（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的性質(zhì)與求和學(xué)案 文 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的性質(zhì)與求和學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的性質(zhì)與求和學(xué)案 文 新人教A版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講數(shù)列的性質(zhì)與求和 做真題1(2019高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a10，a23a1，則_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.答案：42(2017高考全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解：(1)因為a13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，從而an的通項公式為an(nN*)(2)記的前n項和為Sn.由(1)知.則Sn.明考情1高考對數(shù)列性質(zhì)的考查主要以選擇、填空題的形

2、式出現(xiàn)，考查數(shù)列的周期性、單調(diào)性、數(shù)列最值等，難度中等2高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的前n項和，難度中等偏下數(shù)列的性質(zhì)(綜合型) 典型例題 (1)已知數(shù)列an滿足：an1anan1(n2，nN*)，a11，a22，Sn為數(shù)列an的前n項和，則S2 020()A3B2C1 D0(2)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1，an2an10，則Sn的最大值與最小值的積為_【解析】(1)因為an1anan1，a11，a22，所以a31，a41，a52，a61，a71，a82，故數(shù)列an是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0，故S2 02

3、03360a2 017a2 018a2 019a2 020a1a2a3a43.(2)因為an2an10，所以，所以等比數(shù)列an的公比為，因為a1，所以Sn1.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn1，Sn隨著n的增大而減小，則1SnS1，故0Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn1，Sn隨著n的增大而增大，則S2Sn1，故Sn0.綜上，Sn的最大值與最小值分別為，.故Sn的最大值與最小值的積為.【答案】(1)A(2)判斷數(shù)列的增減性的方法函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，通過判斷所構(gòu)造函數(shù)的增減性，即可得出相應(yīng)數(shù)列的增減性定義法：利用增減數(shù)列的定義判斷數(shù)列的增減性作差法：對于數(shù)列中任意相鄰的兩項an1，an，通過作差an1an，判斷其與0的大

4、小，即可判斷數(shù)列的增減性作商法：數(shù)列的各項非零且同號(同正或同負(fù))，對于數(shù)列中任意相鄰的兩項an1，an，通過作商，判斷其與1的大小，即可判斷數(shù)列的增減性 對點(diǎn)訓(xùn)練1已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a1a2a3a2 019()A6 B6C3 D3解析：選D.因為a12，an1，所以a23，a3，a4，a52，所以an4an，又a1a2a3a41，所以a1a2a3a2 019(a1a2a3a4)504a1a2a312(3)3.故選D.2已知數(shù)列an的通項公式為an(n2)，則當(dāng)an取得最大值時，n_解析：當(dāng)an取得最大值時，有所以解得所以當(dāng)an取得最大值時，n5或6.答案：5或6裂項

5、相消法求和(綜合型) 知識整合 裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂項后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和 常見的裂項類型(1).(2).(3).(4).典型例題 (2019河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a14，數(shù)列bn滿足bnlog2an，且b1b2b312.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令cnan，求數(shù)列cn的前n項和Sn.【解】(1)由bnlog2an和b1b2b312得log2(a1a2a3)12，所以a1a2a3212.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a14，所以a1a2a344q4q226q3212，計算得q4.所以an44n14n.

6、(2)由(1)得bnlog24n2n，cn4n4n4n.設(shè)數(shù)列的前n項和為An，則An1，設(shè)數(shù)列4n的前n項和為Bn，則Bn(4n1)，所以Sn(4n1)求解此類題需過“三關(guān)”：一是求通項關(guān)，即會利用求通項公式的常用方法，求出數(shù)列的通項公式；二是巧裂項關(guān)，即能將數(shù)列的通項公式準(zhǔn)確裂項，表示為兩項之差的形式；三是消項求和關(guān)，即把握消項的規(guī)律，求和時正負(fù)項相消，準(zhǔn)確判斷剩余的項是哪幾項，從而準(zhǔn)確求和 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019湖南省五市十校聯(lián)考)已知首項為2的數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn，設(shè)bnlog2an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)判斷數(shù)列bn是否為等差數(shù)列，并說明理由；(3)求數(shù)列的前n項和

7、Tn.解：(1)依題意得a12，則n1時，S1a1，所以a28.當(dāng)n2時，Sn1，則anSnSn1，整理得4.又4，所以數(shù)列an是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，所以an24n122n1.(2)bnlog2anlog222n12n1，則bn1bn2n1(2n1)2，且b11，所以數(shù)列bn是等差數(shù)列(3)由(2)得bn2n1，所以，所以Tn.錯位相減法求和(綜合型) 典型例題 (2019鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an中，a11，an0，前n項和為Sn，若an(nN*，且n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記cnan2an，求數(shù)列cn的前n項和Tn.【解】(1)在數(shù)列an中，anSnSn1(

8、n2)，因為an，且an0，所以得1(n2)，所以數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)1n，所以Snn2.當(dāng)n2時，anSnSn1n2(n1)22n1，當(dāng)n1時，a11，也滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn(2n1)22n1，則Tn12323525(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，兩式相減得，3Tn22(232522n1)(2n1)22n122(2n1)22n122n1，所以Tn.應(yīng)用錯位相減法求和需注意的問題(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn

9、為等比數(shù)列(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減要注意的是相減后所得部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1，2進(jìn)行驗證 對點(diǎn)訓(xùn)練已知an為正項等比數(shù)列，a1a26，a38.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若bn，且bn的前n項和為Tn，求Tn.解：(1)依題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則有，則3q24q40，而q0，所以q2.于是a12，所以數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)由(1)得bn，所以Tn，Tn，兩式相減得，Tn，所以Tn12.數(shù)列與其他知識的交匯問題(交匯型) 典型例題 設(shè)數(shù)列an的前n項和是Sn，若點(diǎn)An在函數(shù)f(x)xc

10、的圖象上運(yùn)動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a13.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bnaan，求數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值【解】(1)因為點(diǎn)An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運(yùn)動，所以nc，所以Snn2cn.因為a13，所以c4，所以Snn24n，所以anSnSn12n5(n2)又a13滿足上式，所以an2n5(n1)(2)由(1)知，bnaan2an52(2n5)54n5，所以Tn2n23n.所以Tn的最小值是T11.數(shù)列與函數(shù)交匯問題的常見類型及解法(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題(2)已知數(shù)列條件，需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)知識解決問題，解決此類

11、問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對式子化簡變形另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解 對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)等比數(shù)列an滿足an0，且a34a4 00012，則的最小值為_解析：因為等比數(shù)列an滿足an0，且a34a4 00012，所以a2 015a2 019a34a4 00012.所以221，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2 0156，a2 0192時，等號成立，所以的最小值為1.答案：12已知定義在R上的函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若g(x)f(x)2，數(shù)列an滿足a1f(0)，且f(an1)f，nN*，則a2 019的值為_解析：因為g(x)f(x)2，且函數(shù)g(x)是

12、定義在R上的奇函數(shù)，所以g(0)0，所以f(0)20，解得f(0)2.因為函數(shù)g(x)f(x)2是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，因為f(an1)f，所以an1，整理可得3.因為a1f(0)2，所以1，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以13n1，即an，所以a2 019.答案：一、選擇題1數(shù)列an滿足a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，則a3等于()A15B10C9 D5解析：選A.由a2(2)a1，可得23，解得1，所以a3(221)315，故選A.2數(shù)列an的前n項和為Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，則數(shù)列bn的前50項和為

13、()A49 B50C99 D100解析：選A.由題意得，當(dāng)n2時，anSnSn12n，當(dāng)n1時，a1S13，所以數(shù)列bn的前50項和為346810969810014849，故選A.3已知數(shù)列an中，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項和為()A1 121 B1 122C1 123 D1 124解析：選C.由題意可知，數(shù)列a2n是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項和為10121 123.故選C.4已知函數(shù)f(x)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.解析：選B.模擬程序的運(yùn)行，可得程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并

14、輸出變量S的值，可得：S1.5已知等比數(shù)列an，a11，a4，且a1a2a2a3anan1k，則k的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，q0，則q3，解得q，所以an，所以anan1，所以數(shù)列anan1是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a1a2a2a3anan1.因為a1a2a2a3anan1k，所以k.故k的取值范圍是.故選D.6已知數(shù)列an滿足2a122a22nann(nN*)，數(shù)列的前n項和為Sn，則S1S2S3S10()A. B.C. D.解析：選C.因為2a122a22nann(nN*)，所以2a122a22n1an1n1(n2)，兩式相減得2nan

15、1(n2)，a1也滿足上式，故an，故，Sn11，所以S1S2S3S10，故選C.二、填空題7已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，則a8_解析：數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，令m1，則Sn1SnS1Sn5，即Sn1Sn5，所以an15，所以a85.答案：58我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天織了5尺布，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)問題中的條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則該女子所需的天數(shù)至少為_天解析：設(shè)

16、該女子第1天織布x尺，則5，解得x.所以前n天所織布的尺數(shù)為(2n1)令(2n1)30，則2n187，又nN*，故n的最小值為8.答案：89已知函數(shù)f(x)ax1(a0，a1)的圖象過點(diǎn)(3，9)當(dāng)nN*時，an，若數(shù)列an的前n項和為，則n的值為_解析：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，因為函數(shù)f(x)ax1(a0，a1)的圖象過點(diǎn)(3，9)，所以a319，所以a2，所以f(x)2x1，所以an，所以Sn.因為數(shù)列an的前n項和為，所以，解得n5.答案：5三、解答題10(2019重慶市七校聯(lián)合考試)已知等差數(shù)列an的公差為d，且關(guān)于x的不等式a1x2dx30的解集為(1，3)(1)求數(shù)列an的通項

17、公式；(2)若bn2an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)由題意知，方程a1x2dx30的兩個根分別為1和3.則，解得.故數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由(1)知an2n1，所以bn2an2n(2n1)，所以Sn(222232n)(1352n1)2n1n22.11已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a1733，S749.(1)證明：a1，a5，a41成等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an3n的前n項和Tn.解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由于a1733，S749，則解得a11，d2，所以an2n1.則a11，a59，a4181，即aa1a41.

18、所以a1，a5，a41成等比數(shù)列(2)由(1)得：an3n(2n1)3n，Tn131332(2n1)3n，3Tn132333(2n1)3n1，得，2Tn323223323n(2n1)3n132(2n1)3n1，整理得Tn(n1)3n13.故數(shù)列an3n的前n項和為Tn(n1)3n13.12(2019安徽省考試試題)已知等差數(shù)列an中，a5a34，其前n項和為Sn，且S2，S31，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(1)n，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)設(shè)an的公差為d，由a5a34，得2d4，d2.所以S22a12，S313a15，S44a112，又S2，S31，S4成等比數(shù)列，所以(3a15)2(2a12)(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n(1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn.- 13 -