（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 文 蘇教版

第1講直線與圓 2019考向?qū)Ш娇键c掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171直線方程與兩直線的位置關(guān)系第12題本講命題熱點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長、切線問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識2圓的方程3直線與圓的位置關(guān)系第13題1必記的概念與定理(1)直線方程的五種形式點斜式：yy1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)兩點式：(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)截距式：1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點的直線)一般式：AxByC0(其中A，B不同時為0)(2)圓的方程的兩種形式圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)2記住幾個常用的公式與結(jié)論(1)點到直線的距離公式點P(x1，y1)到直線l：AxByC0的距離d(2)兩條平行線間的距離公式兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d(3)若直線l1和l2有斜截式方程l1yk1xb1，l2yk2xb2，則直線l1l2的充要條件是k1·k21(4)設(shè)l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20則l1l2A1A2B1B20(5)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0；AC0；D2E24AF0(6)常用到的圓的幾個性質(zhì)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程3需要關(guān)注的易錯易混點(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在，兩條直線都有斜率時，可根據(jù)斜率的關(guān)系作出判斷，無斜率時，要單獨考慮(2)在使用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時，直線方程必須先化為AxByC0的形式，否則會出錯直線方程與兩直線的位置關(guān)系典型例題 (1)(2018·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D若·0，則點A的橫坐標(biāo)為_(2)(2019·徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50互相平行，則2a3b的最小值為_【解析】(1)因為·0，所以ABCD，又點C為AB的中點，所以BAD45°設(shè)直線l的傾斜角為，直線AB的斜率為k，則tan 2，ktan3又B(5，0)，所以直線AB的方程為y3(x5)，又A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點A的橫坐標(biāo)為3(2)法一：由兩條直線平行得且，化簡得a0，得b3，故2a3b3b3(b3)9133(b3)13225，當(dāng)且僅當(dāng)3(b3)，即b5或b1(舍去)時等號成立，故(2a3b)min25法二：由兩條直線平行得且，化簡得1，故2a3b(2a3b)1313225，當(dāng)且僅當(dāng)且1，即ab5時等號成立，故(2a3b)min25【答案】(1)3(2)25(1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運(yùn)用(2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究對點訓(xùn)練1直線4axy1與直線(1a)xy1互相垂直，則a_解析 由題可得：4a(1a)10，即4a24a10，故a答案 2(2019·南京、鹽城高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kxy20與直線l2：xky20相交于點P，則當(dāng)實數(shù)k變化時，點P到直線xy40的距離的最大值為_解析 由題意可得直線l1恒過定點A(0，2)，直線l2恒過定點B(2，0)，且l1l2，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓，圓的方程為(x1)2(y1)22圓心(1，1)到直線xy40的距離為2，則點P到直線xy40的距離的最大值為3答案 3圓的方程典型例題 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)(2019·南通市高三第一次調(diào)研測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點，點A(1，1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為_【解析】(1)直線mxy2m10經(jīng)過定點(2，1)當(dāng)圓與直線相切于點(2，1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2(12)2(01)22，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22(2)設(shè)BC的中點為M(x，y)，因為OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，化簡得，所以點M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又A與的距離為，所以AM的取值范圍是，所以BC的取值范圍是，【答案】(1)(x1)2y22(2)，在解題時選擇設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程的一般原則是：如果由已知條件易得圓心坐標(biāo)、半徑或可用圓心坐標(biāo)、半徑列方程(組)，則通常選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則選擇設(shè)圓的一般方程對點訓(xùn)練3圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點(4，0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_解析 因為圓C經(jīng)過原點O(0，0)和點P(4，0)，所以線段OP的垂直平分線x2過圓C的圓心，設(shè)圓C的方程為(x2)2(yb)2r2，又圓C過點O(0，0)且與直線y1相切，所以b222r2，且|1b|r，解得b，r，所以圓C的方程為(x2)2答案 (x2)2直線與圓的位置關(guān)系典型例題 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；設(shè)點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍【解】(1)圓心為(2，1)，半徑r2圓心到直線的距離d，所以弦長為22故填(2)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6，7)，半徑為5由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，于是圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21因為直線lOA，所以直線l的斜率為2設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d因為BCOA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15故直線l的方程為2xy50或2xy150設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2，4)，T(t，0)，所以()因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225()將()代入()，得(x1t4)2(y13)225于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以5555，解得22t22因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個圓心距離與半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式通過過圓外一點的圓的切線條數(shù)可以判斷此點和圓的位置關(guān)系過圓外一點求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點距離利用勾股定理處理對點訓(xùn)練4(2019·蘇州市高三調(diào)研測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過點M(1，1)的直線l與圓(x1)2(y2)25相切，且與直線axy10垂直，則實數(shù)a_解析 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線x1與圓不相切當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l：y1k(x1)，因為直線kxy1k0與圓相切，圓心的坐標(biāo)為(1，2)，半徑為，則，化簡得k24k40，解得k2，又直線l與直線axy10垂直，所以a，則a答案 5(2019·南通高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點P(2，0)的直線與圓x2y21相切于點T，與圓(xa)2(y)23相交于點R，S，且PTRS，則正數(shù)a的值為_解析 因為圓(xa)2(y)23的圓心(a，)在第一象限，且與x軸相切，故切線PT必過第一、二、三象限，由OP2，OT1得TPO30°，從而切線PT的方程為y(x2)，線段PT，圓心(a，)到直線PT的距離為，故RS2，從而2，解得a4或2(舍去)答案 41若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析 由題意知 1，解得k答案 (， )2(2019·揚(yáng)州期末)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為_解析 兩圓圓心分別為(2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d因為32d32，所以兩圓相交答案 相交3已知動直線l0：axbyc20(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，且Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，則的最小值為_解析 動直線l0：axbyc20(a>0，c>0)恒過點P(1，m)，所以abmc20又Q(4，0)到動直線l0的最大距離為3，所以 3，解得m0所以ac2又a>0，c>0，所以(ac)，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時取等號答案 4已知以原點O為圓心的圓與直線l：ymx(34m)，(mR)恒有公共點，且要求使圓O的面積最小，則圓O的方程為_解析 因為直線l：ymx(34m)過定點T(4，3)，由題意，要使圓O的面積最小，則定點T(4，3)在圓上，所以圓O的方程為x2y225答案 x2y2255(2019·南京高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a>0)，點N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為_解析 由題意可得圓N與圓M內(nèi)切或內(nèi)含，則|ON|2恒成立，即|ON|min|OM|12，|OM|3，即a2(a3)29，又a>0，得a3，則a的最小值是3答案 36(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)已知直線l：mxy2m10，圓C：x2y22x4y0，當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長最短時，實數(shù)m_解析 直線l被圓C：(x1)2(y2)25所截得的弦長最短，即圓心C到直線l的距離最大，d，當(dāng)d取最大值時，m0，此時d，當(dāng)且僅當(dāng)m1，即m1 時取等號，即d取得最大值，弦長最短答案 17(2019·江蘇省六市高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x4)2(y8)21，圓C2：(x6)2(y6)29若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是_解析 因為所求圓的圓心在x軸上，所以可設(shè)所求圓的方程為x2y2DxF0用它的方程與已知兩圓的方程分別相減得，(D8)x16yF790，(D12)x12yF630，由題意，圓心C1(4，8)，C2(6，6)分別在上述兩條直線上，從而求得D0，F(xiàn)81，所以所求圓的方程為x2y281答案 x2y2818(2019·南京模擬)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于_解析 令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°時，AOB的面積取得最大值，此時過點O作OHAB于點H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan 150°答案 9(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知圓O：x2y21，半徑為1的圓M的圓心M在線段CD：yx4(mxn，m<n)上移動，過圓O上一點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，且滿足APB60°，則nm的最小值為_解析 設(shè)M(a，a4)(man)，則圓M的方程為(xa)2(ya4)21連結(jié)MP，MB，則MB1，PBMB因為APB60°，所以MPB30°，所以MP2MB2，所以點P在以M為圓心，2為半徑的圓上連結(jié)OM，又點P在圓O上，所以點P為圓x2y21與圓(xa)2(ya4)24的公共點，所以21OM21，即13，得解得2a2所以n2，m2，所以nm答案 10(2019·蘇北四市高三質(zhì)量檢測)已知A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，則|的取值范圍為_解析 取AB的中點C，則|2|，C的軌跡方程是x2y2，C1C25，由題意，|的最大值為51，最小值為51，所以|的取值范圍為7，13答案 7，1311(2019·南通模擬)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等解 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a若k20，則1a0，a1因為l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0又因為l1過點(3，1)，所以3a40，即a(矛盾)所以此種情況不存在，所以k20即k1，k2都存在，因為k21a，k1，l1l2，所以k1k21，即(1a)1又因為l1過點(3，1)，所以3ab40由聯(lián)立，解得a2，b2(2)因為l2的斜率存在，l1l2，所以直線l1的斜率存在，k1k2，即1a又因為坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立，解得或所以a2，b2或a，b212(2019·江蘇高考研究原創(chuàng)卷)已知圓心為C的圓滿足下列條件：圓心C位于x軸的正半軸上，圓C與直線3x4y70相切，且被y軸截得的弦長為2，圓C的面積小于13(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由解 (1)設(shè)圓C：(xa)2y2R2(a>0)，由題意知，解得a1或a又圓C的面積SR2<13，所以a1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：x0，不滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直線l與圓C相交于不同的兩點，聯(lián)立，消去y得(1k2)x2(6k2)x60，所以(6k2)224(1k2)12k224k20>0，解得k<1或k>1，x1x2，y1y2k(x1x2)6在OADB中，(x1x2，y1y2)，(1，3)，假設(shè)ODMC，則3(x1x2)y1y2，所以3×，解得k但/(，1)(1，)，所以不存在直線l，使得直線OD與MC恰好平行13(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2y24，F(xiàn)(0，2)，點A，B是圓O上的動點，且FA·FB4(1)若FB1，且點B在第二象限，求直線AB的方程；(2)是否存在與動直線AB恒相切的定圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由解 (1)顯然直線FB的斜率存在，故可設(shè)直線FB的方程為ykx2(k0)，聯(lián)立方程得，消去y得，(k21)x24kx0，得，故FB1，得k，點B因為FB1，且FA·FB4，所以FA4，又圓O的半徑為2，所以A(0，2)，故直線AB的方程為yx2(2)由(1)的求解方法易知，若FB1，且點B在第一象限，則直線AB的方程為yx2，故若存在符合題意的圓，則圓心在y軸上設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，m)，易知當(dāng)ABx軸時，直線AB的方程為y1，故|m1|，解得m或m2若直線FB，F(xiàn)A的斜率存在，不妨設(shè)直線FB，F(xiàn)A的方程分別為yk1x2，yk2x2(k1k2)，由(1)的求解方法易知，B，A，F(xiàn)B，F(xiàn)A又FA·FB4，所以·4，化簡得15kkkk1(*)當(dāng)直線AB的斜率存在且不等于0時，直線AB的方程為，化簡得(k1k2)x(k1k21)y2(k1k21)0，則點(0，2)到直線AB的距離d，把(*)代入上式得d1又|m1|1d，故存在定圓x2(y2)21與動直線AB恒相切同理點到直線AB的距離d，顯然不是定值，故不符合題意當(dāng)直線AB的斜率不存在時，易知可取A(1，)，B(1，)，或A(1，)，B(1，)，顯然直線AB與圓x2(y2)21相切綜上所述，存在定圓：x2(y2)21與動直線AB恒相切14(2019·南京市高三年級第三次模擬考試)如圖，某摩天輪底座中心A與附近的景觀內(nèi)某點B之間的距離AB為160 m摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個底面半徑為15 m的圓柱體與一個半徑為15 m的半球體組成圓柱的底面中心P在線段AB上，且PB為45 m半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m把摩天輪看作一個半徑為72 m的圓C，且圓C在平面BPQ內(nèi)，點C到地面的距離CA為75 m該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點)旋轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點B的時長(只考慮此建筑物對游客視線的遮擋)解 以點B為坐標(biāo)原點，BP所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)過點B作直線l與半圓Q相切，與圓C交于點M，N，連結(jié)CM，CN，過點C作CHMN，垂足為H設(shè)直線l的方程為ykx，即kxy0，則點Q到l的距離為15，解得k或k0(舍)所以直線l的方程為yx，即3x4y0所以點C(160，75)到直線l的距離CH36因為在RtCHM中，CH36，CM72，所以cosMCH又MCH(0，)，所以MCH，所以MCN2MCH，所以該游客能看到點B的時長為30×10(min)- 14 -