2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課時(shí)作業(yè)1已知F為雙曲線C:x2my23m(m0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.B3C.m D3m解析:雙曲線方程為1,焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為.選A.答案:A2已知雙曲線1(a0)的離心率為2,則a()A2 BC. D1解析:因?yàn)殡p曲線的方程為1,所以e214,因此a21,a1.選D.答案:D3雙曲線x24y21的漸近線方程為()Ax2y0 By2x0Cx4y0 Dy4x0解析:依題意,題中的雙曲線即x21,因此其漸近線方程是x20,即x2y0,選A.答案:A4已知雙曲線y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,

2、點(diǎn)P在雙曲線上,且滿足|PF1|PF2|2,則PF1F2的面積為()A1 BC. D解析:在雙曲線y21中,a,b1,c2.不防設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上,則有|PF1|PF2|2a2,又|PF1|PF2|2,|PF1|,|PF2|.又|F1F2|2c4,而|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,PF1PF2,SPF1F2|PF1|PF2|()()1.故選A.答案:A5已知雙曲線C:1(a0,b0),直線l:y2x2.若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A1 B2C. D4解析:根據(jù)題意,雙曲線C的方程為1(a0,b0),其焦點(diǎn)在x軸上,漸近線

3、方程為yx,又由直線l平行于雙曲線C的一條漸近線,可知2,直線l:y2x2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),即a1,則b2a2,故雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,故選B.答案:B6已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為()A. B2C. D2解析:不妨設(shè)雙曲線的方程為1(a0,b0),因?yàn)榻裹c(diǎn)F(c,0)到漸近線bxay0的距離為a,所以a,即a,所以1,所以該雙曲線的離心率e ,故選C.答案:C7已知雙曲線C:1的離心率e,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析:由題意得e,又右焦點(diǎn)為F2(

4、5,0),a2b2c2,所以a216,b29,故雙曲線C的方程為1.答案:C8已知雙曲線1(a0,b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,則雙曲線的方程為()A.y21 Bx21C.1 D1解析:由題意得c,則a2,b1,所以雙曲線的方程為y21.答案:A9(2018山西八校聯(lián)考)已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c,直線y(xc)與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)P滿足PF2F12PF1F2,則雙曲線的離心率e為()A. BC21 D1解析:直線y(xc)過(guò)左焦點(diǎn)F1,且其傾斜角為30,PF1F230,PF2F160,F(xiàn)2PF190,即F1PF2P.|PF

5、2|F1F2|c,|PF1|F1F2|sin 60c,由雙曲線的定義得2a|PF1|PF2|cc,雙曲線C的離心率e1,選D.答案:D10已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線C上一點(diǎn),若|PF1|PF2|6a,且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30,則雙曲線C的漸近線方程是()A.xy0 Bxy0C2xy0 Dx2y0解析:不妨設(shè)|PF1|PF2|,則所以|PF1|4a,|PF2|2a,且|F1F2|2c,即|PF2|為最小邊,即PF1F230,則PF1F2為直角三角形,所以2c2a,所以ba,即漸近線方程為yx,故選A.答案:A11已知雙曲線C:1(a0,b0)的焦距為

6、10,點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上,則C的方程為()A.1 B1C.1 D1解析:依題意,解得,雙曲線C的方程為1.答案:A12已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),且漸近線方程為yx,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析:法一:因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,)且漸近線方程為yx,故點(diǎn)(4,)在直線yx的下方設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0,b0),所以,解得故雙曲線方程為y21.法二:因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為yx,故可設(shè)雙曲線為y2(0),又雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),所以()2,所以1,故雙曲線方程為y21.答案:y2113雙曲線:1(a0,b0)的焦距為10,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則的實(shí)軸長(zhǎng)等于_解析:雙曲線的焦點(diǎn)(0,5

7、)到漸近線yx,即axby0的距離為b3,所以a4,2a8.答案:814已知雙曲線C:1(a0,b0)與橢圓1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線C的漸近線方程為y2x,則雙曲線C的方程為_(kāi)解析:易得橢圓的焦點(diǎn)為(,0),(,0),a21,b24,雙曲線C的方程為x21.答案:x2115(2018合肥市質(zhì)檢)雙曲線M:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線xa與雙曲線M的漸近線交于點(diǎn)P,若sinPF1F2,則該雙曲線的離心率為_(kāi)解析:不妨設(shè)P為直線xa與雙曲線M的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),因?yàn)閟inPF1F2,所以|PF1|3b,所以(ac)2b29b2,即9a22ac7

8、c20,7e22e90,又e1,解得e.答案:B組能力提升練1已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A(1, B(1,2C,) D2,)解析:2|4|2c|,又|a,a,即c2a,e2.故選D.答案:D2若實(shí)數(shù)k滿足0k9,則曲線1與曲線1的()A離心率相等 B虛半軸長(zhǎng)相等C實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D焦距相等解析:由0k0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1解析:根據(jù)圓和雙曲線的對(duì)稱性,可知四邊形AB

9、CD為矩形雙曲線的漸近線方程為yx,圓的方程為x2y24,不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限,由yx,x2y24得xA,yA,故四邊形ABCD的面積為4xAyA2b,解得b212,故所求的雙曲線方程為1,選D.答案:D6已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則此雙曲線的方程為()A.1 B1C.1 D1解析:因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),所以c5,又c2a2b2,所以a3,b4,所以此雙曲線的方程為1.答案:C7過(guò)雙曲線1(a0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,垂足為點(diǎn)A,與另一條漸近

10、線交于點(diǎn)B,若2,則此雙曲線的離心率為()A. BC2 D解析:不妨設(shè)B(x,x),|OB|c,可取B(a,b),由題意可知點(diǎn)A為BF的中點(diǎn),所以A(,),又點(diǎn)A在直線yx上,則,c2a,e2.答案:C8若直線l1和直線l2相交于一點(diǎn),將直線l1繞該點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2第一次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角為,則角就稱為l1到l2的角,tan ,其中k1,k2分別是l1,l2的斜率,已知雙曲線E:1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,A是右頂點(diǎn),P是直線x上的一點(diǎn),e是雙曲線的離心率,直線PA到PF的角為,則tan 的最大值為()A. BC. D解析:設(shè)PA,PF的斜率分別為k3,k4,由題意可知tan ,不妨設(shè)P(,

11、y)(y0),則k3,k4.令ma,nc,則tan ,由mnca0,得當(dāng)y取得最小值時(shí)tan 取最大值,又y0,m0,n0,b0)的左焦點(diǎn)F1,作圓x2y2a2的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)P,切點(diǎn)為T,PF1的中點(diǎn)M在第一象限,則以下結(jié)論正確的是()Aba|MO|MT|Bba|MO|MT|Cba0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn),以點(diǎn)F為圓心的圓與C的漸近線相切,且與C交于A,B兩點(diǎn),若AFx軸,則C的離心率為_(kāi)解析:不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn),則F(c,0),易知雙曲線的漸近線方程為yx,則雙曲線的焦點(diǎn)F到漸近線的距離db,所以圓F的半徑為b.在雙曲線方程中,令xc,得y,所以A(c,)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓F上,所以b

12、,即ab,所以ca,所以e.答案:11雙曲線1(a0,b0)上一點(diǎn)M(3,4)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)F2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析:不妨設(shè)雙曲線1的右焦點(diǎn)F2(c,0)關(guān)于漸近線yx對(duì)稱的點(diǎn)在雙曲線上,則過(guò)焦點(diǎn)F2且垂直于該漸近線的直線方程為y0(xc),即y(xc)聯(lián)立可得方程組解得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得F2關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,),將其代入雙曲線的方程可得1,化簡(jiǎn)可得c25a2,c2a2b25a2,所以b24a2.因?yàn)镸(3,4)在雙曲線1上,所以1,1,所以a25,b220,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案:112設(shè)雙曲線x21的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲

13、線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析:由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,現(xiàn)考慮兩種極限情況:當(dāng)PF2x軸時(shí),|PF1|PF2|有最大值8;當(dāng)P為直角時(shí),|PF1|PF2|有最小值2.因?yàn)镕1PF2為銳角三角形,所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2,8)答案:(2,8)13(2018沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知P是雙曲線y21上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線,垂足分別為A,B,則的值是_解析:設(shè)P(x0,y0),因?yàn)樵撾p曲線的漸近線分別是y0,y0,所以可取|PA|,|PB|,又cosAPBcosAOBcos2AOxcos ,所以|cosAPB()().答案:

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