（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的性質(zhì)與求和學(xué)案 文 新人教A版

第2講數(shù)列的性質(zhì)與求和 做真題1(2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a10，a23a1，則_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.答案：42(2017·高考全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，從而an的通項(xiàng)公式為an(nN*)(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知.則Sn.明考情1高考對數(shù)列性質(zhì)的考查主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，考查數(shù)列的周期性、單調(diào)性、數(shù)列最值等，難度中等2高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，難度中等偏下數(shù)列的性質(zhì)(綜合型) 典型例題 (1)已知數(shù)列an滿足：an1anan1(n2，nN*)，a11，a22，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S2 020()A3B2C1 D0(2)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，an2an10，則Sn的最大值與最小值的積為_【解析】(1)因?yàn)閍n1anan1，a11，a22，所以a31，a41，a52，a61，a71，a82，故數(shù)列an是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2 020336×0a2 017a2 018a2 019a2 020a1a2a3a43.(2)因?yàn)閍n2an10，所以，所以等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)閍1，所以Sn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn1，Sn隨著n的增大而減小，則1SnS1，故0Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn1，Sn隨著n的增大而增大，則S2Sn1，故Sn0.綜上，Sn的最大值與最小值分別為，.故Sn的最大值與最小值的積為×.【答案】(1)A(2)判斷數(shù)列的增減性的方法函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，通過判斷所構(gòu)造函數(shù)的增減性，即可得出相應(yīng)數(shù)列的增減性定義法：利用增減數(shù)列的定義判斷數(shù)列的增減性作差法：對于數(shù)列中任意相鄰的兩項(xiàng)an1，an，通過作差an1an，判斷其與0的大小，即可判斷數(shù)列的增減性作商法：數(shù)列的各項(xiàng)非零且同號(同正或同負(fù))，對于數(shù)列中任意相鄰的兩項(xiàng)an1，an，通過作商，判斷其與1的大小，即可判斷數(shù)列的增減性 對點(diǎn)訓(xùn)練1已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a1·a2·a3··a2 019()A6 B6C3 D3解析：選D.因?yàn)閍12，an1，所以a23，a3，a4，a52，所以an4an，又a1a2a3a41，所以a1·a2·a3··a2 019(a1a2a3a4)504×a1a2a31×2×(3)×3.故選D.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n2)，則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n_解析：當(dāng)an取得最大值時(shí)，有所以解得所以當(dāng)an取得最大值時(shí)，n5或6.答案：5或6裂項(xiàng)相消法求和(綜合型) 知識(shí)整合 裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂項(xiàng)后，消去一部分從而計(jì)算和的方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和 常見的裂項(xiàng)類型(1).(2).(3).(4).典型例題 (2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a14，數(shù)列bn滿足bnlog2an，且b1b2b312.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令cnan，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由bnlog2an和b1b2b312得log2(a1a2a3)12，所以a1a2a3212.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍14，所以a1a2a34·4q·4q226·q3212，計(jì)算得q4.所以an4·4n14n.(2)由(1)得bnlog24n2n，cn4n4n4n.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為An，則An1，設(shè)數(shù)列4n的前n項(xiàng)和為Bn，則Bn(4n1)，所以Sn(4n1)求解此類題需過“三關(guān)”：一是求通項(xiàng)關(guān)，即會(huì)利用求通項(xiàng)公式的常用方法，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；二是巧裂項(xiàng)關(guān)，即能將數(shù)列的通項(xiàng)公式準(zhǔn)確裂項(xiàng)，表示為兩項(xiàng)之差的形式；三是消項(xiàng)求和關(guān)，即把握消項(xiàng)的規(guī)律，求和時(shí)正負(fù)項(xiàng)相消，準(zhǔn)確判斷剩余的項(xiàng)是哪幾項(xiàng)，從而準(zhǔn)確求和 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn，設(shè)bnlog2an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列bn是否為等差數(shù)列，并說明理由；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)依題意得a12，則n1時(shí)，S1a1，所以a28.當(dāng)n2時(shí)，Sn1，則anSnSn1，整理得4.又4，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以an2·4n122n1.(2)bnlog2anlog222n12n1，則bn1bn2n1(2n1)2，且b11，所以數(shù)列bn是等差數(shù)列(3)由(2)得bn2n1，所以，所以Tn.錯(cuò)位相減法求和(綜合型) 典型例題 (2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an中，a11，an0，前n項(xiàng)和為Sn，若an(nN*，且n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記cnan·2an，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)在數(shù)列an中，anSnSn1(n2)，因?yàn)閍n，且an0，所以÷得1(n2)，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)×1n，所以Snn2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1，當(dāng)n1時(shí)，a11，也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn(2n1)×22n1，則Tn1×23×235×25(2n1)×22n1，4Tn1×233×255×27(2n3)×22n1(2n1)×22n1，兩式相減得，3Tn22(232522n1)(2n1)22n122×(2n1)22n122n1，所以Tn.應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和需注意的問題(1)錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列(2)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減要注意的是相減后所得部分，求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1，2進(jìn)行驗(yàn)證 對點(diǎn)訓(xùn)練已知an為正項(xiàng)等比數(shù)列，a1a26，a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若bn，且bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)依題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則有，則3q24q40，而q0，所以q2.于是a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)由(1)得bn，所以Tn，Tn，兩式相減得，Tn，所以Tn12.數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題(交匯型) 典型例題 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，若點(diǎn)An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a13.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bnaan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的最小值【解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以nc，所以Snn2cn.因?yàn)閍13，所以c4，所以Snn24n，所以anSnSn12n5(n2)又a13滿足上式，所以an2n5(n1)(2)由(1)知，bnaan2an52(2n5)54n5，所以Tn2n23n.所以Tn的最小值是T11.數(shù)列與函數(shù)交匯問題的常見類型及解法(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題(2)已知數(shù)列條件，需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)解決問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對式子化簡變形另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解 對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)等比數(shù)列an滿足an0，且a34a4 00012，則的最小值為_解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列an滿足an0，且a34a4 00012，所以a2 015a2 019a34a4 00012.所以221，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2 0156，a2 0192時(shí)，等號成立，所以的最小值為1.答案：12已知定義在R上的函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若g(x)f(x)2，數(shù)列an滿足a1f(0)，且f(an1)f，nN*，則a2 019的值為_解析：因?yàn)間(x)f(x)2，且函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(0)0，所以f(0)20，解得f(0)2.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)f(x)2是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)閒(an1)f，所以an1，整理可得3.因?yàn)閍1f(0)2，所以1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以1×3n1，即an，所以a2 019.答案：一、選擇題1數(shù)列an滿足a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，則a3等于()A15B10C9 D5解析：選A.由a2(2)a1，可得23，解得1，所以a3(2×21)×315，故選A.2數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，則數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為()A49 B50C99 D100解析：選A.由題意得，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n，當(dāng)n1時(shí)，a1S13，所以數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為346810969810014849，故選A.3已知數(shù)列an中，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項(xiàng)和為()A1 121 B1 122C1 123 D1 124解析：選C.由題意可知，數(shù)列a2n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項(xiàng)和為10×1×21 123.故選C.4已知函數(shù)f(x)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.解析：選B.模擬程序的運(yùn)行，可得程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，可得：S1.5已知等比數(shù)列an，a11，a4，且a1a2a2a3anan1k，則k的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，q0，則q3，解得q，所以an，所以anan1×，所以數(shù)列anan1是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以a1a2a2a3anan1.因?yàn)閍1a2a2a3anan1k，所以k.故k的取值范圍是.故選D.6已知數(shù)列an滿足2a122a22nann(nN*)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S1·S2·S3··S10()A. B.C. D.解析：選C.因?yàn)?a122a22nann(nN*)，所以2a122a22n1an1n1(n2)，兩式相減得2nan1(n2)，a1也滿足上式，故an，故，Sn11，所以S1·S2·S3··S10×××××，故選C.二、填空題7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，則a8_解析：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSmSnm(n，mN*)且a15，令m1，則Sn1SnS1Sn5，即Sn1Sn5，所以an15，所以a85.答案：58我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天織了5尺布，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)問題中的條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則該女子所需的天數(shù)至少為_天解析：設(shè)該女子第1天織布x尺，則5，解得x.所以前n天所織布的尺數(shù)為(2n1)令(2n1)30，則2n187，又nN*，故n的最小值為8.答案：89已知函數(shù)f(x)ax1(a0，a1)的圖象過點(diǎn)(3，9)當(dāng)nN*時(shí)，an，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，則n的值為_解析：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax1(a0，a1)的圖象過點(diǎn)(3，9)，所以a319，所以a2，所以f(x)2x1，所以an，所以Sn.因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為，所以，解得n5.答案：5三、解答題10(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知等差數(shù)列an的公差為d，且關(guān)于x的不等式a1x2dx30的解集為(1，3)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由題意知，方程a1x2dx30的兩個(gè)根分別為1和3.則，解得.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d1(n1)×22n1.(2)由(1)知an2n1，所以bn2an2n(2n1)，所以Sn(222232n)(1352n1)2n1n22.11已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1733，S749.(1)證明：a1，a5，a41成等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an·3n的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a1733，S749，則解得a11，d2，所以an2n1.則a11，a59，a4181，即aa1·a41.所以a1，a5，a41成等比數(shù)列(2)由(1)得：an·3n(2n1)·3n，Tn1×313×32(2n1)·3n，3Tn1×323×33(2n1)·3n1，得，2Tn32×322×332×3n(2n1)·3n132(2n1)·3n1，整理得Tn(n1)·3n13.故數(shù)列an·3n的前n項(xiàng)和為Tn(n1)·3n13.12(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列an中，a5a34，其前n項(xiàng)和為Sn，且S2，S31，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(1)n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)an的公差為d，由a5a34，得2d4，d2.所以S22a12，S313a15，S44a112，又S2，S31，S4成等比數(shù)列，所以(3a15)2(2a12)(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n(1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1.所以Tn.- 13 -