《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 5 立體幾何教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 5 立體幾何教學(xué)案 理（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、5.立體幾何要點(diǎn)重溫1幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖下面，側(cè)視圖放在正視圖右面，“長對正，高平齊，寬相等”由幾何體的三視圖確定幾何體時，要注意以下幾點(diǎn)：(1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺、球的組合體(2)注意圖中實(shí)、虛線，實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線(3)想象原形，并畫出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過調(diào)整準(zhǔn)確畫出原幾何體應(yīng)用1“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖11
2、，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是() 圖11解析俯視圖是正方形，曲線在其上面的投影恰為正方形的對角線，故選B.答案B2空間幾何體表面積和體積的求法幾何體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法應(yīng)用2如圖12所示，一個空間幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為()【導(dǎo)學(xué)號：07804184】圖12A4B3C2D答案D應(yīng)用3如圖13，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)為PA，PD的中點(diǎn)，則平面BCFE
3、將四棱錐PABCD所分成的上下兩部分的體積的比值為_圖13解析設(shè)棱錐的底面ABCD的面積為S，高為h，VPABCDSh，VFBDCSDBCSh，同理VPADBhSh，由于四棱錐BADFE和三棱錐BPAD等高，而，所以VBADFEShSh，所以下半部分的體積為Sh，上半部分的體積為ShShSh，所以上下兩部分體積之比為.答案3多面體與球接、切問題的求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾
4、何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2a2b2c2求解應(yīng)用4一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是()A96B16C24D48解析如圖，設(shè)球的半徑為R，由R3，得R2.所以正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則a2，所以a4，所以V(4)2448.答案D應(yīng)用5已知三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，且BCBDCD2，若三棱錐ABCD體積的最大值為4，則球O的表面積為() 【導(dǎo)學(xué)號：07804185】A16
5、B25C36D64解析如圖，當(dāng)三棱錐的體積最大值為4，即(2)2h4，解得h4，點(diǎn)A在如圖所示的位置時，三棱錐的體積最大，即AO4，并且在如圖所示的三角形中，OAOCR，OO4R，OC22，所以在直角三角形OOC中，R2(4R)222，解得R，球的表面積為S4R225，故選B.答案B4空間平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等應(yīng)用6下列命題正確的序號是_(1)如果a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面(2)如果直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行(3)如果直線a，b和平面滿足a
6、，b，那么ab.(4)如果直線a，b和平面滿足ab，a，b，那么b.答案(4)5空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有：等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等應(yīng)用7已知兩個平面垂直，下列命題一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題的個數(shù)是()A3B2C1D0答案B6平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”應(yīng)用8(1)
7、如圖14(1)，在RtABC中，ABC90，BAC60，AB2，D、E分別為AC、BD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖14(2)所示圖14(1)圖14(2)(1)求證：AE平面BCD；(2)求平面AEF與平面ADC所成的銳二面角的余弦值；(3)在線段AF上是否存在點(diǎn)M使得EM平面ADC？若存在，請指出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由解(1)證明：在RtABC中，ABC90，D為AC的中點(diǎn)，ADBDDC，又BAC60，所以三角形ABD為等邊三角形；又E為BD的中點(diǎn)，AEBD.因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，交線為BD，AE平面ABD，所以AE平面BCD.
8、(2)由AE平面BCD可知AEEF.由題意知EFBD，AEBD，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.由(1)得，ABBDDCAD2，BEED1，計算得AE，BC2，BF，則E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1,0)，A(0,0，)，F(xiàn)，C(，2,0)，則(，1,0)，(0,1，)，易知平面AEF的一個法向量為(0,1,0)設(shè)平面ADC的法向量為n(x，y，z)，則，即，令z1，得y，x1，n(1，1)cosn，.所以平面AEF與平面ADC所成的銳二面角的余弦值為(3)設(shè)，其中0,1，其中0,1，由n0，解得(0,1)所以在線
9、段AF上存在點(diǎn)M，使EM平面ADC，且AMAF34.7. “轉(zhuǎn)化法”求空間角(1)設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為，兩條直線的方向向量分別為a，b.因?yàn)?，故有cos |cosa，b|.(2)設(shè)直線l和平面所成的角為，l是斜線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosl，n|.(3)設(shè)二面角l的大小為，n1，n2是二面角l的兩個半平面的法向量，則|cos |cosn1，n2|，兩個角之間的關(guān)系需要根據(jù)二面角的取值范圍來確定應(yīng)用9在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCPA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值解OP平面ABC，OAOC，ABBC
10、，OAOB，OAOP，OBOP.以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為z軸正方向，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)設(shè)ABa，則A，B，C，設(shè)OPh，則P(0,0，h)，由PAAB，則PA2a，則P，.可求得平面PBC的一個法向量為n，cos，n，設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則sin |cos，n|.8求點(diǎn)到平面的距離的方法(1)“等積法”：求解點(diǎn)到面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高，利用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離(2)“向量法”：如圖，設(shè)P在平面外，n為平面的法向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面的距離d.圖15應(yīng)用10正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1
11、B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804186】解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.設(shè)平面ABC1D1的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距離d.答案查缺補(bǔ)漏1已知m，n為空間中兩條不同的直線，為空間中兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A若m，m，則B若m，mn，則nC若m，mn，則nD若m，m，則D對于選項A，若m，m，則可能，相交，或者，所以選項A不正確；對于選項B，若m，mn，則可能n，或n，所以選項B不正確；對于選項C
12、，若m，mn，則n，或n，所以選項C不正確；對于選項D，若m，m，則由線面平行可得在平面內(nèi)存在一條直線l，使得ml，然后由m可得l，進(jìn)而得出，故選D.2. 一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是，(1,1,0)，(1,0,1)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以yOz平面為投影面，則得到的正視圖可以為()A由圖可得，故選A. 3如圖16，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()圖16A B C DB作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的
13、截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確4如圖17，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線或虛線畫出某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為()【導(dǎo)學(xué)號：07804187】圖17A8B12C18D24B由題意得，根據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體為如圖所示的幾何體，是一個三棱錐與三棱柱的組合體，其中三棱錐的體積為V14324，三棱柱的體積為V22V1248，所以該幾何體的體積為V12，故選B.5.如圖18，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是
14、()圖18APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45D若PBAD，則ADAB，但AD與AB成60角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯誤；直線PD與平面ABC所成角為PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45，D正確6設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，BCA90，BCCA2，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為()ABCDB由已知，若棱柱的所有頂點(diǎn)都在球面上，則同高的長方體8個頂點(diǎn)也在球
15、面上，且外接球的直徑為長方體的體對角線，由球體體積可得直徑為4，由于長方體底面為邊長為2的正方形，故側(cè)面的對角線為2，由余弦定理可知，直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為.7三棱錐PABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐外接球的表面積為()A.BC.DD由題意可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，x2322，解得x，R2x21(其中R為三棱錐外接球的半徑)，外接球的表面積S4R2，故選D.8在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積
16、為_. 【導(dǎo)學(xué)號：07804188】過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐AB2BCCE2DE122121.9如圖19，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段BB1上的一動點(diǎn)，則過A，M，C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為_圖193由圖形可知，當(dāng)AMMC1最小時，所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個平面AA1C1C，則AMMC1最
17、短為AC13，所以截面的最小周長為33.10在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA15，則V的最大值是_由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切，設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，ABC的內(nèi)切球半徑為2，R2，又2R5，即R，取交集R2，Vmax23.11如圖20，四棱錐PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB與PAD都是等邊三角形圖20(1)證明：PBCD；(2)求二面角APDB的余弦值解(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ADEB為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OE，OD，則
18、由PAB和PAD都是等邊三角形可知PAPBPD，OAOBOD，即點(diǎn)O為正方形ADEB對角線的交點(diǎn)，故OEBD，從而OE平面PBD，OEPB，O是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，OECD，因此PBCD.(2)由(1)可知，OE，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OE方向?yàn)閤軸正方向，OB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB2，則A(，0,0)，D(0，0)，P(0,0，)，(，0)，(，0，)，設(shè)平面PAD的法向量n(x，y，z)，nxy0，nxz0，取x1，得y1，z1，得n(1,1，1)，OE平面PBD，設(shè)平面PBD的法向量為m，取m(1,0,0)，
19、由圖象可知二面角APDB的大小為銳角，二面角APDB的余弦值為cos .12已知三棱柱ABCA1B1C1，側(cè)面BCC1B1底面ABC.圖21(1)若M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn)，求證：MN平面BCC1B1.(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱長均為2，側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角為60.問：在線段A1C1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P與PA1的比值；若不存在，說明理由解(1)證明：連接AC1，BC1，則ANNC1，AMMB，MNBC1.又BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O，面BCC1B1底面ABC，B1O面ABC.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)B1(0,0，)由可求出A1(1，)，C1(2,0，)設(shè)P(x，y，z)，解得P，則，(1,0，)設(shè)平面B1CP的法向量為n1(x，y，z)，由解得n1.同理可求出平面ACC1A1的法向量n2(，1，1)由面B1CP平面ACC1A1，得n1n20，即310解得，3，所以A1C13A1P，從而C1PPA12.14
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