì)練一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3227，則該數(shù)列的公差d_.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：52等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)pqmnap·aqam·an.(2)an，bn成等比數(shù)列anbn成等比數(shù)列(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)(4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則q.(5)對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，有：SmnSmqmSn；(q±1)課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組抓牢中檔小題1(2018·南京三模)若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a11，S63S3，則a7的值為_解析：由S63S3，得(1q3)S33S3.因?yàn)镾3a1(1qq2)0，所以q32，得a74.答案：42(2018·南通三模)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若公差d2，a510，則S10的值是_解析：法一：因?yàn)榈炔顢?shù)列an中a5a14d10，d2，所以a12，所以S1010×2×2110.法二：在等差數(shù)列an中，a6a5d12，所以S105(a5a6)5×(1012)110.答案：1103(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二)已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若4，則_.解析：因?yàn)镾1010a1d10a145d，S55a1d5a110d，所以4，可得d2a1，故2.答案：24(2018·蘇中三市、蘇北四市三調(diào))已知an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a32，S124S6，則a9的值為_解析：由S124S6，當(dāng)q1，顯然不成立，所以q1，則4，因?yàn)?，所以1q124(1q6)，即(1q6)(q63)0，所以q63或q1，所以a9a3q66或2.答案：2或65若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則a413d8，解得d3；b41·q38，解得q2.所以a2132，b21×(2)2，所以1.答案：16已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3，則的值為_解析：由題意3，化簡得d4a1，則.答案：7(2018·常州期末)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為_解析：依題意有a2a4a，a2a3a4(a3)3a2a3a4a323a3，整理有a3(a3)0，因?yàn)閍n>0，所以a3，所以a3的最小值為.答案：8(2018·鹽城期中)在數(shù)列an中，a12101，且當(dāng)2n100時(shí)，an2a102n3×2n恒成立，則數(shù)列an的前100項(xiàng)和S100_.解析：因?yàn)楫?dāng)2n100時(shí)，an2a102n3×2n恒成立，所以a22a1003×22，a32a993×23，a1002a23×2100，以上99個(gè)等式相加，得3(a2a3a100)3(22232100)3(21014)，所以a2a3a10021014，又因?yàn)閍12101，所以S100a1(a2a3a100)4.答案：49(2018·揚(yáng)州期末)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，且a33a，則S3_.解析：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則q>0，且a1>0，由4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，得2a34a46a5，即2a34a3q6a3q2，解得q.又由a33a，解得a1，所以S3a1a2a3.答案：10設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S1016，S100S9024，則S100_.解析：依題意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d10×16×200.答案：20011(2018·揚(yáng)州期末)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，若a4a32a22a16，則a5a6的最小值為_解析：令a1a2t(t>0)，則a4a32a22a16可化為tq22t6(其中q為公比)，所以a5a6tq4q46648(當(dāng)且僅當(dāng)q2時(shí)等號(hào)成立)答案：4812設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an12Sn2n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析：當(dāng)n2時(shí)，an1an2(SnSn1)2n2n12an2n1，從而an12n3(an2n1)又a22a124，a226，故數(shù)列an12n是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而an12n6×3n1，即an12×3n2n，又a112×311211，故an2×3n12n1.答案：2×3n12n113數(shù)列an中，若對(duì)nN*，anan1an2k(k為常數(shù))，且a72，a93，a984，則該數(shù)列的前100項(xiàng)的和等于_解析：由anan1an2k，an1an2an3k，得an3an，從而a7a12，a9a33，a98a24，因此a1a2a39，所以S10033(a1a2a3)a133×92299.答案：29914(2018·無錫期末)已知等比數(shù)列an滿足a2a52a3，且a4，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2··an的最大值為_解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a5a3a42a3，由于a30，可得a42.因?yàn)閍4，2a7成等差數(shù)列，所以2×a42a7，可得a7，由a7a4q3，可得q，由a4a1q3，可得a116，從而ana1qn116×n1.法一：令an1可得n5，故當(dāng)1n5時(shí)，an1，當(dāng)n6時(shí)，0<an<1，所以當(dāng)n4或5時(shí)，a1·a2··an的值最大，為1 024.法二：令Tna1·a2··an24×23×22××25n2432(5n)22.因?yàn)閚N*，所以當(dāng)且僅當(dāng)n4或5時(shí)，取得最大值10，從而Tn取得最大值T102101 024.答案：1 024B組力爭難度小題1已知函數(shù)f(x)x2axb(a0，b0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)m，n，且m，n和2三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后，既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則ab的值為_解析：由題意可得mna，mnb，因?yàn)閍0，b0，可得m0，n0，又m，n，2這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后可成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，可得或解得m4，n1，解得m1，n4.所以a5，b4，則ab9.答案：92已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比q>1，前n項(xiàng)積為Tn，且a2a4a3，則使得Tn>1的n的最小值為_解析：由a2a4a3得aa3，又an的各項(xiàng)均為正數(shù)，故a31，T5a1a2a3a4a5a1，當(dāng)n6時(shí)，T6T5·a6，又公比q>1，a31，故a6>1，T6>1.答案：63設(shè)a1，a2，a10成等比數(shù)列，且a1a2··a1032，設(shè)xa1a2a10，y，則_.解析：由a1a2··a1032，得a1a2··a10(a1a10)532，則a1a102，設(shè)公比為q，則a1a10aq92，因?yàn)閤a1a2a10，y，所以aq92.答案：24(2018·南京考前模擬)數(shù)列an中，an2n1，現(xiàn)將an中的項(xiàng)依原順序按第k組有2k項(xiàng)的要求進(jìn)行分組：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，則第n組中各數(shù)的和為_解析：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Snn2，因?yàn)?42nn(n1)n2n,242(n1)n(n1)n2n.所以第n組中各數(shù)的和為Sn2nSn2n(n2n)2(n2n)24n3.答案：4n35已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若2S4S22，則S6的最小值為_解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)?S4S22，當(dāng)q1時(shí)，則8a12a12，解得a1，所以S62.當(dāng)q1時(shí)，2×2，所以，則S6(1q2q4)2，當(dāng)且僅當(dāng)q2時(shí)取等號(hào)綜上可得S6的最小值為.答案：6(2018·江蘇高考)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an1成立的n的最小值為_解析：所有的正奇數(shù)和2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成an，在數(shù)列an中，25前面有16個(gè)正奇數(shù)，即a2125，a3826.當(dāng)n1時(shí)，S11<12a224，不符合題意；當(dāng)n2時(shí)，S23<12a336，不符合題意；當(dāng)n3時(shí)，S36<12a448，不符合題意；當(dāng)n4時(shí)，S410<12a560，不符合題意；當(dāng)n26時(shí)，S2644162503<12a27516，不符合題意；當(dāng)n27時(shí)，S2748462546>12a28540，符合題意故使得Sn>12an1成立的n的最小值為27.答案：27