2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案 新人教A版基礎(chǔ)梳理1“五點(diǎn)法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象 值域1,11,1R對(duì)稱性對(duì)稱軸：_ xk(kZ)_ _；對(duì)稱中心：_ (k，0)(kZ)_ _對(duì)稱軸： xk(kZ)_；對(duì)稱中心：_(k，0) (kZ)_ 對(duì)稱中心：_ (kZ) _周期2_2單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間_2k，2k(kZ)_；單

2、調(diào)減區(qū)間2k，2k (kZ) _單調(diào)增區(qū)間2k，2k (kZ) _；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)_單調(diào)增區(qū)間_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)3.一般地對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，把所有周期中存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期(函數(shù)的周期一般指最小正周期)對(duì)函數(shù)周期性概念的理解周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對(duì)于函數(shù)整個(gè)定義域范圍的每一個(gè)x值都滿足f(xT)f(x)，其中T是不為零的常數(shù).如果只有個(gè)別的x值滿足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一個(gè)x值不滿

3、足f(xT)f(x)，都不能說T是函數(shù)f(x)的周期.函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數(shù)值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；關(guān)于正、余弦函數(shù)的有界性由于正余弦函數(shù)的值域都是1,1，因此對(duì)于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上確界，1叫做ysin x，ycos x的下確界.(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響.(3)換元法：把sin x或cos x看作

4、一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)注意三角函數(shù)有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯(cuò)誤.5.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如yAsin(x) (0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應(yīng)特別注意，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同;利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號(hào)) (1)ysin；(2)ysin.熱身練習(xí):1函數(shù)ycos，xR()A是奇函數(shù) B既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C是偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2函數(shù)ytan的定義域

5、為()A.B.C. D.3函數(shù)ysin(2x)的圖象的對(duì)稱軸方程可能是( )Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk，則x(kZ)當(dāng)k0時(shí)，x，選D.4ysin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的對(duì)稱中心為(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一個(gè)對(duì)稱中心是.答案B5下列區(qū)間是函數(shù)y2|cos x|的單調(diào)遞減區(qū)間的是()A.(0，)B. C. D.6已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實(shí)數(shù)，若f(x)|f()|對(duì)任意xR恒成立，且f()f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ)

6、 Dk，k(kZ) 【解析】當(dāng)xR時(shí)，f(x)|f()|恒成立，f()sin()1可得2k或2k，kZf()sin()sinf()sin(2)sinsin0.1cos x1，0cos x1.利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1，OM只能在x軸的正半軸上，其定義域?yàn)?x|2kx2k，kZ.(2)要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示.在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)?變式訓(xùn)練1 (1)求函數(shù)的定義域；解(1)要使函數(shù)有意義，則 圖如圖利用單位圓得：函

7、數(shù)的定義域?yàn)閤|2kx2k，kZ. (2)求函數(shù)的定義域.要使函數(shù)有意義則利用數(shù)軸可得圖圖函數(shù)的定義域是x|0x0，0,0)的部分圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)f(x)2，求函數(shù)g(x)在x，上的最大值，并確定此時(shí)x的值【解析】(1)由圖可知A2，則4 .又f()2sin()2sin()0sin()00，0)來確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)K最開始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為(即令x0，x)確定.例4若方程sinxcosxa在0,2上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍，并求此時(shí)x1x2的值【解析】sinxcosx2sin(x)，x0,2，作出y2

8、sin(x)在0,2內(nèi)的圖象如圖由圖象可知，當(dāng)1a2或2a1時(shí)，直線ya與y2sin(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍為a(2,1)(1,2)當(dāng)1a2時(shí)，x1x2.x1x2.當(dāng)2a1時(shí)，x1x23，x1x2.【點(diǎn)評(píng)】利用三角函數(shù)圖象形象直觀，可使有些問題得到順利、簡(jiǎn)捷的解決，因此我們必須準(zhǔn)確把握三角函數(shù)“形”的特征例4已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)g(x)的圖象，求函

9、數(shù)yg(x)的解析式，并求滿足g(x)且x0，的實(shí)數(shù)x的取值范圍【解析】(1)由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為M(，2)，得A2，由x軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，得，即T，2.又點(diǎn)M(，2)在圖象上，得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k，又(0，)，.綜上可得f(x)2sin(2x)(2)將f(x)2sin(2x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到f1(x)2sin2(x)，即f1(x)2sin2x的圖象，然后將f1(x)2sin2x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.由得.則即.故x 或 x.題型四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及

10、應(yīng)用例1已知函數(shù)f(x)sin(x)，其中0，|.(1)若coscossinsin0，求的值；(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)【解析】(1)由coscossinsin0 得cos()0.|0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答.列不等式的原則是：把“x (0)”視為一個(gè)“整體”；A0 (A0，0)：若求yf(x)的對(duì)稱軸，只需令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只零令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的單調(diào)增區(qū)間，

11、只需令2kx2k，求出x；若求yf(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令2kx2k，求出x.題型七三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函數(shù)yf(x) 的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱，則的值為_.(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|的最小值為() A . B. C. D.(1) (x)2sin， yf(x)2sin圖象關(guān)于x0對(duì)稱，即f(x)為偶函數(shù)k，kZ，即k，kZ，所以當(dāng)k0時(shí)，. (2)A3cos3cos3cosk，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.故選 探究提高若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大或最小值.若f

12、(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.如果求f(x)的對(duì)稱軸，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk (kZ)即可.變式訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)f(x)sinxacos x的圖象的一條對(duì)稱軸是x，則函數(shù)g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由題意得f(0)f ，a.a, g(x)sin xcos xsin，g(x)max.(2)若函數(shù)f(x)asin xbcos x (05，ab0)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x，函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由題設(shè)，有，即(ab)，由此得

13、到ab.又，所以a0，從而tan 1，k，kZ，即8k2，kZ，而00，a0或a0，|)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象( )A關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱 B關(guān)于直線x對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱 D關(guān)于直線x對(duì)稱【解析】由已知得2，則f(x)sin(2x)設(shè)平移后的函數(shù)為g(x)，則g(x)sin(2x)(|0)和g(x)2cos(2x)1的圖象的對(duì)稱軸完全相同.若x0，則f(x)的取值范圍是_.4函數(shù)f(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么等于_解析因?yàn)閒(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最

14、大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.關(guān)于函數(shù)f(x)4sin (xR)，有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數(shù)倍；yf(x)的表達(dá)式可改寫為y4cos；yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)是_.解析函數(shù)f(x)4sin的最小正周期T，由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是知錯(cuò)利用誘導(dǎo)公式得f(x)4cos4cos4cos，知正確由于曲線f(x)與x軸的每個(gè)交點(diǎn)都是它的對(duì)稱中心，將x代入得f(x)4sin4sin 00，因此點(diǎn)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故命題正確曲線f(x)的對(duì)稱軸必經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與y軸平行，而x時(shí)y

15、0，點(diǎn)不是最高點(diǎn)也不是最低點(diǎn)，故直線x不是圖象的對(duì)稱軸，因此命題不正確答案三、解答題7.設(shè)函數(shù)f(x)sin (0)，yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間.解(1)(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.8.(1)求函數(shù)y2sin (x)的值域；(2)求函數(shù)y2cos2x5sin x4的值域.解(1)x，02x，00)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函數(shù)f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)C.僅有最大值的偶

16、函數(shù) D.有最大值又有最小值的偶函數(shù)二、填空題4.設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)y6cos x的圖象與y5tan x的圖象交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)ysin x的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_.5.函數(shù)f(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么_.解析因?yàn)閒(x)2sin x(0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.給出下列命題：函數(shù)ycos是奇函數(shù)； 存在實(shí)數(shù)，使得sin cos ；若、是第一象限角且，則tan 0)的圖象與直線ym相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求m

17、的值；(2)若點(diǎn)A(x0，y0)是yf(x)圖象的對(duì)稱中心，且x0，求點(diǎn)A的坐標(biāo).7.解(1)f(x)(1cos 2ax)sin 2ax(sin 2axcos 2ax)sin.yf(x)的圖象與ym相切，m為f(x)的最大值或最小值，即m或m.(2)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列，f(x)的最小正周期為.T，a0，a2，即f(x)sin.由題意知sin0，則4x0k (kZ)，x0 (kZ).由0 (kZ)得k1或2，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為，.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)四一、選擇題1函數(shù)f(x)2sin xcos x是()A最小正周期為2 的奇函數(shù) B最小正周期為2 的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)

18、 D最小正周期為的偶函數(shù)解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)答案C2函數(shù)ysin2xsin x1的值域?yàn)?)A1,1 B. C. D.解析(數(shù)形結(jié)合法)ysin2xsin x1，令sin xt，則有yt2t1，t1,1，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)t及t1時(shí)，函數(shù)取最值，代入yt2t1可得y.答案C3若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則()A. B. C2 D3解析由題意知f(x)的一條對(duì)稱軸為x，和它相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為原點(diǎn)，則f(x)的周期T，從而.答案B4函數(shù)f(x)(1tan x)cos x的最小正周

19、期為()A2 B. C D.解析依題意，得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期為2.答案A5下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是()Aysin BycosCysin Dycos解析(篩選法)函數(shù)的周期為.排除C、D，函數(shù)在上是減函數(shù)，排除B. 答案A【點(diǎn)評(píng)】 本題采用了篩選法，體現(xiàn)了篩選法的方便、快捷、準(zhǔn)確性，在解選擇題時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用.6已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為2 B函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱 D函數(shù)f(x)是奇函數(shù)解析ysincos x，T2，在上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)答

20、案D二、 填空題7.y=|sin（x+）|的單調(diào)增區(qū)間為_k+，k+（kZ）_.8.要得到的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象向左平移_單位.9.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為_.10函數(shù)f(x)=() 的值域是_-1,0_ _.11.已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_12、給出下面的3個(gè)命題：（1）函數(shù)的最小正周期是；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.其中正確命題的序號(hào)是 13若函數(shù)f(x)cos xcos(0)的最小正周期為，則的值為_解析f(x)cos xcoscos xsin xsin 2x，T.1. 答案114函數(shù)ytan的

21、圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析由2xk，kZ，得：x，kZ，故交點(diǎn)坐標(biāo)為(kZ) 答案(kZ)15已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù)，則的值為_解析(回顧檢驗(yàn)法)據(jù)已知可得f(x)2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有k(kZ)，又由于，故有，解得，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意答案三、解答題16已知f(x)sin xsin. (1)若0，且sin 2，求f()的值；(2)若x0，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題設(shè)知f()sin cos .sin 22sin cos 0，0，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos ，得sin cos ，f().(2)由(1)知f(x)si

22、n，又0x，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.17設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求； (2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，則k，kZ，k1，則.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ. 18、設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值解：（）= = = 故的最小正周期為T = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) .由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而 = = 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為 解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的對(duì)稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于x = 1對(duì)稱，故在上的最大值為在上的最大值由（）知當(dāng)時(shí)，因此在上的最大值為 .19、設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)的值； （2）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合 (3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4)函數(shù)圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。19、（1）（2）(3)(4) 20、設(shè)函數(shù)，給出下列三個(gè)論斷： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 的周期為； 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并對(duì)該命題加以證明或，證明略