（江蘇專用）2020版高考數學二輪復習 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學案 文 蘇教版

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1、第1講直線與圓 2019考向導航考點掃描三年考情考向預測2019201820171直線方程與兩直線的位置關系第12題本講命題熱點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、圓的方程、直線與圓的位置關系(特別是弦長、切線問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現，多考查其幾何圖形的性質或方程知識2圓的方程3直線與圓的位置關系第13題1必記的概念與定理(1)直線方程的五種形式點斜式：yy1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)兩點式：(直線過點P1(x1，

2、y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)截距式：1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)一般式：AxByC0(其中A，B不同時為0)(2)圓的方程的兩種形式圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2記住幾個常用的公式與結論(1)點到直線的距離公式點P(x1，y1)到直線l：AxByC0的距離d(2)兩條平行線間的距離公式兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d(3)若直線l1和l2有斜截式方程l1yk1xb1，l2yk2xb2，則直線l1l2

3、的充要條件是k1k21(4)設l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20則l1l2A1A2B1B20(5)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0；AC0；D2E24AF0(6)常用到的圓的幾個性質直線與圓相交時應用垂徑定理構成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；圓的對稱性：圓關于圓心成中心對稱，關于任意一條過圓心的直線成軸對稱兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程3需要關注的易錯易混點(1)在判斷兩條直線的位置關系時，首先應

4、分析直線的斜率是否存在，兩條直線都有斜率時，可根據斜率的關系作出判斷，無斜率時，要單獨考慮(2)在使用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時，直線方程必須先化為AxByC0的形式，否則會出錯直線方程與兩直線的位置關系典型例題 (1)(2018高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D若0，則點A的橫坐標為_(2)(2019徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)已知a，b為正數，且直線axby60與直線2x(b3)y50互相平行，則2a3b的最小值為_【解析】(1)因為0，所以ABCD，又點C為AB的中點，所以

5、BAD45設直線l的傾斜角為，直線AB的斜率為k，則tan 2，ktan3又B(5，0)，所以直線AB的方程為y3(x5)，又A為直線l：y2x上在第一象限內的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點A的橫坐標為3(2)法一：由兩條直線平行得且，化簡得a0，得b3，故2a3b3b3(b3)9133(b3)13225，當且僅當3(b3)，即b5或b1(舍去)時等號成立，故(2a3b)min25法二：由兩條直線平行得且，化簡得1，故2a3b(2a3b)1313225，當且僅當且1，即ab5時等號成立，故(2a3b)min25【答案】(1)3(2)25(1)在求直線方程時，應選擇適當的形式，并注

6、意各種形式的適用條件對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(2)求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負倒數”若出現斜率不存在的情況，可考慮用數形結合的方法去研究對點訓練1直線4axy1與直線(1a)xy1互相垂直，則a_解析 由題可得：4a(1a)10，即4a24a10，故a答案 2(2019南京、鹽城高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kxy20與直線l2：xky20相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線xy40的距離的最大值為_解析 由題意可得直線l1恒過定點A(0，2)，直線l2恒過定點B(2，0)

7、，且l1l2，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓，圓的方程為(x1)2(y1)22圓心(1，1)到直線xy40的距離為2，則點P到直線xy40的距離的最大值為3答案 3圓的方程典型例題 (1)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_(2)(2019南通市高三第一次調研測試)在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點，點A(1，1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為_【解析】(1)直線mxy2m10經過定點(2，1)當圓與直線相切于點(2，1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2(12)2(01)22，

8、故所求圓的標準方程為(x1)2y22(2)設BC的中點為M(x，y)，因為OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，化簡得，所以點M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又A與的距離為，所以AM的取值范圍是，所以BC的取值范圍是，【答案】(1)(x1)2y22(2)，在解題時選擇設標準方程還是一般方程的一般原則是：如果由已知條件易得圓心坐標、半徑或可用圓心坐標、半徑列方程(組)，則通常選擇設圓的標準方程，否則選擇設圓的一般方程對點訓練3圓C經過坐標原點和點(4，0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_解析 因為圓C經過原點O(0，0)和點P(4，0)，所以線段OP的垂直平分線

9、x2過圓C的圓心，設圓C的方程為(x2)2(yb)2r2，又圓C過點O(0，0)且與直線y1相切，所以b222r2，且|1b|r，解得b，r，所以圓C的方程為(x2)2答案 (x2)2直線與圓的位置關系典型例題 (1)在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；設點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，

10、求實數t的取值范圍【解】(1)圓心為(2，1)，半徑r2圓心到直線的距離d，所以弦長為22故填(2)圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5由圓心N在直線x6上，可設N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y00，c0)恒過點P(1，m)，且Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，則的最小值為_解析 動直線l0：axbyc20(a0，c0)恒過點P(1，m)，所以abmc20又Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，所以 3，解得m0所以ac2又a0，c0，所以(ac)，當且僅當c2a時取等號答案 4已知以原點O為圓心的圓與直線l：ymx(34m)，

11、(mR)恒有公共點，且要求使圓O的面積最小，則圓O的方程為_解析 因為直線l：ymx(34m)過定點T(4，3)，由題意，要使圓O的面積最小，則定點T(4，3)在圓上，所以圓O的方程為x2y225答案 x2y2255(2019南京高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為_解析 由題意可得圓N與圓M內切或內含，則|ON|2恒成立，即|ON|min|OM|12，|OM|3，即a2(a3)29，又a0，得a3，則a的最小值是3答案 36(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調研)已知直線l：

12、mxy2m10，圓C：x2y22x4y0，當直線l被圓C所截得的弦長最短時，實數m_解析 直線l被圓C：(x1)2(y2)25所截得的弦長最短，即圓心C到直線l的距離最大，d，當d取最大值時，m0，此時d，當且僅當m1，即m1 時取等號，即d取得最大值，弦長最短答案 17(2019江蘇省六市高三調研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x4)2(y8)21，圓C2：(x6)2(y6)29若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是_解析 因為所求圓的圓心在x軸上，所以可設所求圓的方程為x2y2DxF0用它的方程與已知兩圓的方程分別相減得，(D8)x16yF790，(D1

13、2)x12yF630，由題意，圓心C1(4，8)，C2(6，6)分別在上述兩條直線上，從而求得D0，F81，所以所求圓的方程為x2y281答案 x2y2818(2019南京模擬)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析 令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，當AOB90時，AOB的面積取得最大值，此時過點O作OHAB于點H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以OPH30，則直線AB的傾斜角為150，故直線AB的斜率為tan 150答案 9(2019南京市四

14、校第一學期聯(lián)考)已知圓O：x2y21，半徑為1的圓M的圓心M在線段CD：yx4(mxn，m0)，由題意知，解得a1或a又圓C的面積SR20，解得k1，x1x2，y1y2k(x1x2)6在OADB中，(x1x2，y1y2)，(1，3)，假設ODMC，則3(x1x2)y1y2，所以3，解得k但/(，1)(1，)，所以不存在直線l，使得直線OD與MC恰好平行13(2019江蘇省高考名校聯(lián)考(三)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2y24，F(0，2)，點A，B是圓O上的動點，且FAFB4(1)若FB1，且點B在第二象限，求直線AB的方程；(2)是否存在與動直線AB恒相切的定圓？若存在，求出

15、該圓的方程；若不存在，請說明理由解 (1)顯然直線FB的斜率存在，故可設直線FB的方程為ykx2(k0)，聯(lián)立方程得，消去y得，(k21)x24kx0，得，故FB1，得k，點B因為FB1，且FAFB4，所以FA4，又圓O的半徑為2，所以A(0，2)，故直線AB的方程為yx2(2)由(1)的求解方法易知，若FB1，且點B在第一象限，則直線AB的方程為yx2，故若存在符合題意的圓，則圓心在y軸上設圓心坐標為(0，m)，易知當ABx軸時，直線AB的方程為y1，故|m1|，解得m或m2若直線FB，FA的斜率存在，不妨設直線FB，FA的方程分別為yk1x2，yk2x2(k1k2)，由(1)的求解方法易知

16、，B，A，FB，FA又FAFB4，所以4，化簡得15kkkk1(*)當直線AB的斜率存在且不等于0時，直線AB的方程為，化簡得(k1k2)x(k1k21)y2(k1k21)0，則點(0，2)到直線AB的距離d，把(*)代入上式得d1又|m1|1d，故存在定圓x2(y2)21與動直線AB恒相切同理點到直線AB的距離d，顯然不是定值，故不符合題意當直線AB的斜率不存在時，易知可取A(1，)，B(1，)，或A(1，)，B(1，)，顯然直線AB與圓x2(y2)21相切綜上所述，存在定圓：x2(y2)21與動直線AB恒相切14(2019南京市高三年級第三次模擬考試)如圖，某摩天輪底座中心A與附近的景觀內

17、某點B之間的距離AB為160 m摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個底面半徑為15 m的圓柱體與一個半徑為15 m的半球體組成圓柱的底面中心P在線段AB上，且PB為45 m半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m把摩天輪看作一個半徑為72 m的圓C，且圓C在平面BPQ內，點C到地面的距離CA為75 m該摩天輪勻速旋轉一周需要30 min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點)旋轉一周，求該游客能看到點B的時長(只考慮此建筑物對游客視線的遮擋)解 以點B為坐標原點，BP所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)過點B作直線l與半圓Q相切，與圓C交于點M，N，連結CM，CN，過點C作CHMN，垂足為H設直線l的方程為ykx，即kxy0，則點Q到l的距離為15，解得k或k0(舍)所以直線l的方程為yx，即3x4y0所以點C(160，75)到直線l的距離CH36因為在RtCHM中，CH36，CM72，所以cosMCH又MCH(0，)，所以MCH，所以MCN2MCH，所以該游客能看到點B的時長為3010(min)- 14 -