2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版知識梳理:1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin() . cos() . tan() . (，均不等于k，kZ)其變形為：tan tan ,tan tan (1) sin cos cos sin sin cos cos sin (2) cos cos sin sin cos cos sin sin (3)tan()(1tan tan )，tan()(1tan tan )2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 . cos 2 . tan 2 . .2sin cos cos2sin2 2cos21 12sin2 倍

2、角公式變形：降冪公式cos2 ， sin2 ；配方變形：1sin , 1cos ， 1cos 2 2cos2 2sin2.3輔助角公式(利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期.)asin bcos sin()，其中角稱為輔助角熱身練習(xí):1計算sin119 sin181 sin 91sin29的結(jié)果等于 () A. B. C. D.解：sin119 sin181 sin 91sin29=cos29(sin 1) cos 1sin29=(sin 1cos29+cos 1sin29) cos 1sin29=sin 30=2已知，那么的值為（）A、B、C、D、3已知sin ，sin cos 0，則sin

3、 2的值為 () A B C D.解析：sin cos 0，sin ，cos .sin 22sin cos 2().4已知(0，)，sin ，則tan 2的值為_解析： (0，)，sin ，cos cos ，tan . tan 27.5已知cos ，且(，)，則tan ()等于_ 解析：cos ，且(，)，sin .tan，tan()7.6已知(，)，sin ，則tan 2_.解析：依題意得cos ，tan ，tan 2. 7.已知，則的值是（ ）A B C D 2典例探究例1化簡下列各式：(1) (0)；解(1)原式 .因為0，所以00，所以原式cos .(2)2.(2)原式22|cos4|

4、22|cos4|2|sin 4cos4|4.cos40，sin 4cos40. sin 4cos40.從而原式2cos42sin 42cos42sin 4.（3）.sin(75)cos(45)cos(15)解:原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0 (4)tan()tan()tan()tan()原式tan()()1tan()tan()tan()tan().變式訓(xùn)練一：（1）若270360，則等于 ( ) Asin Bcos Csin Dcos解：cos22cos21 cos2cos21又270360 135

5、180原式（2）tan2Atan（30A）tan2Atan（60A）tan（30A）tan（60A） （3）(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)(1tan45) （4）化簡： 解： 1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子的結(jié)構(gòu)與特征 2.對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有： 化為特殊角的三角函數(shù)值； 化為正、負相消的項，消去求值； 化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值例2 (1)的值是 () A.B. C. D.解(1)原式.(2). 化簡：解：sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80

6、sin 10sin210.考點二 三角函數(shù)的給值求值問題例3若0，0， cos()，cos()，則cos() ()A.B C. D解:0，0，則cos等于 () A. B C. D解析：由題意知，cos m，在第二象限所以cos4已知sin(A)，A(，)求cos A的值；解：因為A，且sin(A)，所以A，cos(A).因為cos Acos(A)cos(A)cossin(A)sin，所以cos A.5.已知tan2，則的值為_.【解析】由tan(x)2得tan x，(1tan2x).6.已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍.

7、解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sincossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x. sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范圍是.考點三 三角函數(shù)的給值求角問題 例4已知cos ，cos()，且0.(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)由cos ，0，得sin ，tan 4.于是tan 2.(2)由0，得0. 又cos()，sin().由()，得cos cos()cos

8、 cos()sin sin().1.解決給值求角問題的一般步驟是： (1)求角的某一個三角函數(shù)值； (2)確定角的范圍； (3)根據(jù)角的范圍寫出要求的角 2.在求角的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)注意根據(jù)條件選擇恰當?shù)暮瘮?shù)： (1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； (2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為(，)，選正弦較好變式訓(xùn)練三：1已知，(0，)，且tan()， tan ，求2的值解：tan tan()， ，(0，)，tan 1，tan 0，0，20，2.2.已知函數(shù)f(x)tan(2x)設(shè)(0，)，若f()2cos

9、 2，求的大小解：由f()2cos 2，得tan()2cos 2，2(cos2sin2)，整理得2(cos sin )(cos sin )因為(0，)，所以sin cos 0.12(cos sin ) 21=2(cos2-2sin cos + sin 2),1=2(1-sin2 )(0，)，sin2 =2. 即.3已知tan 、tan 是方程x23x40的兩根，且、，則tan()_，的值為_考點四 構(gòu)造輔助角逆用和角公式解題例五：已知函數(shù)f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當0，時，若f()1，求的值.解(1)因為f(x)2cos xc

10、ossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos xcos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，所以2或2，故或.例六已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值解(1)|ab|，a22abb2.又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，abcos cos sin sin cos()，故cos().(2)0，0.cos()，sin().又sin ，0，cos .故sin sin()sin(

11、)cos cos()sin .變式訓(xùn)練四：1.已知函數(shù)f(x)cos2sinsin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值.解由題意，得f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，又x，所以2x.又f(x)sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當x時，f(x)取得最大值1.又ff，所以當x時，f(x)取得最小值.故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為1與.2.已知函數(shù)f(x)2sin，xR. (1)求f的值；(2)設(shè)，f，f(32)，求c

12、os()的值.(1)(2)3.設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，若cos B，f ，且C為銳角，求sin A.解(1)f(x)cos 2xcos sin 2xsin cos 2xsin 2xcos 2xsin 2x.所以，當2x2k，kZ，即xk (kZ)時，f(x)取得最大值，f(x)max.(2)由 f ，即sin C，解得sin C，又C為銳角，所以C.由cos B求得sin B.因此sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.4.已知0，cos， sin，求sin()的值解cossi

13、n，0，0，A，cos A3sin A，又sin2Acos2A1，sin A，cos A，由cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.故cos Ccos(AB)cos(AB).練習(xí)一一、選擇題1計算sin 43cos 13cos 43sin 13的結(jié)果等于 ()A.B.C.D.2.已知tan()，tan，那么tan等于 ()A. B. C. D.3.已知銳角滿足cos 2cos，則sin 2等于 ()A. B. C. D.4若，且sin2cos 2，則tan 的值等于 ()A. B. C. D.5已知向量a(sin x，cos x)，向量b(1，)，則|

14、ab|的最大值為()A1B.C3D96已知cossin ，則sin的值是 ()AB.CD.二、填空題7.化簡：sin 200cos 140cos 160sin 40_.8.已知sin()，sin()，則的值為_.9.化簡：sin2x2sin xcos x3cos2x_.10.函數(shù)f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_.11sin ，cos ，其中，則_.三、解答題12. 2sin 50sin 10(1tan 10)；解原式sin 80 sin 80cos 10cos 10cos 102sin 602.13已知A、B均為鈍角且sin A，sin B，求AB的值.解A、B均為鈍角且sin A

15、，sin B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B，AB0，0)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的值可能為 ()A.2 B.3 C.4 D.55. 設(shè)0cos ，則的取值范圍是()A.B. C.D.6. 在ABC中，3sin A4cos B6,4sin B3cos A1，則C的大小為 ()A. B. C.或 D.或二、填空題7._4_.8.已知cos，則_._.9設(shè)sin ，tan()，則tan()_.10如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P(點P不在C上)且半徑相等設(shè)第i段弧所對的

16、圓心角為i (i1,2,3)，則cos cos sin sin _.11.化簡: ；12.已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0，sin ，cos .又0，0.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin .由得. (或求cos ，得13.如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為（1）求的值； （2） 求的值。解 由條件得cos=,cos=.,為銳角,sin=,sin=.因此tan=7,tan=.(1)tan(+)=-3.(2)tan2=,tan(+2)=-1.,為銳角,0+2,+2=.14.已知0，且cos，sin，求cos()的值；解(1)0，cos， sin，cos coscoscossinsin，cos()2cos2121.