數(shù)學分析中求極限的方法總結(jié).doc

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數(shù)學分析中求極限的方法總結(jié) 1 利用極限的四則運算法則和簡單技巧 極限的四則運算法則敘述如下： 定理1.1：如果 （1） （2） （3）若B≠0 則： （4） （5）（n為自然數(shù)） 上述性質(zhì)對于也同樣成立2 利用導數(shù)的定義求極限 導數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，，則 如果 存在， 則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點的導數(shù)記為。 即 在這種方法的運用過程中，首先要選好f(x)。然后把所求極限都表示成f(x)在定點的導數(shù)。 例4. 求的極限 解： 3 利用兩個重要極限公式求極限 兩個極限公式： （1）， （2） 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： （1） ， （2）求極限。 例5： 解：為了利用極限故把原式括號內(nèi)式子拆成兩項，使得第一項為1，第二項和括號外的指數(shù)互為倒數(shù)進行配平。 = = 例6： 解：將分母變形 后再化成“0/0”型 所以 = = 例7: 求的極限 解：原式= 利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。 4 利用函數(shù)的連續(xù)性 因為一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,所以如果是初等函數(shù),且是的定義區(qū)間內(nèi)的點, 則。 例8： 解 :因為復合函數(shù)是初等函數(shù),而是其定義區(qū)間內(nèi)的點,所以極限值就等于該點處的函數(shù)值.因此 例8：求 解： 復合函數(shù)在處是連續(xù)的，所以在這點的極限值就等于該點處的函數(shù)值 即有 = =0 5 利用兩個準則求極限。 （1） 函數(shù)極限的迫斂性：若一正整數(shù) N,當n>N時，有且則有 。 利用夾逼準則求極限關(guān)鍵在于從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。 例9 ： 求的極限 解：因為單調(diào)遞減，所以存在最大項和最小項 則 又因為 （2 ） 單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 例12：設(shè)。試證數(shù)列的極限存在, 并求此極限。 解: 由及知。 設(shè)對某個正整數(shù)k有， 則有 從而由數(shù)學歸納法可知, 對一切自然數(shù), 都有， 即數(shù)列單調(diào)下降, 由已知易見即有下界, 根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。 令對兩邊取極限， 有所以有解得A=3,或。 因為，所以，舍去,故 6 利用洛必達法則求未定式的極限 定義6.1：若當（或）時，函數(shù)和都趨于零(或無窮大)，則極限可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式。 例如： , (型); , (型). 定理6.2：設(shè) （1）當時, 函數(shù)和都趨于零; （2）在a點的某去心鄰域內(nèi),和都存在且; （3） 存在(或無窮大), 則 定義6.3：這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. 例10： 　 解： 在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當?shù)拇鷵Q，并注意觀察所求極限的類型如下例， 例11：求 解： = 洛必達法則通常適用于以下類型： 型： 例12 求. 解 原式. 型： 例13 求 . 解 ， 故原式. 型： 例14 求. 解 原式. 型： 例15 求. 解 原式. 型： 例16 求. 解 原式， 而，因此：原式=1. 7. 用泰勒展式來求極限 用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開式,它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為求多項式或有理分式的極限問題。對于和或差中的項不能用其等價無窮小代替的情形, 有時可用項的泰勒展開式來代替該項, 使運算十分簡便。 例17： 解：因為 所以 例18： 解：因為當時，所以 從而 于是 注意：如果該題利用其他方法就不容易做了。 8. 利用定積分求極限 由于定積分是一個有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限，這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限.若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。凡每一項可提1/n,而余下的項可用通式寫成n項之和的形式的表達式,一般可用定積分的定義去求 。 利用定積分可求如下二種形式的極限: 型 定理8.1：設(shè)在[0，1]上可積，則有 例19：求極限 解：令，在[0,1]上可積。 型 定理8.2：若在[0,1]上可積，則 例20：求 解： 令,則有： 例21：求 解：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計算計算定積分，為此作如下變形： 不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)在區(qū)間上的一個積分和。（這里所取的是等分分割， （）， 所以 當然，也可把J看作 在上的定積分，同樣有 9. 利用無窮小的性質(zhì)求極限 我們知道在某一過程中為無窮大量的倒數(shù)是無窮小量;有界函數(shù)與無窮小量的乘積, 仍是無窮小量。利用這兩個定理可以求出某些函數(shù)的極限。 例22： 解：當時分母的極限為0，而分子的極限不為0，可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無窮大量： = = 0 利用無窮小量的倒數(shù)是無窮大量 故 = 例23：極限 解： 因為 ； 當時，為無窮小量，為有界量， 故； 所以原式=0。 例24：求極限 解：因為所以是有界函數(shù) 故在時是無窮小量。 利用無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量。 所以 . 10. 利用等價無窮小的代換求極限 利用等價無窮小代換求函數(shù)的極限時，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用，若以和、差形式出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為經(jīng)此代換后，往往會改變無窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見等價無窮小量()等價無窮小有重要性質(zhì):設(shè)且存在，則=,這個性質(zhì)表明,求兩個無窮小量之比的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量之比的極限時,分子,分母均可用等價無窮小量代替,從而使計算大大簡化 。 例25：極限 解：當時，, 例26：求極限 解： = = 錯誤的解法是： (錯在對加減中的某一項進行了等價無窮小代換) 11. 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 給出一數(shù)列 ,對應一個級數(shù)若能判定此級數(shù)收斂, 則必有。由于判別級數(shù)收斂的方法較多, 因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。 例27：求極限 解： 設(shè)級數(shù) 其中 由達朗貝爾判別法知級數(shù)收斂,再由級數(shù)收斂的必要條件可知： 例28：求極限 解：設(shè) 級數(shù)為項級數(shù)。 由比值審斂法： = = = 所以 收斂， 故 =0 12 . 利用極限定義驗證極限 用極限定義驗證極限，是極限問題的一個難點。做這類題目的關(guān)鍵是對任意給定的正數(shù)，如何找出定義中所說的N或確實存在。這實際上是利用逆推的方法論證問題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。 例27 ： 證：任給要找,使時，有 即 ， 顯然，當較大時，如，有 = , 因此要使成立， 當n>=2時，只要 即 或。 這樣一來，取,則當n>N時， 則有及 , 因此上述各式成立。證畢。 13. 涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問題 例28：求函數(shù)在處的左右極限，并說明在處是否有極限。 解： ， ， 因為 ， 所以f(x)在x=-1處的極限不存在。 利用該方法就極限時，只有當左右極限存在且相等是才能說明極限是存在的 注：本例是的直接應用。 14. 利用微分中值定理和積分中值定理求極限 例29： 解：因為 由微分中值定理（介于與之間） 原式= == 例30：求的極限 解： 由微分中值定理得， （介于與之間） 原式= 15. 利用柯西準則來求數(shù)列極限。 柯西準則：要使有極限的充要條件使任給,存在自然數(shù)N，使得當n>N時，對于 任意的自然數(shù)m有 例31：沒有極限。 證明：對任意的n，取m=n,我們有 = 因此，對于，對任意的N，當n>N時，取m=n就有 即變量沒有極限。 16.換元法求極限 當一個函數(shù)的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例32 . 解 令 ，則原式== 例33:求 解：令 則 16. 數(shù)列極限轉(zhuǎn)為函數(shù)極限求解 例34 求. 解 令,則原式， 所以在時，與等價，因此，原式. 在實際學習中很多題是多種方法綜合運用求解的。所以求極限時，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式．選擇適當方法，只有方法得當，才能準確、快速、靈活的求解極限。 由上述的性質(zhì)和公式我們可以看書函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。 例1. 求的極限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求的極限 解：分子分母同時乘以 式子經(jīng)過化簡后就能得到一個只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可 例3. 已知，求 解： 觀察 因此得到 所以 17