2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入質(zhì)量評(píng)估檢測(cè) 新人教B版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入質(zhì)量評(píng)估檢測(cè) 新人教B版選修2-1一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1若A，B，C，D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的是()22；2233；.ABC D解析：中，原式2，不符合題意；中，原式2()()0；中，原式，不符合題意；中，原式()()0.故選C.答案：C2已知向量a(2,4,5)、b(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1l2，則()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：l1l2，ab，則，x6，y.答案：D3已知空間三點(diǎn)O(0,0

2、,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BHOA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為()A(2,2,0) B(2，2,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H(，0)，則(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H，故選C.答案：C4已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則與的夾角為()A30 B45C60 D90解析：(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，3，cos，60.答案：C5在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()|a|b|ab|是a，b共線的充要條件；若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab；對(duì)空間任意一點(diǎn)O和

3、不共線的三點(diǎn)A，B，C，若22，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則ab，bc，ca構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；|(ab)c|a|b|c|.A5 B4C3 D2解析：|a|b|ab|a與b的夾角為，故是充分不必要條件，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因?yàn)?211，由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確，故選B.答案：B6已知向量，則平面AMN的一個(gè)法向量是()A(3，2,4) B(3,2，4)C(3，2，4) D(3,2，4)解析：設(shè)平面AMN的法向量n(x，y，z)，則即令z4，則n(3，2,4)，由于(3,2，4)(3，2,4)，可

4、知選項(xiàng)D符合答案：D7已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為()A(1,1,1) B(1，1，1)或(1,1,1)C(1，1，1) D(1，1,1)或(1,1，1)解析：設(shè)a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3，2)則解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：B8已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：建系如圖，則S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(

5、0,2，3)設(shè)面SBC的法向量為n(x，y，z)則令y3，則z2，x，n(，3,2)設(shè)AB與面SBC所成的角為，則sin.答案：D9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A90 B60C45 D30解析：建系如圖，設(shè)AB1，則B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即異面直線BA1與AC1所成的角等于60.答案：B10已知E、F分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是()A

6、. B.C. D.解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)，所以(1,0,1)，.設(shè)平面AEFD1的法向量為n(x，y，z)，則x2yz，取y1，則n(2,1,2)，而平面ABCD的一個(gè)法向量為u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：C11在三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PA平面ABC，且PAAB，則二面角APBC的平面角的正切值為()A. B.C. D.解析：設(shè)PAAB2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)(0，2,2)，(，1,

7、0)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的一個(gè)法向量則即令y1，則x，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一個(gè)法向量則cosm，n.正切值tanm，n.答案：A12已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：Q在OP上，可設(shè)Q(x，x,2x)，則(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x時(shí)，最小，這時(shí)Q.答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13若A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，則當(dāng)|取最小值時(shí)，x的值等于_解析：(1x,2x3，3x3)，則|，

8、故當(dāng)x時(shí)，|取最小值答案：14正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值是_解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易證是平面A1BD的一個(gè)法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1與平面A1BD夾角的正弦值為.答案：15已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，則_.解析：由已知可發(fā)現(xiàn)a與b不共線，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，則必存在實(shí)數(shù)x，y，使得cxayb，即，解得.答案：16如圖，在空間四邊

9、形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE3ED，以，為基底，則_.解析：().答案：三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17(本小題滿分10分)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值解析：(1)易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，

10、C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因?yàn)锳CBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因?yàn)?300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則即令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin|cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.18(本小題滿分12分)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a

11、，BB13a，D是A1C1的中點(diǎn)，在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，說(shuō)明理由解析：假設(shè)存在F點(diǎn)，使CF平面B1DF，不妨設(shè)AFb，則F(a,0，b)，(a，a，b)，(a,0，b3a)，.a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a.當(dāng)AFa或AF2a時(shí)，CF平面B1DF.19(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解析：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

12、直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面AA1B的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.20

13、(本小題滿分12分)如圖1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分別為AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小圖1 圖2解析：(1)證明：因?yàn)锳CBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因?yàn)锳1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)設(shè)平面A1BE的

14、法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，則x2，z.所以n(2,1，)設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.因?yàn)?0,1，)，所以sin|cosn，|，所以CM與平面A1BE所成角的大小為.21(本小題滿分12分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)(1)求證：AM平面BDE；(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是60.解析：(1)證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBDN，連結(jié)NE，則N，E(0,0,1)，.又A(，0)，M，.，且NE與AM不共線NEAM.又NE平面BED，A

15、M平面BDE，AM平面BDE.(2)設(shè)P(t，t,0)(0t)，則(t，t,1)，(，0,0)又與所成的角為60，解之得t，或t(舍去)故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)22(本小題滿分12分)如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值解析：(1)證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面POD的一個(gè)法向量，則由n10，n10，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一個(gè)法向量，則由n20，n20，得所以x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)因?yàn)閚1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2，從而平面POD平面PAC.(2)因?yàn)閥軸平面PAB.所以平面PAB的一個(gè)法向量為n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一個(gè)法向量為n2(，1)設(shè)向量n2和n3的夾角為，則cos.由圖可知，二面角BPAC的平面角與相等，所以二面角BPAC的余弦值為.