2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 4 簡單計(jì)數(shù)問題學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、4 簡單計(jì)數(shù)問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問題 知識點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事,可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種方法,在第二類辦法中有m2種方法,在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N_種方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可,做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法,做第n步有mn種方法,那么,完成這件事共有N_種方法3分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于:分類加法

2、計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨(dú)立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān),各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成. 知識點(diǎn)二排列1排列從n個(gè)_的元素中取出m(mn)個(gè)元素,按照一定的_排成一列,叫作從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作_排列數(shù)公式乘積式A_階乘式A_排列數(shù)的性質(zhì)A_;A_,0!1知識點(diǎn)三組合1組合一般地,從n個(gè)不同的元素中,任取m(mn)個(gè)元素為一組,叫作從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2組合數(shù)(

3、1)組合數(shù)定義:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的_,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號_表示(2)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式C_階乘形式C備注n,mN,且mn,規(guī)定C_特別提醒:1.排列組合綜合題的一般解法一般堅(jiān)持先組后排的原則,即先選元素后排列,同時(shí)注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類2解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略(2)正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略(3)相鄰問題捆綁處理的策略(4)不相鄰問題插空處理的策略(5)定序問題除法處理的策略(6)“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略(7)平均分組問題,除法處理的策略(8)構(gòu)造模型的策略類

4、型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用命題角度1“類中有步”的計(jì)數(shù)問題例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴,有_種不同的結(jié)果反思與感悟用流程圖描述計(jì)數(shù)問題,類中有步的情形如圖所示:具體意義如下:從A到B算作一件事的完成,完成這件事有兩類辦法,在第1類辦法中有3步,在第2類辦法中有2步,每步的方法數(shù)如圖所示所以,完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3m4m5,“類”與“步”可進(jìn)一步地理解為:“類”用“”號連接,“步”用“”號連接,“類”獨(dú)立,“步”連續(xù),“類”標(biāo)

5、志一件事的完成,“步”缺一不可跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)有4種不同顏色,要對如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色,要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有() A24種 B30種 C36種 D48種命題角度2“步中有類”的計(jì)數(shù)問題例2有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個(gè)項(xiàng)目的測試,每位同學(xué)上、下午各測試一個(gè)項(xiàng)目,且不重復(fù)若上午不測“握力”項(xiàng)目,下午不測“臺階”項(xiàng)目,其余項(xiàng)目上、下午都各測一人,則不同的安排方式共有_種(用數(shù)字作答)反思與感悟用流程圖描述計(jì)數(shù)問題,步中有類的情形如圖所示:從計(jì)數(shù)的角度看,由A到D算作完成一件事,可簡單地記為A

6、D.完成AD這件事,需要經(jīng)歷三步,即AB,BC,CD.其中BC這步又分為三類,這就是步中有類其中mi(i1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù)完成AD這件事的方法數(shù)為m1(m2m3m4)m5.以上給出了處理步中有類問題的一般方法跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,使電路接通,開關(guān)不同的開閉方式共有()A11 B12 C20 D21類型二排列與組合的綜合應(yīng)用命題角度1不同元素的排列、組合問題例3有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種?反思與感悟(1)解排列、組合綜合問

7、題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來,再對元素或位置進(jìn)行排列(2)解排列、組合綜合問題時(shí)的注意點(diǎn)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題,有序的問題是排列問題對于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題,應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處理排列、組合綜合問題的一般方法跟蹤訓(xùn)練3從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)?命題角度2含有相同元素的排列、組合問題例4今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,同色球不加區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列,有_種不同的方法反思與感悟針對對部分元素相同的

8、n個(gè)不同元素進(jìn)行排列的問題,有兩種解決方法:(1)先把這些元素看作全不相同的元素進(jìn)行排列,再設(shè)法消去相同元素的順序(2)從位置進(jìn)行分析,因?yàn)槲恢萌幌嗤?,可以分別給相同的每一類元素找位置跟蹤訓(xùn)練4為減輕學(xué)生經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)且又能滿足學(xué)生求知要求,某班級利用班費(fèi)買了4本相同的數(shù)學(xué)資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學(xué)們學(xué)習(xí)使用現(xiàn)有8人去借閱圖書,每人只能借閱一本,則有多少種借閱方法?1李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則李芳的不同的選擇方式有()A24種 B14種C10種 D9種2設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同

9、一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動的可能結(jié)果有a種,這4名學(xué)生在運(yùn)動會上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種,則(a,b)為()A(34,34) B(43,34)C(34,43) D(A,A)3三位數(shù)中,如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小,則稱這個(gè)數(shù)為凹數(shù),如524,746等都是凹數(shù),那么,各個(gè)數(shù)位上無重復(fù)數(shù)字的三位凹數(shù)有()A72個(gè) B120個(gè)C240個(gè) D360個(gè)4某電視臺連續(xù)播放5個(gè)廣告,其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告,要求最后播放的必須是公益宣傳廣告,且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放,則不同的播放方式有_種5已知xi1,0,1,i1,2,3,4

10、,5,6,則滿足x1x2x3x4x5x62的數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的個(gè)數(shù)為_1解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理2對于較難直接解決的問題則可用間接法,但應(yīng)做到不重不漏3對于分配問題,解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān),對于平均分組問題更要注意順序,避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏答案精析知識梳理知識點(diǎn)一1m1m2mn2m1m2mn知識點(diǎn)二1不同順序2An(n1)(n2)(nm1)(n,mN,mn)n!1知識點(diǎn)三2(1)所有組合的個(gè)數(shù)C(2)1題型探究例128 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星,決定了后

11、邊選幸運(yùn)伙伴是不同的,故要分兩類分別計(jì)算:(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽,先確定幸運(yùn)之星,再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴,有30292017 400(種)結(jié)果;(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽,同理有20193011 400(種)結(jié)果因此共有17 40011 40028 800(種)不同結(jié)果跟蹤訓(xùn)練1D例2264跟蹤訓(xùn)練2D例3解分三類:第一類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí),不同的排法有CCCCA種第二類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí),不同的排法有CCA種第三類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí),不同的排法有CCA種故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為CCCCA2CCA

12、432.跟蹤訓(xùn)練3解(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.第1步,選出5個(gè)數(shù)字,共有CC種選法第2步,排成偶數(shù)先排末位數(shù),有A種排法,再排其他四位數(shù)字,有A種排法所以N1CCAA.(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.第1步,選出5個(gè)數(shù)字,共有CC種選法第2步,排順序又可分為兩小類:末位排0,有AA種排列方法;末位不排0.這時(shí)末位數(shù)有C種選法,而因?yàn)?不能排在首位,所以首位有A種排法,其余3個(gè)數(shù)字則有A種排法所以N2CC(AAAA)所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例41 260跟蹤訓(xùn)練4解第一類:剩下的一本書是數(shù)學(xué)資料書,此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為3,3,2的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC560(種)第二類:剩下的一本書是外語資料書,此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4,2,2的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC420(種)第三類:剩下的一本書是物理資料書,此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4,3,1的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC280(種)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得借閱方法共有5604202801 260(種)當(dāng)堂訓(xùn)練1B2.C3.C4.365.907

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