2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案：第17講三角形的五心.doc
《2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案：第17講三角形的五心.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案：第17講三角形的五心.doc（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第17講 三角形的五心 三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的外心(外接圓圓心)． 三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等． 都等于三角形的外接圓半徑． 銳角三角形的外心在三角形內(nèi)； 直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)； 鈍角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的內(nèi)心 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)． 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑． 內(nèi)切圓半徑r的計(jì)算： 設(shè)三角形面積為S，并記p=(a+b+c)，則r=． 特別的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)． 3、三角形的重心 三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的重心． 上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三條高交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的垂心． 斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn)．所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱為一個(gè)“垂心組”． 5、三角形的旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)外角平分線交于一點(diǎn),稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)． 每個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓． A類例題 例1 證明重心定理。 證法1 如圖，D、E、F為三邊中點(diǎn)，設(shè)BE、CF交于G，連接EF，顯然EFBC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． 又設(shè)AD、BE交于G，同理可證GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點(diǎn)，故G、G重合． 即三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G． 證法2 設(shè)BE、CF交于G，BG、CG中點(diǎn)為H、I．連EF、FH、HI、IE， 因?yàn)镋FBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形． 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF． 同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點(diǎn)． 即定理證畢． 鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。 外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心． 內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I、過(guò)I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)． 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請(qǐng)同學(xué)們自己完成． 例2證明垂心定理 分析 我們可以利用構(gòu)造外心來(lái)進(jìn)行證明。 證明 如圖，AD、BE、CF為ΔABC三條高，過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線相交成ΔABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證． 鏈接 （1）對(duì)于三線共點(diǎn)問(wèn)題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是=1． （2）對(duì)于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（≥3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的n-1個(gè)頂點(diǎn)所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時(shí)，n-1邊形退化成一線段，此時(shí)重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線被該點(diǎn)分為：（n-1）∶1的兩條線段，這點(diǎn)叫n邊形的重心．請(qǐng)同學(xué)們自己研究一下其他幾個(gè)“心”的推廣。 情景再現(xiàn) 1．設(shè)G為△ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMAN和△GBC的面積相等． 2．三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍． B類例題 例3 過(guò)等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N. 作點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)P.試證：P點(diǎn)在△ABC外接圓上.(杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題》) 分析 分析點(diǎn)M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。 證明 由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC， 故點(diǎn)M是△PBP的外心，點(diǎn)N是△PPC的外心.于是有 ∠BPP=∠BMP=∠BAC， ∠PPC=∠PNC=∠BAC. ∴∠BPC=∠BPP+∠PPC=∠BAC. 從而，P點(diǎn)與A、B、C共圓，即P在△ABC外接圓上. 鏈接 本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分∠BPC、PB:PC=BP:PC等等． 例4 AD，BE，CF是△ABC的三條中線，P是任意一點(diǎn). 證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克) 證明 設(shè)G為△ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， ∴EE=DD+FF. 有S△PGE=S△PGD+S△PGF. 兩邊各擴(kuò)大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF. 例5 設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國(guó)高中聯(lián)賽) 證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由△A2A3A4知 =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4； 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對(duì)稱.由O，M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了. 鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心； （8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心． 情景再現(xiàn) 3．在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點(diǎn)P，Q，S. 證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似. (B波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》) 4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真. C類例題 例6 H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個(gè)以H為圓心的⊙H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題) 分析 只須證明AA1=BB1=CC1即可. 證明 設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圓半徑為R，⊙H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， ① 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， ② 而=2RAH2=4R2cos2A, =2Ra2=4R2sin2A. ∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有 A=r2+bc-(4R2-a2) = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2， = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 故有AA1=BB1=CC1. 例7 已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是△ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》) 證明 如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，中點(diǎn)K都在∠BAC平分線上.易知AQ=. ∵QKAQ=MQQN， ∴QK= ==. 由Rt△EPQ知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=. ∴PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心. 說(shuō)明 在第20屆IMO中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC. 例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題》) 證明 設(shè)Rt△ABC中，c為斜邊，先來(lái)證明一個(gè)特性： p(p-c)=(p-a)(p-b). ∵p(p-c)= (a+b+c)(a+b-c) =[(a+b)2-c2] =ab； (p-a)(p-b)= (-a+b+c)(a-b+c) =[c2-(a-b)2]= ab. ∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 觀察圖形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p. 而r=(a+b-c)=p-c. ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及圖形易證. 例9 M是△ABC邊AB上的任意一點(diǎn).r1，r2，r分別是△AMC，△BMC，△ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在∠ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明=.(IMO-12) 證明 對(duì)任意△ABC，由正弦定理可知 OD=OA =AB =AB， OE= AB. ∴. 亦即有 = ==. 例10 銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重. 證明 設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個(gè)內(nèi)角記為A，B， C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 =cosA+cosB+cosC， ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. ∴3d重=△ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) ② ∴=2， ∴HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) ③ 欲證結(jié)論，觀察①、②、③， 須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可. 說(shuō)明 本題用了三角法。 情景再現(xiàn) 5.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題) 6．△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點(diǎn)，E是△ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題) 7．△ABC中∠C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題) 習(xí)題17 1．在△ABC中，∠A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則cos∠BHC=( ) A．－ B． C． D． 2．如果一個(gè)三角形的面積與周長(zhǎng)都被一條直線平分，則此直線一定通過(guò)三角形的( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全國(guó)初中聯(lián)賽) 3．(1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)若0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔，確保文檔完整性，對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔，不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入（下載+內(nèi)容+預(yù)覽）歸上傳者、原創(chuàng)作者；如果您是本文檔原作者，請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)！既往收益都?xì)w您。
文檔包含非法信息？點(diǎn)此舉報(bào)后獲取現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)！
下載文檔到電腦，查找使用更方便
9.9 積分
| 下載 |
還剩頁(yè)未讀，繼續(xù)閱讀
- 配套講稿：
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo)，表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制：
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片，僅作為作品整體效果示例展示，禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞：
- 提優(yōu)教程 2012 江蘇省 數(shù)學(xué) 競(jìng)賽 教程 教案 17 三角形
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網(wǎng)友學(xué)習(xí)交流，未經(jīng)上傳用戶書面授權(quán)，請(qǐng)勿作他用。
鏈接地址：http://italysoccerbets.com/p-9868468.html