2017-2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 4 簡單計數(shù)問題學案 北師大版選修2-3

4 簡單計數(shù)問題學習目標1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.進一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數(shù)問題 知識點一兩個計數(shù)原理1分類加法計數(shù)原理(加法原理)完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法2分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成. 知識點二排列1排列從n個_的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的_排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列2排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作_排列數(shù)公式乘積式A_階乘式A_排列數(shù)的性質A_；A_，0！1知識點三組合1組合一般地，從n個不同的元素中，任取m(mn)個元素為一組，叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合2組合數(shù)(1)組合數(shù)定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的_，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號_表示(2)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式C_階乘形式C備注n，mN，且mn，規(guī)定C_特別提醒：1.排列組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時注意按元素性質分類或按事件的發(fā)生過程分類2解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略(2)正難則反，等價轉化的策略(3)相鄰問題捆綁處理的策略(4)不相鄰問題插空處理的策略(5)定序問題除法處理的策略(6)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略(7)平均分組問題，除法處理的策略(8)構造模型的策略類型一兩個計數(shù)原理的應用命題角度1“類中有步”的計數(shù)問題例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有_種不同的結果反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示：具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3m4m5，“類”與“步”可進一步地理解為：“類”用“”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成，“步”缺一不可跟蹤訓練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有() A24種 B30種 C36種 D48種命題角度2“步中有類”的計數(shù)問題例2有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有_種(用數(shù)字作答)反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，步中有類的情形如圖所示：從計數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡單地記為AD.完成AD這件事，需要經歷三步，即AB，BC，CD.其中BC這步又分為三類，這就是步中有類其中mi(i1,2,3,4,5)表示相應步的方法數(shù)完成AD這件事的方法數(shù)為m1(m2m3m4)m5.以上給出了處理步中有類問題的一般方法跟蹤訓練2如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式共有()A11 B12 C20 D21類型二排列與組合的綜合應用命題角度1不同元素的排列、組合問題例3有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？反思與感悟(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列(2)解排列、組合綜合問題時的注意點元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法跟蹤訓練3從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)？命題角度2含有相同元素的排列、組合問題例4今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有_種不同的方法反思與感悟針對對部分元素相同的n個不同元素進行排列的問題，有兩種解決方法：(1)先把這些元素看作全不相同的元素進行排列，再設法消去相同元素的順序(2)從位置進行分析，因為位置全不相同，可以分別給相同的每一類元素找位置跟蹤訓練4為減輕學生經濟負擔且又能滿足學生求知要求，某班級利用班費買了4本相同的數(shù)學資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學們學習使用現(xiàn)有8人去借閱圖書，每人只能借閱一本，則有多少種借閱方法？1李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳的不同的選擇方式有()A24種 B14種C10種 D9種2設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結果有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結果有b種，則(a，b)為()A(34,34) B(43,34)C(34,43) D(A，A)3三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為凹數(shù)，如524,746等都是凹數(shù)，那么，各個數(shù)位上無重復數(shù)字的三位凹數(shù)有()A72個 B120個C240個 D360個4某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有_種5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，則滿足x1x2x3x4x5x62的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個數(shù)為_1解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理2對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏3對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏答案精析知識梳理知識點一1m1m2mn2m1×m2××mn知識點二1不同順序2An(n1)(n2)(nm1)(n，mN，mn)n！1知識點三2(1)所有組合的個數(shù)C(2)1題型探究例128 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有30×29×2017 400(種)結果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×3011 400(種)結果因此共有17 40011 40028 800(種)不同結果跟蹤訓練1D例2264跟蹤訓練2D例3解分三類：第一類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有C·C·C·C·A種第二類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有C·C·A種第三類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有C·C·A種故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為C·C·C·C·A2C·C·A432.跟蹤訓練3解(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.第1步，選出5個數(shù)字，共有CC種選法第2步，排成偶數(shù)先排末位數(shù)，有A種排法，再排其他四位數(shù)字，有A種排法所以N1C·C·A·A.(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.第1步，選出5個數(shù)字，共有C·C種選法第2步，排順序又可分為兩小類：末位排0，有A·A種排列方法；末位不排0.這時末位數(shù)有C種選法，而因為0不能排在首位，所以首位有A種排法，其余3個數(shù)字則有A種排法所以N2C·C(A·AA·A)所以符合條件的偶數(shù)個數(shù)為NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例41 260跟蹤訓練4解第一類：剩下的一本書是數(shù)學資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為3,3,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有CCC560(種)第二類：剩下的一本書是外語資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4,2,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有CCC420(種)第三類：剩下的一本書是物理資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4,3,1的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有CCC280(種)根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得借閱方法共有5604202801 260(種)當堂訓練1B2.C3.C4.365.907