2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第3講 推理與證明教案

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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第3講 推理與證明教案自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(xx江西)觀察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則a10b10A28B76C123D199解析觀察規(guī)律,歸納推理從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10b10123.答案C2(xx福建)某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè),考慮道路鋪設(shè)方案方案設(shè)計(jì)圖中,點(diǎn)表示城市,兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路,連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用,要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市,并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小例如:在三個(gè)城市道路設(shè)

2、計(jì)中,若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(1),則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖(2),此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(3),則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為_解析根據(jù)題目中圖(3)給出的信息及題意,要求的是鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用,且從任一城市都能到達(dá)其余各城市,可將圖(3)調(diào)整為如圖所示的結(jié)構(gòu)(線段下方的數(shù)字為兩城市之間鋪設(shè)道路的費(fèi)用)此時(shí)鋪設(shè)道路的總費(fèi)用為23123516.答案16考題分析具備一定的推理與證明能力是高考的一項(xiàng)基本要求歸納推理是高考考查的熱點(diǎn),這類題目具有很好的區(qū)分度,考查形式一般為選擇題或填空題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一:合情推理【例1】(1)(xx武昌模擬)設(shè)fk

3、(x)sin2kxcos2kx(xR),利用三角變換,估計(jì)fk(x)在k1,2,3時(shí)的取值情況,對(duì)kN時(shí)推測(cè)fk(x)的取值范圍是_(結(jié)果用k表示)(2)在平面幾何里,有“若ABC的三邊長分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形面積為SABC(abc)r”,拓展到空間,類比上述結(jié)論,“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,則四面體的體積為_”審題導(dǎo)引(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范圍觀察規(guī)律可得;(2)注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣,或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面,得出結(jié)論規(guī)范解答(1)當(dāng)k1,f1(x)sin2xcos2x1.當(dāng)k2時(shí)

4、,f2(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1,f2(x).當(dāng)k3時(shí),f3(x)sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)13sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1,f3(x),故可推測(cè)fk(x)1.(2)三角形的面積類比為四面體的體積,三角形的邊長類比為四面體四個(gè)面的面積,內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑二維圖形中類比為三維圖形中的,得V四面體ABCD(S1S2S3S4)r.故填V四面體ABCD(S1S2S3S4)r.答案(1)fk(x)1(2)V四面體ABCD(S1S2

5、S3S4)r【規(guī)律總結(jié)】歸納推理與類比推理之區(qū)別(1)歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理在進(jìn)行歸納時(shí),要先根據(jù)已知的部分個(gè)體,把它們適當(dāng)變形,找出它們之間的聯(lián)系,從而歸納出一般結(jié)論(2)類比推理是由特殊到特殊的推理,是兩類類似的對(duì)象之間的推理,其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì),則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時(shí),要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程,然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)【變式訓(xùn)練】1若數(shù)列an(nN)是等差數(shù)列,則有通項(xiàng)為bn(nN)的數(shù)列bn也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),若數(shù)列cn是等比數(shù)列,且cn0,則有通項(xiàng)為dn_(nN)的數(shù)列dn也是等比數(shù)列解析cn是等比數(shù)列,且cn0,lg c

6、n是等差數(shù)列,令dn,則lg dn,由題意知lg dn為等差數(shù)列,dn為等比數(shù)列答案2平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條都不平行,任何三條不過同一點(diǎn),試歸納它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解析n2時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù):f(2)1.n3時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù):f(3)3.n4時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù):f(4)6.n5時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù):f(5)10.猜想歸納:f(n)n(n1)(n2)考點(diǎn)二:演繹推理【例2】求證:a,b,c為正實(shí)數(shù)的充要條件是abc0,且abbcca0和abc0.審題導(dǎo)引由a、b、c為正實(shí)數(shù),顯然易得abc0,abbcca0,abc0,即“必要性”的證明用直接法易于完成證明“充分性”時(shí),要綜合三個(gè)不等式推出a、b、c是正實(shí)數(shù),有些難度

7、、需用反證法規(guī)范解答(1)證必要性(直接證法):因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù),所以abc0,abbcca0,abc0.所以必要性成立(2)證充分性(反證法):假設(shè)a、b、c不全為正實(shí)數(shù)(原結(jié)論是a、b、c都是正實(shí)數(shù)),由于abc0,則它們只能是二負(fù)一正不妨設(shè)a0,b0,c0,又由于abbcac0a(bc)bc0,因?yàn)閎c0,所以a(bc)0.又a0,所以bc0.而abc0,所以a(bc)0.所以a0,與a0的假設(shè)矛盾故假設(shè)不成立,原結(jié)論成立,即a、b、c均為正實(shí)數(shù)【規(guī)律總結(jié)】1演繹推理問題的處理方法從思維過程的指向來看,演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提,而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式,因此

8、是從一般到特殊的推理數(shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成,大前提是一個(gè)一般性原理,小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形,結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果2適用反證法證明的六種題型反證法是一種重要的間接證明方法,適用反證法證明的題型有:(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;(2)否定性命題;(3)唯一性命題;(4)至少至多型命題;(5)一些基本定理;(6)必然性命題等 【變式訓(xùn)練】3若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1,x2,xn,總滿足f(x1)f(x2)f(xn)f,稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)現(xiàn)已知f(x)sin x在(0,)上是凸函數(shù)

9、,則在ABC中,sin Asin Bsin C的最大值是_解析因?yàn)橥购瘮?shù)滿足f(x1)f(x2)f(xn)f,(大前提)f(x)sin x在(0,)上是凸函數(shù),(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f,(結(jié)論)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.考點(diǎn)三:數(shù)學(xué)歸納法【例3】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S(an2)Sn10,1Snanbn(nN)(1)求a1,a2的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若正項(xiàng)數(shù)列cn滿足:cn(nN,0a1),求證: 1.審題導(dǎo)引(1)由于S(an2)Sn10中含有S,通過升降角標(biāo)的方法無法把Sn轉(zhuǎn)化為an,這樣就

10、需要把a(bǔ)n轉(zhuǎn)化為SnSn1(n2),通過探求Sn,然后根據(jù)求得的Sn求an的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)求得的結(jié)果,根據(jù)的結(jié)構(gòu)確定放縮的方法求證規(guī)范解答(1)S(a12)S110a1,S(a22)S210a2.S(an2)Sn10,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,代入式,得SnSn12Sn10,又由S1,S2a1a2,S3.猜想Sn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),顯然成立;假設(shè)當(dāng)nk時(shí),Sk,則nk1時(shí),Sk1Sk2Sk110,Sk1成立綜合,可知猜想成立所以當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,當(dāng)n1時(shí)也滿足,故an(nN)(2)證明由(1),得bnn,cn,則 11.【規(guī)律總結(jié)】使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個(gè)

11、問題在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還要明確:(1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法,其中前兩步在推理中的作用是:第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),二者缺一不可;(2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),要注意起點(diǎn)n,并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清題目;(3)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè),特別要弄清楚由k到k1時(shí)命題變化的情況【變式訓(xùn)練】4(xx青島二模)已知集合Axx2n1,nN,Bxx6n3,nN,設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若an的任一項(xiàng)anAB且首項(xiàng)a1是AB中的最大數(shù),750S10300.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn令Tn24(b2b4b6b2n),試比較Tn與的大小解析

12、(1)根據(jù)題設(shè)可得:集合A中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng),2為公差的遞減等差數(shù)列;集合B中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng),6為公差的遞減等差數(shù)列由此可得,對(duì)任意的nN,有ABB,AB中的最大數(shù)為3,即a13,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an3(n1)d,S1045d30,750S10300,75045d30300,即16d6,由于B中所有的元素可以組成以3為首項(xiàng),6為公差的遞減等差數(shù)列,所以d6m(mZ,m0),由166m6m2,所以d12,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an912n(nN)(2)bnn,Tn24(b2b4b6b2n)2424,Tn24,于是確定Tn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2n與2n1的

13、大小,由2211,22221,23231,24241,可猜想當(dāng)n3時(shí),2n2n1,證明如下:證法一當(dāng)n3時(shí),由上驗(yàn)算可知成立假設(shè)nk時(shí),2k2k1,則2k122k2(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1,所以當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)可知,對(duì)一切n3的正整數(shù),都有2n2n1,當(dāng)n1,2時(shí),Tn,當(dāng)n3時(shí),Tn.證法二當(dāng)n3時(shí),2n(11)nCCCCCCCC2n22n1,當(dāng)n1,2時(shí),Tn,當(dāng)n3時(shí),Tn.名師押題高考【押題1】已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),則第6

14、0個(gè)整數(shù)對(duì)是A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析依題意,就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組,不難得知每組整數(shù)對(duì)的和為n1,且每組共有n個(gè)整數(shù)對(duì),這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì),注意到60,因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組)的第5個(gè)位置,結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7)故選B.答案B押題依據(jù)能用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理是高考對(duì)合情推理的基本要求相比較而言,歸納推理是高考的一個(gè)熱點(diǎn)本題體現(xiàn)了歸納對(duì)推理的思想,需從所給的數(shù)對(duì)中總結(jié)歸納出其規(guī)律,進(jìn)而推導(dǎo)出第60個(gè)整數(shù)對(duì)題目不難,體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn),故押此題押題2】已知命題:“若數(shù)列an為等差數(shù)列,且ama,anb(mn,m,nN),則amn.”現(xiàn)已知數(shù)列bn(bn0,nN)為等比數(shù)列,且bma,bnb(mn,m,nN),若類比上述結(jié)論,則可得到bmn_.解析由題意類比可得bmn.答案押題依據(jù)歸納和類比是兩種重要的思維形式,是高考的熱點(diǎn),通常以選擇題或填空題的形式考查本題以數(shù)列知識(shí)為背景,考查類比推理,題目不難,但具有較好的代表性,故押此題

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