高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)與平面向量》精講精練.doc
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第三講 三角函數(shù)與平面向量【知識網(wǎng)絡(luò)】任意角的概念弧長公式角度制與弧度制同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)公式計算與化簡證明恒等式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)已知三角函數(shù)值求角圖像和性質(zhì)和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用 第1課 三角函數(shù)的概念考試注意:理解任意角的概念、弧度的意義 能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算 掌握終邊相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意義了解余切、正割、余割的定義 掌握三角函數(shù)的符號法則 知識典例: 1角的終邊在第一、三象限的角平分線上,角的集合可寫成 2已知角的余弦線是單位長度的有向線段,那么角的終邊 ( ) A在x軸上 B在y軸上 C在直線y=x上 D在直線y=x上 3已知角的終邊過點p(5,12),則cos ,tan= 4 的符號為 5若costan0,則是 ( )A第一象限角 B第二象限角 C第一、二象限角 D第二、三象限角【講練平臺】例1 已知角的終邊上一點P( ,m),且sin= m,求cos與tan的值 分析 已知角的終邊上點的坐標(biāo),求角的三角函數(shù)值,應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題,由P的坐標(biāo)可知,需求出m的值,從而應(yīng)尋求m的方程 解 由題意知r= ,則sin= = 又sin= m, = m m=0,m= 當(dāng)m=0時,cos= 1 , tan=0 ;當(dāng)m= 時,cos= , tan= ;當(dāng)m= 時,cos= ,tan= 點評 已知一個角的終邊上一點的坐標(biāo),求其三角函數(shù)值,往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)的定義)解決 注意運(yùn)用終邊相同的角的表示方法表示有關(guān)象限角等;已知角的終邊上一點的坐標(biāo),求三角函數(shù)值往往運(yùn)用定義法;注意運(yùn)用三角函數(shù)線解決有關(guān)三角不等式1 已知是鈍角,那么 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一與第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的終邊過點P(4k,3k)(k0,則cos的值是 ( ) A B C D 3已知點P(sincos,tan)在第一象限,則在0,2內(nèi),的取值范圍是 ( ) A( , )(, ) B( , )(, ) C( , )(,) D( , )( ,) 4若sinx= ,cosx = ,則角2x的終邊位置在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5若46,且與 終邊相同,則= 6 角終邊在第三象限,則角2終邊在 象限7已知tanx=tanx,則角x的集合為 8如果是第三象限角,則cos(sin)sin(sin)的符號為什么? 9已知扇形AOB的周長是6cm,該扇形中心角是1弧度,求該扇形面積 第2課 同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式 掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin 2+cos2=1, =tan,tancot=1, 掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式能運(yùn)用化歸思想(即將含有較多三角函數(shù)名稱問題化成含有較少三角函數(shù)名稱問題)解題 1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是 ( ) A B C D 2已知sin(+)=,則 ( ) Acos= Btan= Ccos= Dsin()= 3已tan=3, 的值為 4化簡= 5已知是第三象限角,且sin4+cos4= ,那么sin2等于 ( ) A B C D 例1 化簡 分析 式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱,若能減少它們的個數(shù),則式子可望簡化 解 原式= = = =1 點評 將不同角化同角,不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法 例2 若sincos= ,( ,),求cossin的值 分析 已知式為sin、cos的二次式,欲求式為sin、cos的一次式,為了運(yùn)用條件,須將cossin進(jìn)行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ,), cossin cossin= 變式1 條件同例, 求cos+sin的值 變式2 已知cossin= , 求sincos,sin+cos的值 點評 sincos,cos+sin,cossin三者關(guān)系緊密,由其中之一,可求其余之二 1在三角式的化簡,求值等三角恒等變換中,要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù) 2注意1的作用:如1=sin 2+cos2 3要注意觀察式子特征,關(guān)于sin、cos的齊次式可轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan的式子 4運(yùn)用誘導(dǎo)公式,可將任意角的問題轉(zhuǎn)化成銳角的問題 1sin600的值是 ( ) A B C D 2 sin(+)sin()的化簡結(jié)果為 ( ) Acos2 Bcos2 Csin2 D sin2 3已知sinx+cosx=,x0,則tanx的值是 ( )A B C D或4已知tan=,則 = 5 的值為 6證明 = 7已知=5,求3cos2+4sin2的值 8已知銳角、滿足sin+sin=sin,coscos=cos,求的值 第3課 兩角和與兩角差的三角函數(shù)(一) 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能運(yùn)用化歸思想(將不同角化成同角等)解題1cos105的值為 ( ) A B C D 2對于任何、(0,),sin(+)與sin+sin的大小關(guān)系是 ( ) Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具體值而定3已知,sin2=a,則sin+cos等于 ( ) A B C D4已知tan=,tan=,則cot(+2)= 5已知tanx=,則cos2x= 例1 已知sinsin= ,coscos=,求cos()的值 分析 由于cos()=coscos+sinsin的右邊是關(guān)于sin、cos、sin、cos的二次式,而已知條件是關(guān)于sin、sin、cos、cos的一次式,所以將已知式兩邊平方 解 sinsin=, coscos= , 2 2 ,得22cos()= cos()= 點評 審題中要善于尋找已知和欲求的差異,設(shè)法消除差異 例2 已知:sin(+)=2sin求證:tan=3tan(+) 分析 已知式中含有角2+和,而欲求式中含有角和+,所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角 解 2+=(+)+,=(+), sin(+)+=2sin(+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若cos(+)0 ,cos0,則3tan(+)=tan 點評 審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系,善于運(yùn)用整體思想解題,此題中將+看成一個整體 1已知0,sin=,cos(+)=,則sin等于 ( ) A0 B0或 C D0或2 的值等于 ( ) A2+ B C2 D 3 ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,則C的大小為 ( ) A B C 或 D 或4若是銳角,且sin()= ,則cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=,tan=,且、都是銳角求證:+=45 7已知cos()=,cos(+)= ,且()(,),+(,2),求cos2、cos2的值 8 已知sin(+)= ,且sin(+)= ,求 第四課 平面向量基本概念一、1.向量是既有 又有 的量。 幾何表示:有向線段 符號表示:用有向線段的記法表示4.向量的模是指向量的 ,向量的模記為 。5.零向量與單位向量 模為 的向量叫零向量,規(guī)定零向量的方向是任意的,記作: 。 模為 的向量叫單位向量,(有個單位向量)6.向量間關(guān)系 相等向量:是指方向 且模 的向量,所有相等的非零向量都可用同一條 有向線段表示而與起點無關(guān),向量與 相等記為 。 自由向量:數(shù)學(xué)中的向量只有兩要素 、 ,它可以平移到以空間任意 一點為起點而向量不變,本章研究平面自由向量。 平行向量:也稱共線向量,是指方向 或 的非零向量 (平行向量可以平移到同一條直線上,故稱共線向量)(零向量與任意向量平行)二、設(shè)=,=,則叫做 的和,記作 。+ =+ =向量加法運(yùn)算的交換律: , 結(jié)合律: .求作兩個向量和的方法有 法則和 法則.三、與向量 的向量,叫做的相反向量,記作 , 零向量的相反向量是 。-(-)= ,+(-)= 。BAO若、是相反向量,則= ,= ,+= 。向量加上的相反向量,叫做 , 既:-= 。=,=,則= 。四、1.實數(shù)與向量的積還是一個 ,記作 ;2.的長度與方向規(guī)定如下(R) |= , 當(dāng)0時,的方向與的方向 ,當(dāng)0時,的方向與的方向 ; 0= , = ;3. 實數(shù)與向量的積滿足結(jié)合律與分配律,設(shè)、為實數(shù),則 ()=();(+)= ;(+)= .4.向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個實數(shù),使得= .五、向量、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量, 為這個平面內(nèi)任一向量,則向量,可用、表示為= ,其中 , 為惟一存在的一組實數(shù); 另外不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的其中一組 。在直角坐標(biāo)系內(nèi),分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位 向量 、作為基底.對平面內(nèi)任意一個向量,有且只有 一對實數(shù)x、y,使得= (向量的分量表示) 記作=( , )(向量的坐標(biāo)表示),其中x叫做的 坐標(biāo) ,y叫做的 坐標(biāo),向量、的坐標(biāo)表示分別是=( , ),=( , ),=( , )若=(x,y),那么與相等的向量的坐標(biāo)為 若=(x,y1),=(x2,y2),則,.若點A、B的坐標(biāo)分別為(x,y1), (x2,y2),那么的坐標(biāo)為 .六、若向量,則()的充要條件是:存在唯一實數(shù),使 若=(x1,y1),=(x2,y2),且()則的充要條件是 七、設(shè)點P是直線P1P2上不同于P1、P2的任意一點,則存在一個實數(shù)使 , 叫做點P分有向線段所成的比,點P是有向線段的分點。設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)且=(-1);則x= ,y= . 若點P在線段P1P2的中點時,x= ,y= .八、1.平面向量的數(shù)量積的定義及幾何意義 向量的夾角:已知兩個非零向量和,作=,=,則AOB=(0) 叫做向量與的夾角。= , = . 平面向量的數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量和,它們的夾角為,則數(shù)量 |cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積、點乘),記為:= . 規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為 . 的幾何意義: 數(shù)量積等于的長度|與在的方向上投影|cos的乘積.第五課 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一、復(fù)習(xí)引入:1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與,作,則AB()叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積,記作,即有 = |cosq,().并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 3向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積等于的長度與在方向上投影|cosq的乘積4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)、為兩個非零向量,是與同向的單位向量1 = =|cosq;2 = 03當(dāng)與同向時, = |;當(dāng)與反向時, = -| 特別的 = |2或4cosq = ;5| |5 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律: = 數(shù)乘結(jié)合律:() =() = ()分配律:( + ) = + 二、講解新課:平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量,試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么,所以又,所以這就是說:兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即2.平面內(nèi)兩點間的距離公式(1)設(shè),則或(2)如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)3.向量垂直的判定設(shè),則4.兩向量夾角的余弦() cosq =三、講解范例:例1 設(shè) = (5, -7), = (-6, -4),求解: = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2例2 已知(1, 2),(2, 3),(-2, 5),求證:ABC是直角三角形證明:=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)=1(-3) + 13 = 0 ABC是直角三角形例3 已知 = (3, -1), = (1, 2),求滿足 = 9與 = -4的向量 解:設(shè)= (t, s), 由 = (2, -3)例4 已知(,),(,),則與的夾角是多少?分析:為求與夾角,需先求及,再結(jié)合夾角的范圍確定其值.解:由(,),(,)有(),記與的夾角為,則cos又,評述:已知三角形函數(shù)值求角時,應(yīng)注重角的范圍的確定.例5 如圖,以原點和A (5, 2)為頂點作等腰直角ABC,使 = 90,求點和向量的坐標(biāo)解:設(shè)點坐標(biāo)(x, y),則= (x, y),= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即:x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29由點坐標(biāo)或;=或 例6 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一個內(nèi)角為直角, 求k值解:當(dāng) = 90時,= 0,21 +3k = 0 k = 當(dāng) = 90時,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C= 90時,= 0,-1 + k(k-3) = 0 k = 四、課堂練習(xí):1.若=(-4,3),=(5,6),則3|( )A.23 B.57 C.63 D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5),則為( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的單位向量,則等于( )A.或 B.或C.或 D.或4.=(2,3),=(-2,4),則(+)(-)= .5.已知(3,2),(-1,-1),若點P(x,-)在線段的中垂線上,則x= .6.已知(1,0),(3,1),(2,0),且=,=,則與的夾角為 .六、課后作業(yè):1.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為( )A. B. C. D.2.已知=(,),=(-3,5)且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是( ) A. B. C. D.3.給定兩個向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),則x等于( ) A.23 B. C. D. 4.已知|=,=(1,2)且,則的坐標(biāo)為 .5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若,則 .6.已知=(3,0),=(k,5)且與的夾角為,則k的值為 .7.已知=(3,-1),=(1,2),求滿足條件x=9與x=-4的向量x.8.已知點A (1,2)和B (4,-1),問能否在y軸上找到一點C,使ABC90,若不能,說明理由;若能,求C點坐標(biāo).9.四邊形ABCD中=(6,1), =(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x與y間的關(guān)系式;(2)滿足(1)問的同時又有,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.第六課 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一、基本概念:1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與,作,則()叫與的夾角C2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積,記作ab,即有ab = |a|b|cosq,()并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 3“投影”的概念:作圖 定義:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時投影為正值;當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時投影為0;當(dāng)q = 0時投影為 |b|;當(dāng)q = 180時投影為 -|b|4向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量1ea = ae =|a|cosq;2ab ab = 03當(dāng)a與b同向時,ab = |a|b|;當(dāng)a與b反向時,ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或4cosq = ;5|ab| |a|b|7判斷下列各題正確與否:1若a = 0,則對任一向量b,有ab = 0 ( )2若a 0,則對任一非零向量b,有ab 0 ( )3若a 0,ab = 0,則b = 0 ( )4若ab = 0,則a 、b至少有一個為零 ( )5若a 0,ab = ac,則b = c ( )6若ab = ac,則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時成立 ( )7對任意向量a、b、c,有(ab)c a(bc) ( )8對任意向量a,有a2 = |a|2 ( )二、:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律:a b = b a證:設(shè)a,b夾角為q,則a b = |a|b|cosq,b a = |b|a|cosq a b = b a2數(shù)乘結(jié)合律:(a)b =(ab) = a(b)證:若 0,(a)b =|a|b|cosq, (ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cosq,若 0,(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq,(ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3分配律:(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O,作= a, = b,= c, a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和, 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2 c(a + b) = ca + cb 即:(a + b)c = ac + bc說明:(1)一般地,()()(2),0(3)有如下常用性質(zhì):,()()()三、講解范例:例1 已知a、b都是非零向量,且a + 3b與7a - 5b垂直,a - 4b與7a - 2b垂直,求a與b的夾角解:由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減:2ab = b2代入或得:a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q,則cosq = q = 60例2 求證:平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和解:如圖:ABCD中,=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中,且,試問四邊形ABCD是什么圖形?分析:四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量解:四邊形ABCD是矩形,這是因為:一方面:0,(),()()即由于,同理有由可得,且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形另一方面,由,有(),而由平行四邊形ABCD可得,代入上式得(2)即,也即ABBC綜上所述,四邊形ABCD是矩形評述:(1)在四邊形中,是順次首尾相接向量,則其和向量是零向量,即0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用;(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系四、課堂練習(xí):1下列敘述不正確的是( )A向量的數(shù)量積滿足交換律 B向量的數(shù)量積滿足分配律C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 Dab是一個實數(shù)2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為,則(a+2b)(a-3b)等于( )A72 B-72 C36 D-363|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為( )A平行 B垂直 C夾角為 D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150,則(a+b) 5已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=_,|a-b|= 6設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+b與ab垂直,則 參考答案:1C 2B 3B 4 +2 5 6五、課后作業(yè)1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直,則a與b的夾角是( )A60 B30 C135 D2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為,那么向量m=a-4b的模為( )A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量,則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的( )A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件4已知向量a、b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量,那么ab= 6已知ab、c與a、b的夾角均為60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)_7已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求ab;(2)若a、b的夾角為,求|a+b|;(3)若a-b與a垂直,求a與b的夾角8設(shè)m、n是兩個單位向量,其夾角為,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角9對于兩個非零向量a、b,求使|a+tb|最小時的t值,并求此時b與a+tb的夾角參考答案:1D 2B 3C 4 5 63 6 117(1)- (2) (3)45 8 120 9 90- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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