2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第23講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 新人教版一課標(biāo)要求：1能畫(huà)出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；2借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2，正切函數(shù)在（/2，/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）；3結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（wx+）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出y=Asin（wx+）的圖像，觀察參數(shù)A，w，對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。二命題走向近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)

2、科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察為：1題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）；2熱點(diǎn)問(wèn)題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是y=Asin（wx+）的圖象及其變換；三要點(diǎn)精講1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的

3、遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，便得ysin(x)的圖象。途

4、徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，便得ysin(x)的圖象。5由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（x+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。6對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。7求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間

5、；8求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。9五點(diǎn)法作y=Asin（x+）的簡(jiǎn)圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。四典例解析題型1：三角函數(shù)的圖象例1（xx全國(guó)，5）函數(shù)yxcosx的部分圖象是（ ）解析：因?yàn)楹瘮?shù)yxcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A、C，當(dāng)x（0，）時(shí)，yxcosx0。答案為D。例2（xx上海，15）函數(shù)y=x+sin|x|，x，的大致圖象是（ ）解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x，為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函

6、數(shù)。點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。題型2：三角函數(shù)圖象的變換例3試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin2x的圖象；（2）再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sinx的圖象；（3）再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。例4（xx上海春，15）把曲線ycosx+2y1=0先沿x軸向右平移個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)

7、單位，得到的曲線方程是（ ）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0C（y+1）sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析：將原方程整理為：y=，因?yàn)橐獙⒃€向右、向下分別移動(dòng)個(gè)單位和1個(gè)單位，因此可得y=1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對(duì)平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C選項(xiàng)。題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例5已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為。（）右圖是（0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式；（）如果t在任意一段秒的時(shí)

8、間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是多少？ 解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力（）由圖可知 A300。設(shè)t1，t2， 則周期T2（t2t1）2（）。 150。又當(dāng)t時(shí)，I0，即sin（150）0，而， 。故所求的解析式為。（）依題意，周期T，即，（0） 300942，又N*，故最小正整數(shù)943。點(diǎn)評(píng):本題解答的開(kāi)竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。圖例6（1）（xx上海春，18）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)

9、的坐標(biāo)。解析：根據(jù)圖象得A=2，T=（）=4，=，y=2sin（+），又由圖象可得相位移為，=，=.即y=2sin（x+）。根據(jù)條件=2sin（），=2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交點(diǎn)坐標(biāo)為（4k+）或（4k+）（kZ）。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力。（2）（xx全國(guó)文5，理4）在（0，2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x取值范圍為（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）解析：C；解法一：作出在（0，2）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，由圖1可得C答案。圖1 圖2解法二

10、：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C。（如圖2）題型4：三角函數(shù)的定義域、值域例7（1）已知f（x）的定義域?yàn)?，1，求f（cosx）的定義域；（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域；分析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函數(shù)的定義域?yàn)閤x2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定義域?yàn)閤x（2k，2k+），kZ。點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，

11、常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線。例8（xx京春，18）已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kZ，所以f（x）的定義域?yàn)閤|xR且x，kZ，因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=f（x）。所以f（x）是偶函數(shù)。又當(dāng)x（kZ）時(shí)，f（x）=。所以f（x）的值域?yàn)閥|1y或y2。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力。題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性例9求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。分析：（1）要將原函數(shù)化為y=sin（x）再求之。（2）可畫(huà)

12、出y=|sin（x+）|的圖象。解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），為單調(diào)減區(qū)間；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），為單調(diào)增區(qū)間。遞減區(qū)間為3k，3k+，遞增區(qū)間為3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為k+，k+，減區(qū)間為k，k+。例10（xx京皖春文，9）函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（ ）A2k，2k（kZ）B2k，2k（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k（kZ）解析：A；函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間。題型6：三角函數(shù)的奇偶性例11判斷下面函數(shù)的奇

13、偶性：f（x）=lg（sinx+）。分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f（x）與f（x）的關(guān)系。解析：定義域?yàn)镽，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件。例12（xx上海春）關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：對(duì)任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在，使f（x）是奇函數(shù)；對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_.因?yàn)楫?dāng)=_時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。答案：，k（kZ）；或者，+k（kZ）；或者，+k（kZ）解析

14、：當(dāng)=2k，kZ時(shí)，f（x）=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2（k+1），kZ時(shí)f（x）=sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2k+，kZ時(shí)，f（x）=cosx，或當(dāng)=2k，kZ時(shí)，f（x）=cosx，f（x）都是偶函數(shù).所以和都是正確的。無(wú)論為何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。和都是假命題。點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問(wèn)題的能力，注意kZ不能不寫(xiě)，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分。題型7：三角函數(shù)的周期性例13求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時(shí)，y有最大值。分析：將原函數(shù)化成y=Asin（x+）+B的形式，即可求解

15、。解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。當(dāng)cos4x=1，即x=（kZ）時(shí)，ymax=1。例14設(shè)的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。解析：(1) ， ， ，又 的最大值。， ，且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， 。點(diǎn)評(píng)：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。題型8：三角函數(shù)的最值例15（xx京春文，2）設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx1的最大值和最小值，

16、則M+m等于（ ）A B C D2解析：D；因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=cosx的最大值、最小值分別為1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值為和。因此M+m=2。例16（xx京、皖春理，10）函數(shù)y的最大值是（ ）A1 B1 C1 D1解析：B；。五思維總結(jié)1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開(kāi)圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過(guò)觀察圖象而得到的。2作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域。3對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。4求定義域時(shí)，若需先把式子化簡(jiǎn)，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。5求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。6函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小。7判斷y=Asin（x+）（0）的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin（x+）的相反區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合而求y=Asin（x+）（0單調(diào)區(qū)間時(shí)，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎?，再設(shè)法求之。