(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點強(qiáng)化專題 專題5 平面解析幾何 突破點11 直線與圓教學(xué)案

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1、專題五平面解析幾何建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點撥平面解析幾何是浙江新高考的重點內(nèi)容,常以“兩小一大”呈現(xiàn),兩小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系雙曲線的圖象和性質(zhì)(有時考查拋物線的圖象和性質(zhì)),一大題??疾橐詸E圓(或拋物線)為背景的圖象和性質(zhì)問題基于上述分析,本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)”“圓錐曲線中的綜合問題”三條主線引領(lǐng)復(fù)習(xí)和提升突破點11直線與圓 (對應(yīng)學(xué)生用書第41頁)核心知識提煉提煉1 圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2,特別地,當(dāng)圓心在原點時,方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0,其

2、中D2E24F0,表示以為圓心,為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關(guān)問題的兩個關(guān)鍵點(1)三個定理:切線的性質(zhì)定理,切線長定理,垂徑定理(2)兩個公式:點到直線的距離公式d,弦長公式|AB|2(弦心距d)提煉3求距離最值問題的本質(zhì)(1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為|PC|r,最小值為|PC|r,其中r為圓的半徑(2)圓上的點到直線的最大距離是dr,最小距離是dr,其中d為圓心到直線的距離,r為圓的半徑(3)過圓內(nèi)一點,直徑是最長的弦,與此直徑垂直的弦是最短的弦高考真題回訪回訪1兩條直線的位置關(guān)系1(2012浙江高考)設(shè)aR,則“a1”是“直線l1:ax2y10與直線l2:x(a1)y

3、40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件A若直線l1與l2平行,則a(a1)210,即a2或a1,所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件2(2011浙江高考)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直,則實數(shù)m_.1直線x2y50與直線2xmy60互相垂直,22m0,m1.回訪2圓的方程3(2016浙江高考)已知aR方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓,則圓心坐標(biāo)是_,半徑是_(2,4)5由二元二次方程表示圓的條件可得a2a2,解得a2或1.當(dāng)a2時,方程為4x24y24x8y100,即x2y2x2y0,配方得2(y1)20,不表示

4、圓;當(dāng)a1時,方程為x2y24x8y50,配方得(x2)2(y4)225,則圓心坐標(biāo)為(2,4),半徑是5.4(2015浙江高考)已知實數(shù)x,y滿足x2y21,則|2xy4|6x3y|的最大值是_15x2y21,2xy40,|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y,如圖,設(shè)OA與直線3x4y0垂直,直線OA的方程為yx.聯(lián)立得A,當(dāng)z103x4y過點A時,z取最大值,zmax103415.5(2013浙江高考)如圖111,點P(0,1)是橢圓C1:1(ab0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A

5、,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.圖111(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程解(1)由題意得2分所以橢圓C的方程為y21.5分(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為ykx1.6分又圓C2:x2y24,故點O到直線l1的距離d,所以|AB|22.7分又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0,所以|PD|.8分設(shè)ABD的面積為S,則S|AB|PD|,11分所以S,當(dāng)且僅當(dāng)k時取等號所以所求直線l1的方程為yx1.15分回訪3直線與圓、圓

6、與圓的位置關(guān)系6(2014浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是()A2B4C6D8B由圓的方程x2y22x2ya0可得,圓心為(1,1),半徑r.圓心到直線xy20的距離為d.由r2d22得2a24,所以a4.7(2013浙江高考)直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長等于_4 圓的方程可化為(x3)2(y4)225,故圓心為(3,4),半徑r5.又直線方程為2xy30,所以圓心到直線的距離為d,所以弦長為2 224 .8(2015浙江高考)如圖112,已知拋物線C1:yx2,圓C2:x2(y1)21,過點P(t,0)(t0)作不過原點O的

7、直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點圖112(1)求點A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積解(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為yk(xt).2分由消去y,整理得x24kx4kt0,由于直線PA與拋物線相切,得kt.3分因此,點A的坐標(biāo)為(2t,t2)設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標(biāo)為(x0,y0)由題意知:點B,O關(guān)于直線PD對稱,故5分解得因此,點B的坐標(biāo)為.7分(2)由(1)知|AP|t,直線PA的方程為txyt20.點B到直線PA的距離是d.11分設(shè)PAB的面積為S(t),則S(t)|AP|d.15分(對應(yīng)學(xué)生用書第43頁)熱點題型1圓的方

8、程題型分析:求圓的方程是高考考查的重點內(nèi)容,常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.【例1】(1)已知圓C關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過點A(1,0),且被x軸分成的兩段弧長之比為12,則圓C的方程為_(2)已知M的圓心在第一象限,過原點O被x軸截得的弦長為6,且與直線3xy0相切,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因為圓C關(guān)于y軸對稱,所以圓C的圓心C在y軸上,可設(shè)C(0,b),設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意,得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一:設(shè)M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0,b0,r0),由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)

9、210.法二:因為圓M過原點,故可設(shè)方程為x2y2DxEy0,又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限,則232,故D6,與3xy0相切,則,即ED2,因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)210.方法指津求圓的方程的兩種方法1幾何法,通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練1(1)(2017溫州市普通高中高考模擬考試)圓x2y22y30的圓心坐標(biāo)是_,半徑是_(2)拋物線y24x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A,B兩點,其準(zhǔn)線與x軸的交點為M,則過M,A,B三點的圓

10、的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)(0,1)2(2)(x1)2y24(1)化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,得x2(y1)24,由此知該圓的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為2.(2)由題意知,A(1,2),B(1,2),M(1,0),AMB是以點M為直角頂點的直角三角形,則線段AB是所求圓的直徑,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.熱點題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型分析:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點內(nèi)容,解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.【例2】(1)已知直線l:mxy3m0與圓x2y212交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點若|AB|2,則|CD|_.4由直線l:mxy3m

11、0知其過定點(3,),圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212,解得m.又直線l的斜率為m,所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示,過點C作CEBD,則DCE.在RtCDE中,可得|CD|24.(2)(2017金華十校聯(lián)考)如圖113,已知圓G:(x2)2y2r2是橢圓y21的內(nèi)接ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點求圓G的半徑r;過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點,證明:直線EF與圓G相切圖113解設(shè)B(2r,y0),過圓心G作GDAB于D,BC交長軸于H.由得,即y0,2分而B(2r,y0)在橢圓上,y1,3分由式得15r28r120,解得r或r(舍去)

12、.5分證明:設(shè)過點M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1,則,即32k236k50,解得k1,k2.將代入y21得(16k21)x232kx0,則異于零的解為x.8分設(shè)F(x1,k1x11),E(x2,k2x21),則x1,x2,12分則直線FE的斜率為kEF,于是直線FE的方程為y1.即yx,則圓心(2,0)到直線FE的距離d,故結(jié)論成立.15分方法指津1直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時,要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn),兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)

13、是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,所以求切線方程時主要選擇點斜式,過圓外一點求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點的距離,利用勾股定理計算2弦長的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形,把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l2(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式:l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo),k為直線的斜率)(3)求出交點坐標(biāo),用兩點間距離公式求解變式訓(xùn)練2(1)(2017金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)如圖114,圓M和圓N

14、與直線l:ykx分別相切于A,B,與x軸相切,并且圓心連線與l交于點C,若|OM|ON|且2,則實數(shù)k的值為() 【導(dǎo)學(xué)號:68334120】圖114A1B.C.D.D分別過點M,N作x軸的垂線,垂足分別為E,F(xiàn).由題意,得MACNBC,由2,知|MA|2|NB|.又由x軸與直線ykx是兩個圓的公切線知MON90,|MA|ME|,|NB|NF|,結(jié)合|OM|ON|,知|ME|2|NF|,OMENOF,所以|OF|ME|2|NF|,所以tanNOF,則tanBOFtan 2NOF,故選D.(2)已知點M(1,0),N(1,0),曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N距離的倍求曲線E的方程;已知m

15、0,設(shè)直線l1:xmy10交曲線E于A,C兩點,直線l2:mxym0交曲線E于B,D兩點C,D兩點均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時,求線段AB的長解設(shè)曲線E上任意一點坐標(biāo)為(x,y),由題意,2分整理得x2y24x10,即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2,且兩條直線均恒過點N(1,0),設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),線段CD的中點為P,則直線EP:yx2,設(shè)直線CD:yxt,由解得點P.7分由圓的幾何性質(zhì),|NP|CD|,而|NP|222,|ED|23,|EP|22,2232,解得t0或t3,又C,D兩點均在x軸下方,直線CD:yx.由解得或9分設(shè)C,D,由消去y得:(u21)x22(u22)xu210,(*)方程(*)的兩根之積為1,所以點A的橫坐標(biāo)xA2,又因為點C在直線l1:xmy10上,解得m1,11分直線l1:y(1)(x1),所以A(2,1),同理可得,B(2,1),所以線段AB的長為2.15分10

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