高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理1函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系2和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要(3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問題就能化為未知量的方程來解(4)解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.熱點一函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例1(1)f(x)ax33x1對于x1,1總有f(x)0成立，則a_.(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是_答案(1)4(2)(，3)(0,3)解析(1)若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)x<0即x1,0)時，f(x)ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，且g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上a4.(2)設(shè)F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)又當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0，所以x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以x>0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由圖可知F(x)<0的解集是(，3)(0,3)思維升華(1)在解決不等式問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題；(2)函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可轉(zhuǎn)化為f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解(1)若2x5y2y5x，則有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0(2)已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()Am Bm>Cm Dm<答案(1)B(2)A解析(1)把不等式變形為2x5x2y5y，構(gòu)造函數(shù)y2x5x，其為R上的增函數(shù)，所以有xy.(2)因為函數(shù)f(x)x42x33m.所以f(x)2x36x2，令f(x)0得x0或x3，經(jīng)檢驗知x3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m，故選A.熱點二函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例2已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項和為Sn，設(shè)bn，若對任意的nN*，不等式bnk恒成立，求實數(shù)k的最小值解(1)因為a12，aa2·(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式an2n.(2)因為Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.思維升華(1)等差(比)數(shù)列中各有5個基本量，建立方程組可“知三求二”；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應(yīng)注意利用函數(shù)的思想求解(1)(xx·江蘇)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_(2)已知函數(shù)f(x)()x，等比數(shù)列an的前n項和為f(n)c，則an的最小值為()A1 B1C. D答案(1)4(2)D解析(1)因為a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41×224.(2)由題設(shè)，得a1f(1)cc；a2f(2)cf(1)c；a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)列an是等比數(shù)列，()2(c)×()，c1.又公比q，an()n12()n，nN*.且數(shù)列 an是遞增數(shù)列，n1時，an有最小值a1.熱點三函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用例3已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時，求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|MN|.又因為點A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|·d.由，解得k±1.所以，k的值為1或1.思維升華幾何最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決(1)(xx·安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(2)若a>1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(，)C， D(，)答案(1)x2y21(2)B解析(1)設(shè)點B的坐標(biāo)為(x0，y0)，x21，且0<b<1，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)AF2x軸，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.點B的坐標(biāo)為.將點B代入x21，得b2.橢圓E的方程為x2y21.(2)e2()21(1)2，因為當(dāng)a>1時，0<<1，所以2<e2<5，即<e<.1在高中數(shù)學(xué)的各個部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個方程，如等差數(shù)列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當(dāng)題目與這些問題有關(guān)時，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2當(dāng)問題中涉及一些變化的量時，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的答案，這就需要使用函數(shù)思想3借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，二是在問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解4許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個處于突出的主導(dǎo)地位，把這個參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質(zhì)就是分離參變量.真題感悟1(xx·遼寧)已知a2，blog2，c，則()Aa>b>c Ba>c>bCc>a>b Dc>b>a答案C解析0<a<201，blog2<log210，c>1，即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.2(xx·福建)設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A5 B.C7 D6答案D解析如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r>0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知P，Q兩點間的最大距離為r6，故選D.3(xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.4(xx·福建)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_(單位：元)答案160解析設(shè)該長方體容器的長為x m，則寬為 m又設(shè)該容器的造價為y元，則y20×42(x)×10，即y8020(x)(x>0)因為x24(當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時取“”)，所以ymin8020×4160(元)押題精練1函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析f(x)>2轉(zhuǎn)化為f(x)2>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)2x，得F(x)在R上是增函數(shù)又F(1)f(1)2×(1)4，f(x)>2x4，即F(x)>4F(1)，所以x>1.2設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點M、N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為()A1 B. C. D.答案D解析可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.令F(x)x2ln x，F(xiàn)(x)2x，所以當(dāng)0<x<時，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，F(xiàn)(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xt時，F(xiàn)(x)有最小值，即|MN|達(dá)到最小3(xx·遼寧)當(dāng)x2,1時，不等式ax3x24x30恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A5，3 B6，C6，2 D4，3答案C解析當(dāng)x0時，ax3x24x30變?yōu)?0恒成立，即aR.當(dāng)x(0,1時，ax3x24x3，a，所以amax.設(shè)(x)，所以(x)>0，所以(x)在(0,1上遞增，(x)max(1)6.所以a6.當(dāng)x2,0)時，a，所以amin.仍設(shè)(x)，(x).當(dāng)x2，1)時，(x)<0，(x)在2，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(1,0)時，(x)>0，(x)在(1,0)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x1時，(x)有極小值，即為最小值而(x)min(1)2，所以a2.綜上知6a2.4若關(guān)于x的方程(22|x2|)22a有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案1,2)解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有實根，只需2a是f(x)的值域內(nèi)的值f(x)的值域為1,4)，1a2<4，1a<2.5已知函數(shù)f(x)ax2ax和g(x)xa，其中aR，且a0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標(biāo)原點，試求OAB的面積S的最大值解依題意，f(x)g(x)，即ax2axxa，整理得ax2(a1)xa0，a0，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點A、B，>0，即(a1)24a23a22a1(3a1)·(a1)>0，1<a<且a0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2，由得x1x21>0，x1x2.設(shè)點O到直線g(x)xa的距離為d，則d，S|x1x2|· .1<a<且a0，當(dāng)a時，S取得最大值.即OAB的面積S的最大值為.6.如圖，已知橢圓G：1(a>1)，M：(x1)2y21，P為橢圓G上一點，過P作M的兩條切線PE、PF，E、F分別為切點(1)求t|的取值范圍；(2)把·表示成t的函數(shù)f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值解(1)設(shè)P(x0，y0)，則1(a>1)，y(a21)，t2|2(x01)2y(x01)2(a21)2，t.ax0a，a1ta1(a>1)(2)·|cosEPF|2(2cos2EPM1)(|21)(t21)t23，f(t)t23(a1ta1)對于函數(shù)f(t)t23(t>0)，顯然在t(0，時，f(t)單調(diào)遞減，在t，)時，f(t)單調(diào)遞增對于函數(shù)f(t)t23(a1ta1)，當(dāng)a>1，即a1>時，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf(a1)a22a2；當(dāng)a1時，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf()23；當(dāng)1<a< 時，f(t)maxf(a1)a22a2，f(t)minf()23.