高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理1函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想,是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等(2)方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識,用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題方程思想是動中求靜,研究運(yùn)動中的等量

2、關(guān)系2和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對函數(shù)yf(x),當(dāng)y0時(shí),就化為不等式f(x)0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要(3)在三角函數(shù)求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式,那么問題就能化為未知量的方程來解(4)解析幾何中的許多問題,例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)

3、式的方法加以解決,建立空間直角坐標(biāo)系后,立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.熱點(diǎn)一函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例1(1)f(x)ax33x1對于x1,1總有f(x)0成立,則a_.(2)設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0,且g(3)0,則不等式f(x)g(x)0即x(0,1時(shí),f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x),則g(x),所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)maxg4,從而a4;當(dāng)x0即x1,0)時(shí),f(x)ax33x10可化為a,設(shè)g(x),且g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增,因此g(x)ming(1)4,從而a4,綜上a4.(2)設(shè)F

4、(x)f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù)又當(dāng)x0,所以x0時(shí),F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因?yàn)镕(3)f(3)g(3)0F(3)所以,由圖可知F(x)0或f(x)0或f(x)maxCm Dm0恒成立,所以f(x)在1,)上是增函數(shù),故當(dāng)x1時(shí),f(x)minf(1)3,即當(dāng)n1時(shí),(bn)max,要使對任意的正整數(shù)n,不等式bnk恒成立,則須使k(bn)max,所以實(shí)數(shù)k的最小值為.思維升華(1)等差(比)數(shù)列中各有5個(gè)基本量,建立方程組可“知三求二”;(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或

5、其有限子集的函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式,因此在解決數(shù)列問題時(shí),應(yīng)注意利用函數(shù)的思想求解(1)(xx江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a21,a8a62a4,則a6的值是_(2)已知函數(shù)f(x)()x,等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n)c,則an的最小值為()A1 B1C. D答案(1)4(2)D解析(1)因?yàn)閍8a2q6,a6a2q4,a4a2q2,所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2,消去a2q2,得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2q220,解得q22,a6a2q41224.(2)由題設(shè),得a1f(1)cc;a2f(2)cf(1)c;a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)

6、列an是等比數(shù)列,()2(c)(),c1.又公比q,an()n12()n,nN*.且數(shù)列 an是遞增數(shù)列,n1時(shí),an有最小值a1.熱點(diǎn)三函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用例3已知橢圓C:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí),求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1x2,x1x2.所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d,所以AMN的面積為S|MN|d.由,解

7、得k1.所以,k的值為1或1.思維升華幾何最值是高考的熱點(diǎn),在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決(1)(xx安徽)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x21(0b1,則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(1,) B(,)C, D(,)答案(1)x2y21(2)B解析(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),x21,且0b1時(shí),01,所以2e25,即ebc BacbCcab Dcba答案C解析0a201,blog21,即0a1,b1,所以cab.2(xx福建)設(shè)P,

8、Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A5 B.C7 D6答案D解析如圖所示,設(shè)以(0,6)為圓心,以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r0),與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組,消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0,解得r250,即r5.由題意易知P,Q兩點(diǎn)間的最大距離為r6,故選D.3(xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線yax2(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行,則ab的值是_答案3解析yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax,直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.4(xx福建)要制

9、作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是_(單位:元)答案160解析設(shè)該長方體容器的長為x m,則寬為 m又設(shè)該容器的造價(jià)為y元,則y2042(x)10,即y8020(x)(x0)因?yàn)閤24(當(dāng)且僅當(dāng)x,即x2時(shí)取“”),所以ymin80204160(元)押題精練1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(1)2,對任意xR,f(x)2,則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,)答案B解析f(x)2轉(zhuǎn)化為f(x)20,構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)2x,得F(x)在R上是增函數(shù)又F(1)f

10、(1)2(1)4,f(x)2x4,即F(x)4F(1),所以x1.2設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2,g(x)ln x的圖象分別交于點(diǎn)M、N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為()A1 B. C. D.答案D解析可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.令F(x)x2ln x,F(xiàn)(x)2x,所以當(dāng)0x時(shí),F(xiàn)(x)時(shí),F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)xt時(shí),F(xiàn)(x)有最小值,即|MN|達(dá)到最小3(xx遼寧)當(dāng)x2,1時(shí),不等式ax3x24x30恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A5,3 B6,C6,2 D4,3答案C解析當(dāng)x0時(shí),ax3x24x30變?yōu)?0恒成立,即aR.當(dāng)x(0,1時(shí),ax3x24x3

11、,a,所以amax.設(shè)(x),所以(x)0,所以(x)在(0,1上遞增,(x)max(1)6.所以a6.當(dāng)x2,0)時(shí),a,所以amin.仍設(shè)(x),(x).當(dāng)x2,1)時(shí),(x)0,(x)在(1,0)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x1時(shí),(x)有極小值,即為最小值而(x)min(1)2,所以a2.綜上知6a2.4若關(guān)于x的方程(22|x2|)22a有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1,2)解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有實(shí)根,只需2a是f(x)的值域內(nèi)的值f(x)的值域?yàn)?,4),1a24,1a0,即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0,1a且a0.設(shè)A(x1,y1),B(

12、x2,y2),且x10,x1x2.設(shè)點(diǎn)O到直線g(x)xa的距離為d,則d,S|x1x2| .1a1),M:(x1)2y21,P為橢圓G上一點(diǎn),過P作M的兩條切線PE、PF,E、F分別為切點(diǎn)(1)求t|的取值范圍;(2)把表示成t的函數(shù)f(t),并求出f(t)的最大值、最小值解(1)設(shè)P(x0,y0),則1(a1),y(a21),t2|2(x01)2y(x01)2(a21)2,t.ax0a,a1ta1(a1)(2)|cosEPF|2(2cos2EPM1)(|21)(t21)t23,f(t)t23(a1ta1)對于函數(shù)f(t)t23(t0),顯然在t(0,時(shí),f(t)單調(diào)遞減,在t,)時(shí),f(t)單調(diào)遞增對于函數(shù)f(t)t23(a1ta1),當(dāng)a1,即a1時(shí),f(t)maxf(a1)a22a2,f(t)minf(a1)a22a2;當(dāng)a1時(shí),f(t)maxf(a1)a22a2,f(t)minf()23;當(dāng)1a 時(shí),f(t)maxf(a1)a22a2,f(t)minf()23.

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