2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第24講 三角恒等變形及應用教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第24講 三角恒等變形及應用教案 新人教版 一．課標要求： 1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用； 2．能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系； 3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 二．命題走向 從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機會較多，有時候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角

2、式的變換研究三角函數(shù)的性質。 本講內容是高考復習的重點之一，三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力。 三．要點精講 1．兩角和與差的三角函數(shù) ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方

3、數(shù)不含三角函數(shù)。 （1）降冪公式 ；；。 （2）輔助角公式 ， 。 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結合所求角的范圍及函數(shù)的單調性求得角。 5．三角等式的證明 （1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒

4、等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”； （2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。 四．典例解析 題型1：兩角和與差的三角函數(shù) 例1．已知，求cos。 分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。 解法一：由已知sin+sin=1…………①， cos+cos=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos； ∴ cos。 ①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1， 即2cos（）〔〕=－1。 ∴。 解法二：由①得…………③ 由②得…………④ ④÷

5、③得 點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用。 例2．已知求。 分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。 解法一：由韋達定理得tan， 所以tan 解法二：由韋達定理得tan， 所以tan ， 。 點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）

6、運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數(shù)關系，三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如 題型2：二倍角公式 例3．化簡下列各式： （1）， （2）。 分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入

7、點。 解析：（1）因為， 又因， 所以，原式=。 （2）原式= =。 點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。 例4．若。 分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。 解法一：由， 解法二：， 點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問

8、題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角， 如， ， 等。 題型3：輔助角公式 例5．已知正實數(shù)a,b滿足。 分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結構，可考慮引入輔助角求解。 解法一：由題設得 解法二： 解法三： 點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，，或 在歷年高考中使用頻率是相當高的，應

9、加以關注；解法三利用了換元法，但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。 例6．（xx全國理，17）已知函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R. （1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到? （理）（1）解析：y＝cos2x＋sinxcosx＋1 ＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1 ＝cos2x＋sin2x＋ ＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋ ＝sin（2x＋）＋ y取得最大值必須且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z

10、。 所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝。 （2）將函數(shù)y＝sinx依次進行如下變換： ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象； ②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù) y＝sin（2x＋）的圖象； ③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù) y＝sin（2x＋）的圖象； ④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖象； 綜上得到函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx＋1的圖象。 點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查利用三角公式進行恒等

11、變形的技能以及運算能力。 （xx全國文，17）已知函數(shù)y＝sinx＋cosx，x∈R. （1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到? 解析：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R y取得最大值必須且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋2kπ，k∈Z。 所以，當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝ （2）變換的步驟是： ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象； ②令所得到的圖象上各

12、點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù) y＝2sin（x＋）的圖象； 經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象。 點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。 題型4：三角函數(shù)式化簡 例7．（1995全國理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值。 解析：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°） ＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－ ＝－sin70°sin30°＋sin70° ＝－sin70°＋sin70°＝。 點評：本題考查

13、三角恒等式和運算能力。 例8．（06北京理，15）已知函數(shù). （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）設的第四象限的角，且，求的值。 解析：（Ⅰ）由 得， 故在定義域為 （Ⅱ）因為，且是第四象限的角, 所以 a 故 。 題型5：三角函數(shù)求值 例9．（06重慶理，17）設函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為。 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。 解析：

14、（I） 依題意得 ． （II）由（I）知，。 又當時，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故 例10．（06上海理，17）求函數(shù)＝2＋的值域和最小正周期。 解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)， ∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。 題型6：三角函數(shù)綜合問題 例11．已知向量 （I）若求 （II）求的最大值。 解析：（1）； 當=1時有最大值,此時，最大值為。 點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的

15、基本關系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標表示求模，難度中等，計算量不大。 例12．（xx天津理，22）設0<θ<，曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4個不同的交點。 （1）求θ的取值范圍； （2）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍。 解析：（1）解方程組，得； 故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，（0<θ<）0<θ<。 （2）設四個交點的坐標為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cosθ∈（，2）（i=1，2，3，4）。 故四個交點共圓，并且這個圓的半徑r=cosθ∈（）. 點評：本題注重考查應用解

16、方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關系的考查。 題型7：三角函數(shù)的應用 例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內接矩形的最大面積． 分析：本題入手要解決好兩個問題， （1）內接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應該分別予以處理； （2）求最大值問題這里應構造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量。 解析：如圖2-19(1)設∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ， ， 。 又設矩形EFGH的面積為S，那么 又∵0°＜θ＜60°

17、，故當cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時， 如圖2-19 (2)，設∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150° 設矩形的面積為S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ) ＝2R2［cos(2θ－30°)－cos30°] 又∵0＜θ＜30°，故當cos(2θ－30°)＝1 。 五．思維總結 從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點內容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。 1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二

18、倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點： （1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 如，等； （3）注意倍角的相對性 （4）要時時注意角的范圍 （5）化簡要求 熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。 2．證明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。 （2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。 3．解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角

19、、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系。 （3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉化。 4．加強三角函數(shù)應用意識的訓練 xx年高考理科第20題實質是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。 5．變?yōu)橹骶€、抓好訓練 變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化變意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律。 針對高考中題目看，還要強化變角訓練，經(jīng)常注意收集角間關系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關系式的訓練也要加強，這也是高考的重點.同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結合的題目。